Thank you very much. Please excuse me for sitting; I'm very old. (Laughter) Well, the topic I'm going to discuss is one which is, in a certain sense, very peculiar because it's very old. Roughness is part of human life forever and forever, and ancient authors have written about it. It was very much uncontrollable, and in a certain sense, it seemed to be the extreme of complexity, just a mess, a mess and a mess. There are many different kinds of mess. Now, in fact, by a complete fluke, I got involved many years ago in a study of this form of complexity, and to my utter amazement, I found traces -- very strong traces, I must say -- of order in that roughness. And so today, I would like to present to you a few examples of what this represents. I prefer the word roughness to the word irregularity because irregularity -- to someone who had Latin in my long-past youth -- means the contrary of regularity. But it is not so. Regularity is the contrary of roughness because the basic aspect of the world is very rough.
Muchas gracias. Disculpen que me siente, soy un hombre viejo. (Risas) Bien, el tema que voy a tratar es de algún modo muy peculiar porque es muy antiguo. La fracturación es parte de la vida humana eternamente. Escritores de la antigüedad han escrito acerca de ello. Era prácticamente incontrolable. Y de alguna manera, parecía ser la complejidad extrema, un desorden, un caos. Hay varios tipos de desórdenes. Bien, por una total casualidad, incursioné muchos años atrás en el estudio de esta forma de complejidad. Y para mi total asombro, Encontré vestigios, vestigios muy concretos, debo decir de orden en esa fracturación. Por eso hoy quiero presentarles algunos ejemplos de lo que esto representa. Prefiero la palabra "fracturación" a "irregularidad" porque "irregularidad" para alguien que estudió latín como yo en mi lejana juventud significa lo contrario de "regularidad". Pero no es así. Regularidad es lo contrario de fracturación porque en el mundo, básicamente, hay fracturación.
So let me show you a few objects. Some of them are artificial. Others of them are very real, in a certain sense. Now this is the real. It's a cauliflower. Now why do I show a cauliflower, a very ordinary and ancient vegetable? Because old and ancient as it may be, it's very complicated and it's very simple, both at the same time. If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it, and when you eat it, the weight matters -- but suppose you try to measure its surface. Well, it's very interesting. If you cut, with a sharp knife, one of the florets of a cauliflower and look at it separately, you think of a whole cauliflower, but smaller. And then you cut again, again, again, again, again, again, again, again, again, and you still get small cauliflowers. So the experience of humanity has always been that there are some shapes which have this peculiar property, that each part is like the whole, but smaller. Now, what did humanity do with that? Very, very little. (Laughter)
Les mostraré varios objetos. Algunos son artificiales. Otros, en cierto sentido, son muy reales. Este es real: es una coliflor. Ahora, ¿por qué les muestro una coliflor, un vegetal antiguo y común? Porque si bien es antiguo y común, es también muy complicado y muy simple al mismo tiempo. Es muy fácil de pesar. Y al comerlo, el peso importa. Pero si intentamos medir su superficie. Bueno, es muy interesante. Si cortamos con un cuchillo un cogollito de una coliflor y lo observamos por separado, tenemos una coliflor entera, pero más pequeña, Y si la cortamos nuevamente, y otra vez, y otra, y otra, y otra, siguen apareciendo coliflores pequeñitas. Es que la experiencia de la humanidad siempre ha presentado formas con esta peculiar característica, en donde cada parte es similar al todo, pero más pequeño. ¿Y qué hizo la humanidad con eso? Muy, muy poco. (Risas)
So what I did actually is to study this problem, and I found something quite surprising. That one can measure roughness by a number, a number, 2.3, 1.2 and sometimes much more. One day, a friend of mine, to bug me, brought a picture and said, "What is the roughness of this curve?" I said, "Well, just short of 1.5." It was 1.48. Now, it didn't take me any time. I've been looking at these things for so long. So these numbers are the numbers which denote the roughness of these surfaces. I hasten to say that these surfaces are completely artificial. They were done on a computer, and the only input is a number, and that number is roughness. So on the left, I took the roughness copied from many landscapes. To the right, I took a higher roughness. So the eye, after a while, can distinguish these two very well.
