Σας ευχαριστώ πολύ. Συγχωρήστε με που είμαι καθιστός. Έχω γεράσει πολύ. (Γέλια) Λοιπόν, το θέμα που θα συζητήσω είναι από μια άποψη ιδιαίτερα περίεργο γιατί είναι πολύ παλιό. Η τραχύτητα είναι κομμάτι της ανθρώπινης ζωής για πάντα και πάντα. Και έχουν ασχοληθεί με αυτήν αρχαίοι συγγραφείς. Σε γενικές γραμμές ήταν ανεξέλεγκτη. Και κατά μία έννοια, φαινόταν πως είναι το ακραίο της πολυπλοκότητας, απλός χαμός, ένας χαμός. Υπάρχουν πολλά διαφορετικά είδη χαμού. Στην πραγματικότητα, εντελώς κατά τύχη, ασχολήθηκα πριν από πολλά χρόνια με μια μελέτη αυτής της μορφής πολυπλοκότητας. Και προς έκπληξή μου, βρήκα ίχνη - πολύ δυνατά ίχνη, πρέπει να πω - τάξης μέσα στην τραχύτητα αυτή. Έτσι σήμερα, θα ήθελα να σας παρουσιάσω μερικά παραδείγματα του τι αντιπροσωπεύει αυτό. Προτιμώ τη λέξη τραχύτητα έναντι της λέξης ανωμαλία επειδή ανωμαλία - για κάποιον που έκανε Λατινικά στα πολύ μακρινά παιδικά μου χρόνια - σημαίνει το αντίθετο της ομαλότητας. Αλλά δεν είναι έτσι. Ομαλότητα είναι το αντίθετο της τραχύτητας επειδή η βασική εικόνα του κόσμου είναι πολύ τραχιά.
Thank you very much. Please excuse me for sitting; I'm very old. (Laughter) Well, the topic I'm going to discuss is one which is, in a certain sense, very peculiar because it's very old. Roughness is part of human life forever and forever, and ancient authors have written about it. It was very much uncontrollable, and in a certain sense, it seemed to be the extreme of complexity, just a mess, a mess and a mess. There are many different kinds of mess. Now, in fact, by a complete fluke, I got involved many years ago in a study of this form of complexity, and to my utter amazement, I found traces -- very strong traces, I must say -- of order in that roughness. And so today, I would like to present to you a few examples of what this represents. I prefer the word roughness to the word irregularity because irregularity -- to someone who had Latin in my long-past youth -- means the contrary of regularity. But it is not so. Regularity is the contrary of roughness because the basic aspect of the world is very rough.
Επιτρέψτε μου να σας δείξω μερικά αντικείμενα. Κάποια είναι τεχνητά. Άλλα από αυτά είναι πολύ αληθινά, κατά μία έννοια. Αυτό είναι το αληθινό. Ένα κουνουπίδι. Γιατί δείχνω ένα κουνουπίδι, ένα πολύ συνηθισμένο και αρχαίο λαχανικό; Γιατί αν και είναι αρχαίο, είναι πολύπλοκο και πάρα πολύ απλό και τα δύο την ίδια στιγμή. Αν προσπαθήσετε να το ζυγίσετε, φυσικά είναι πολύ απλό. Και όταν το τρώτε, το βάρος μετράει. Υποθέστε όμως ότι προσπαθείτε να μετρήσετε την επιφάνεια του. Λοιπόν, είναι πολύ ενδιαφέρον. Αν κόψετε, με ένα κοφτερό μαχαίρι, ένα ανθύλλιο από το κουνουπίδι και το κοιτάξετε ξεχωριστά, σας φέρνει στο μυαλό ένα ολόκληρο κουνουπίδι, αλλά μικρότερο. Έπειτα το κόβετε ξανά, ξανά, ξανά, ξανά, ξανά, ξανά, ξανά, ξανά, ξανά. Και συνεχίζετε να παίρνετε μικρότερα κουνουπίδια. Η εμπειρία της ανθρωπότητας λοιπόν ήταν ανέκαθεν πως υπάρχουν κάποια σχήματα που έχουν αυτή την ιδιόμορφη ιδιότητα, πως κάθε κομμάτι είναι σαν το ολόκληρο, αλλά μικρότερο. Τι έκανε λοιπόν η ανθρωπότητα με αυτό; Πολύ, πολύ λίγα. (Γέλια)