Entonces yo analicé este problema, y encontré algo asombroso. Que es que se puede medir la fracturación mediante un número, 2,3; 1,2 y a veces mucho mayor. Un día, un amigo mío, para bromear, me mostró un dibujo y dijo: -¿Cuál es la fracturación de esta curva? Yo le respondí: -Bueno, apenas casi 1,5. La respuesta era 1,48. Me llevó un instante. Había estado observando estas cosas por años. Así que estos números determinan la fracturación de estas superficies. Me apuro a decir que estas superficies son completamente artificiales. Generadas por computadora con sólo ingresar un número. Y que ese número representa la fracturación. Aquí a la izquierda, utilicé un valor copiado de varios paisajes. A la derecha, utilicé una mayor fracturación. Para que luego el ojo pueda distinguir estas dos correctamente.
Humanity had to learn about measuring roughness. This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth. Very few things are very smooth. So then if you try to ask questions: "What's the surface of a cauliflower?" Well, you measure and measure and measure. Each time you're closer, it gets bigger, down to very, very small distances. What's the length of the coastline of these lakes? The closer you measure, the longer it is. The concept of length of coastline, which seems to be so natural because it's given in many cases, is, in fact, complete fallacy; there's no such thing. You must do it differently.
La humanidad debió aprender sobre medición de la fracturación. Muy fracturado, bastante liso, o perfectamente liso. Muy pocas cosas son perfectamente lisas. Así que si intentamos preguntarnos -¿Cuál es la superficie de una coliflor? Bueno, hay que medir, medir y medir. Resulta más grande cuanto más nos acercamos, hasta distancias muy, muy pequeñas. ¿Qué longitud tienen las costas de estos lagos? Cuanto más de cerca medimos, más longitud tienen. El concepto de longitud costera, que parece algo tan natural porque aparece con frecuencia como dato, es, en realidad, una mentira; no existe. Debemos calcularla de otra manera.
What good is that, to know these things? Well, surprisingly enough, it's good in many ways. To begin with, artificial landscapes, which I invented sort of, are used in cinema all the time. We see mountains in the distance. They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on. Now it's very easy to do. It used to be very time-consuming, but now it's nothing. Now look at that. That's a real lung. Now a lung is something very strange. If you take this thing, you know very well it weighs very little. The volume of a lung is very small, but what about the area of the lung? Anatomists were arguing very much about that. Some say that a normal male's lung has an area of the inside of a basketball [court]. And the others say, no, five basketball [courts]. Enormous disagreements. Why so? Because, in fact, the area of the lung is something very ill-defined. The bronchi branch, branch, branch and they stop branching, not because of any matter of principle, but because of physical considerations: the mucus, which is in the lung. So what happens is that in a way you have a much bigger lung, but it branches and branches down to distances about the same for a whale, for a man and for a little rodent.
¿En qué nos beneficia saber estas cosas? Bueno, por sorprendente que parezca, en muchos aspectos. Para empezar, los paisajes artificiales, que yo, de alguna manera, inventé, se usan en películas constantemente. Vemos montañas distantes. Podrían ser montañas reales, o podrían ser también fórmulas. Ahora es muy sencillo de lograr. Solía llevar tiempo y esfuerzo, pero hoy no es nada. Observen esto: es un pulmón real. El pulmón es un órgano muy extraño. Si tomamos un pulmón, notaremos que pesa muy poco. Tiene un volumen muy pequeño. Pero ¿y su área? Los anatomistas han discutido mucho sobre el tema. Algunos dicen que un pulmón de un varón normal tiene un área interna similar al de una pelota de básquet. Y otros dicen: no, de cinco pelotas. Desacuerdo total. ¿Y por qué? Porque, por cierto, el área de un pulmón no ha sido definida con certeza. Los bronquios se ramifican hasta alcanzar un límite no por una cuestión de principios, sino por razones físicas: como la mucosa en los pulmones. Entonces sucede que, de esa manera, tenemos un pulmón más grande, pero si se ramifica, hasta distancias similares en una ballena, en un hombre y en un pequeño roedor,
Now, what good is it to have that? Well, surprisingly enough, amazingly enough, the anatomists had a very poor idea of the structure of the lung until very recently. And I think that my mathematics, surprisingly enough, has been of great help to the surgeons studying lung illnesses and also kidney illnesses, all these branching systems, for which there was no geometry. So I found myself, in other words, constructing a geometry, a geometry of things which had no geometry. And a surprising aspect of it is that very often, the rules of this geometry are extremely short. You have formulas that long. And you crank it several times. Sometimes repeatedly: again, again, again, the same repetition. And at the end, you get things like that.
bien, ¿qué se gana con eso? Porque nos sorprenderá saber, que los anatomistas, hasta hace muy poco, conocían la estructura del pulmón muy vagamente. Y yo pienso que mi matemática, por asombroso que parezca, ha servido de gran ayuda a los cirujanos que estudian enfermedades pulmonares y renales. Para estas ramificaciones no existía una geometría. Así que yo, en otras palabras, me encotré construyendo una geometría, para aquellas cosas que carecían de una. Y lo asombroso de esto es que, con frecuencia, las leyes de esta geometría son extremadamente exiguas. Tenemos largas fórmulas que aplicamos varias veces algunas las repetimos una y otra vez. La misma repetición. Y al final obtenemos cosas como ésta.
This cloud is completely, 100 percent artificial. Well, 99.9. And the only part which is natural is a number, the roughness of the cloud, which is taken from nature. Something so complicated like a cloud, so unstable, so varying, should have a simple rule behind it. Now this simple rule is not an explanation of clouds. The seer of clouds had to take account of it. I don't know how much advanced these pictures are. They're old. I was very much involved in it, but then turned my attention to other phenomena.
Esta nube es completamente, 100 por ciento, artificial. Bueno... 99,9 por ciento. La única parte que es natural es un número, la fracturación de la nube, tomada de la naturaleza. Algo tan complicado como una nube, tan inestable, tan variable, debería seguir una ley simple. Bien, esta ley simple no es una explicación de las nubes. El observador de nubes tuvo que tener esto en cuenta. No sé cuán avanzadas son estas imágenes son antiguas. Yo estaba muy involucrado en esto, pero luego me dediqué a otros fenómenos.
Now, here is another thing which is rather interesting. One of the shattering events in the history of mathematics, which is not appreciated by many people, occurred about 130 years ago, 145 years ago. Mathematicians began to create shapes that didn't exist. Mathematicians got into self-praise to an extent which was absolutely amazing, that man can invent things that nature did not know. In particular, it could invent things like a curve which fills the plane. A curve's a curve, a plane's a plane, and the two won't mix. Well, they do mix. A man named Peano did define such curves, and it became an object of extraordinary interest. It was very important, but mostly interesting because a kind of break, a separation between the mathematics coming from reality, on the one hand, and new mathematics coming from pure man's mind. Well, I was very sorry to point out that the pure man's mind has, in fact, seen at long last what had been seen for a long time. And so here I introduce something, the set of rivers of a plane-filling curve. And well, it's a story unto itself. So it was in 1875 to 1925, an extraordinary period in which mathematics prepared itself to break out from the world. And the objects which were used as examples, when I was a child and a student, as examples of the break between mathematics and visible reality -- those objects, I turned them completely around. I used them for describing some of the aspects of the complexity of nature.
Aquí hay otra cosa bastante interesante. Uno de los eventos demoledores en la historia de la matemática y que muchos subestiman, ocurrió hace unos 130 años, 145 años atrás. Los matemáticos comenzaron a crear formas que no existían. Y empezaron a auto-halagarse hasta niveles asombrosos dada la capacidad del hombre para inventar cosas desconocidas por la naturaleza. Más concretamente cosas como una curva que cubre un plano. Una curva es una curva, un plano es un plano, no se mezclan. Bueno, sí se mezclan. Un hombre de nombre Peano, definió esas curvas, que enseguida generaron gran interés. Fue muy importante, pero por sobre todo, interesante porque fue una especie de quiebre, una ruptura entre la matemática derivada de la realidad y la nueva, proveniente puramente de la mente. No me fue agradable clarificar que la mente humana pura en realidad ha visto, de una vez por todas, lo que ya había sido visto por años. Así que aquí les presento esto: el conjunto de ríos de una curva que cubre a un plano. Y bien es una historia en sí misma. Así que de 1875 a 1925 tenemos un período extraordinario en el que la matemática se prepararó para asaltar al mundo. Y los objetos que se utilizaron como ejemplos cuando yo era un niño y un estudiante como ejemplos de la ruputura entre la matemática y la realidad visible, a esos objetos yo les dí un giro completamente nuevo: los utilicé para describir ciertos aspectos de la complejidad de la naturaleza.
Well, a man named Hausdorff in 1919 introduced a number which was just a mathematical joke, and I found that this number was a good measurement of roughness. When I first told it to my friends in mathematics they said, "Don't be silly. It's just something [silly]." Well actually, I was not silly. The great painter Hokusai knew it very well. The things on the ground are algae. He did not know the mathematics; it didn't yet exist. And he was Japanese who had no contact with the West. But painting for a long time had a fractal side. I could speak of that for a long time. The Eiffel Tower has a fractal aspect. I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower, and indeed it was astonishing how much he understood.
Bien, en 1919 un hombre llamado Hausdorff presentó un número que era un mero chiste matemático. Y yo descubrí que ese número representaba la medida de la fracturación. Cuando les comenté esto a mis amigos matemáticos me dijeron: -No seas tonto, eso es una tontería. Bien, yo en realidad no era tonto. El gran pintor Hokusai lo sabía muy bien. Lo que aparece en el suelo son algas. El no conocía su matemática, no existía aún. Y siendo japonés, no tenía contacto con Occidente. Pero la pintura, por mucho tiempo, tuvo su lado fractal. Puedo hablar de eso por largo tiempo. La torre Eiffel tiene un costado fractal. Yo leí el libro de Eiffel acerca de su torre. Y es verdaderamente impresionante todo lo que él entendía.
This is a mess, mess, mess, Brownian loop. One day I decided -- halfway through my career, I was held by so many things in my work -- I decided to test myself. Could I just look at something which everybody had been looking at for a long time and find something dramatically new? Well, so I looked at these things called Brownian motion -- just goes around. I played with it for a while, and I made it return to the origin. Then I was telling my assistant, "I don't see anything. Can you paint it?" So he painted it, which means he put inside everything. He said: "Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop! I see; it's an island." And amazing. So Brownian motion, which happens to have a roughness number of two, goes around. I measured it, 1.33. Again, again, again. Long measurements, big Brownian motions, 1.33. Mathematical problem: how to prove it? It took my friends 20 years. Three of them were having incomplete proofs. They got together, and together they had the proof. So they got the big [Fields] medal in mathematics, one of the three medals that people have received for proving things which I've seen without being able to prove them.
Esto es un desorden, el lazo browniano. Un día decidí que, (durante mi carrera muchas cosas me distrajeron de mi trabajo) decidí auto-evaluarme. ¿Podría yo, al observar algo que todos habían observado durante mucho tiempo podría encontrar algo decididamente nuevo? Bien, entonces observé esto que se llama movimiento browniano, que se desplaza. Jugué con él por un rato, y lo hice regresar a su posición original. Y le dije a mi asistente: -No encuentro nada, ¿puedes pintarlo? Y el lo pintó lo rellenó todo por dentro. Y dijo: -Mira lo que resultó- y yo dije: -¡deténte, deténte! Puedo verlo, es una isla. Sorprendente. Así que el movimiento browniano con un índice de fracturación igual a dos, se desplaza. 1,33; yo lo medí. Una y otra y otra vez. Grandes medidas, movimientos brownianos grandes. 1,33. Un problema matemático, ¿cómo verificarlo? A mis compañeros les llevó 20 años. Tres de ellos obtuvieron pruebas incompletas. Se presentaron juntos y lo verificaron. Y así obtuvieron la gran medalla en matemática, una de las tres medallas que se pueden obtener por verificar cosas que yo he visto sin ser capaz de verificar.
Now everybody asks me at one point or another, "How did it all start? What got you in that strange business?" What got you to be, at the same time, a mechanical engineer, a geographer and a mathematician and so on, a physicist? Well actually I started, oddly enough, studying stock market prices. And so here I had this theory, and I wrote books about it -- financial prices increments. To the left you see data over a long period. To the right, on top, you see a theory which is very, very fashionable. It was very easy, and you can write many books very fast about it. (Laughter) There are thousands of books on that. Now compare that with real price increments. Where are real price increments? Well, these other lines include some real price increments and some forgery which I did. So the idea there was that one must be able to -- how do you say? -- model price variation. And it went really well 50 years ago. For 50 years, people were sort of pooh-poohing me because they could do it much, much easier. But I tell you, at this point, people listened to me. (Laughter) These two curves are averages: Standard & Poor, the blue one; and the red one is Standard & Poor's from which the five biggest discontinuities are taken out. Now discontinuities are a nuisance, so in many studies of prices, one puts them aside. "Well, acts of God. And you have the little nonsense which is left. Acts of God." In this picture, five acts of God are as important as everything else. In other words, it is not acts of God that we should put aside. That is the meat, the problem. If you master these, you master price, and if you don't master these, you can master the little noise as well as you can, but it's not important. Well, here are the curves for it.
Todo el mundo me ha preguntado: -¿Cómo comenzó todo? -¿Por qué se dedicó usted a algo tan extraño? Y qué hizo que yo deviniera al mismo tiempo ingeniero mecánico, geógrafo, matemático, etc, físico. Bueno, por extraño que parezca comencé estudiando el mercado de valores. Así que desarrollé una teoría y escribí libros contándola: el incremento de precios. A la izquierda se ven valores a lo largo de un período. Arriba a la derecha, una teoría muy elegante. Fue fácil, se pueden escribir rápidamente muchos libros sobre ella. (Risas) Hay miles de libros sobre el tema. Ahora, comparemos eso con el incremento de precios real. ¿Dónde está el incremento de precios real? Bien, estas otras líneas representan el incremento real y también ficticio, hecho por mí. Entonces la idea consistía en que uno puede ¿cómo decirlo? modelar la variación en el precio. Y hace 50 años funcionó muy bien. Durante 50 años la gente desdeñó mi teoría porque podían hacerlo mucho más fácil. Pero al menos me escuchaban. (Risas) Estas dos curvas representan promedios. Standard & Poor, la azul. Y la roja es Standard & Poor's, de donde se obtienen las cinco mayores discontinuidades. Por cierto las discontinuidades son un incordio. Por eso en muchos análisis de precios son dejadas de lado. Se las considera "caso fortuito". Y lo que queda no tiene sentido. Los casos fortuitos en esta imagen... importan tanto cinco casos fortuitos como cualquier otra cosa. En otras palabras, no son los casos fortuitos lo que debemos dejar de lado. Ellos son la esencia, el problema. Si podemos dominarlos, dominamos el precio. Y si no, podemos intentar con las fluctuaciones, lo mejor posible, pero no tienen tanta importancia. Bien, estas curvas lo muestran.
Now, I get to the final thing, which is the set of which my name is attached. In a way, it's the story of my life. My adolescence was spent during the German occupation of France. Since I thought that I might vanish within a day or a week, I had very big dreams. And after the war, I saw an uncle again. My uncle was a very prominent mathematician, and he told me, "Look, there's a problem which I could not solve 25 years ago, and which nobody can solve. This is a construction of a man named [Gaston] Julia and [Pierre] Fatou. If you could find something new, anything, you will get your career made." Very simple. So I looked, and like the thousands of people that had tried before, I found nothing.
Una última cosa: el conjunto que lleva mi nombre en cierta manera es la historia de mi vida. Durante mi adolescencia Francia estaba bajo la ocupación alemana. Y yo, creyendo que desaparecería de un día para el otro, tenía grandes sueños. Y después de la guerra me reencontré con un tío mío que era un prominente matemático, y él me dijo: -Mira, hay un problema que yo no pude resolver hace 25 años y que nadie puede resolver. Es una construcción de un hombre llamado Gaston Julia y un hombre llamado Pierre Fatou. Si tú puedes encontrar algo nuevo, cualquier cosa, tu carrera estará hecha. Así de simple. Entonces observé y al igual que mis predecesores, no encontré nada.
But then the computer came, and I decided to apply the computer, not to new problems in mathematics -- like this wiggle wiggle, that's a new problem -- but to old problems. And I went from what's called real numbers, which are points on a line, to imaginary, complex numbers, which are points on a plane, which is what one should do there, and this shape came out. This shape is of an extraordinary complication. The equation is hidden there, z goes into z squared, plus c. It's so simple, so dry. It's so uninteresting. Now you turn the crank once, twice: twice, marvels come out. I mean this comes out. I don't want to explain these things. This comes out. This comes out. Shapes which are of such complication, such harmony and such beauty. This comes out repeatedly, again, again, again. And that was one of my major discoveries, to find that these islands were the same as the whole big thing, more or less. And then you get these extraordinary baroque decorations all over the place. All that from this little formula, which has whatever, five symbols in it. And then this one. The color was added for two reasons. First of all, because these shapes are so complicated that one couldn't make any sense of the numbers. And if you plot them, you must choose some system. And so my principle has been to always present the shapes with different colorings because some colorings emphasize that, and others it is that or that. It's so complicated.
Pero luego vinieron las computadoras. Así que decidí usarlas no para resolver nuevos problemas matemáticos como este serpenteo, eso es nuevo. Sino antiguos problemas. Partiendo de lo que denominamos números reales, que son puntos en una línea, hasta números imaginarios, complejos, que son puntos en un plano, que es lo que debemos hacer aquí. Y resultó esta forma que tiene una complejidad extraordinaria. La ecuación está oculta ahí: z se transforma en z al cuadrado, más c. Tan simple, tan cortante. Tan aburrido. Pero si damos una vuelta de tuerca, o dos vueltas, aparecen maravillas. Quiero decir, aparece esto. No voy a explicar estas cosas. Aparece esto. Formas tan complicadas, tan armoniosas, tan hermosas. Aparece esto una y otra vez Y ése fue uno de mis más grandes descubrimientos, descubrir que estas islas son prácticamente idénticas al todo que las engloba. Y el resultado son estos firuletes barrocos, extraordinarios, por doquier. Todo eso a partir de esta formulita, que tiene apenas cinco símbolos. Y luego ésta. Aparecen en colores por dos razones: primero, porque estas formas son tan complicadas que es imposible entender los números. Y si vamos a utilizarlas, necesitamos un método. Así que mi premisa fue presentar las formas de diferentes colores porque cada color destaca algo diferente. Es tan complicado.
(Laughter)
(Risas)
In 1990, I was in Cambridge, U.K. to receive a prize from the university, and three days later, a pilot was flying over the landscape and found this thing. So where did this come from? Obviously, from extraterrestrials. (Laughter) Well, so the newspaper in Cambridge published an article about that "discovery" and received the next day 5,000 letters from people saying, "But that's simply a Mandelbrot set very big."
En 1990 yo estaba en el Reino Unido para recibir un premio de la Universidad de Cambridge. Y tres días más tarde un piloto sobrevoló un campo y encontró esto. ¿Y de dónde salió esto? Extraterrestres, obviamente. (Risas) Bien, entonces el diario de Cambridge publicó un artículo sobre ese "descubrimiento" y al día siguiente recibió 5.000 cartas que decían: -Se trata simplemente del conjunto de Mandelbrot.
Well, let me finish. This shape here just came out of an exercise in pure mathematics. Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated without end.
Bien, permítanme terminar. Esta figura que ven aquí proviene de un ejercicio de matemática pura. De las leyes más simples nacen infinitas maravillas que se repiten indefinidamente.
Thank you very much.
Muchas gracias.
(Applause)
(Aplauso)