So let me show you a few objects. Some of them are artificial. Others of them are very real, in a certain sense. Now this is the real. It's a cauliflower. Now why do I show a cauliflower, a very ordinary and ancient vegetable? Because old and ancient as it may be, it's very complicated and it's very simple, both at the same time. If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it, and when you eat it, the weight matters -- but suppose you try to measure its surface. Well, it's very interesting. If you cut, with a sharp knife, one of the florets of a cauliflower and look at it separately, you think of a whole cauliflower, but smaller. And then you cut again, again, again, again, again, again, again, again, again, and you still get small cauliflowers. So the experience of humanity has always been that there are some shapes which have this peculiar property, that each part is like the whole, but smaller. Now, what did humanity do with that? Very, very little. (Laughter)
Αυτό που έκανα ήταν να μελετήσω το πρόβλημα, και βρήκα κάτι πολύ εκπληκτικό. Πως μπορεί κάποιος να μετρήσει την τραχύτητα με έναν αριθμό, έναν αριθμό 2.3, 1.2 μερικές φορές και περισσότερο. Μια μέρα, ένας φίλος μου, για να με πειράξει, έφερε μια φωτογραφία και είπε. ''Ποια είναι η τραχύτητα αυτής της καμπύλης;" Είπα, "Λοιπόν, κάτι λιγότερο από 1.5" Ήταν 1.48 Δεν πήρε καθόλου χρόνο. Μελετούσα τέτοια πράγματα για τόσο καιρό. Αυτοί οι αριθμοί λοιπόν είναι εκείνοι που υποδηλώνουν την τραχύτητα τέτοιων επιφανειών. Βιάζομαι να πώ πως αυτές οι επιφάνειες είναι εντελώς τεχνητές. Έγιναν μέσω υπολογιστή. Και το μόνο δεδομένο είναι ένας αριθμός. Και αυτός ο αριθμός είναι η τραχύτητα. Έτσι στα αριστερά, πήρα την τραχύτητα που αντέγραψα από πολλά τοπία. Στα δεξιά, πήρα μια υψηλότερη τραχύτητα. Το μάτι λοιπόν, μετά από λίγο, μπορεί να ξεχωρίσει πολύ εύκολα αυτά τα δύο.
So what I did actually is to study this problem, and I found something quite surprising. That one can measure roughness by a number, a number, 2.3, 1.2 and sometimes much more. One day, a friend of mine, to bug me, brought a picture and said, "What is the roughness of this curve?" I said, "Well, just short of 1.5." It was 1.48. Now, it didn't take me any time. I've been looking at these things for so long. So these numbers are the numbers which denote the roughness of these surfaces. I hasten to say that these surfaces are completely artificial. They were done on a computer, and the only input is a number, and that number is roughness. So on the left, I took the roughness copied from many landscapes. To the right, I took a higher roughness. So the eye, after a while, can distinguish these two very well.
Η ανθρωπότητα χρειάστηκε να μάθει πως να μετράει την τραχύτητα Αυτό είναι πολύ τραχύ, αυτό σχετικά λείο, και αυτό πολύ λείο. Πολύ λίγα πράγματα είναι πολύ λεία. Όταν προσπαθείς λοιπόν να κάνεις ερωτήσεις: πόση είναι η επιφάνεια ενος κουνουπιδιού; Μετράς και μετράς και μετράς. Κάθε φορά που πλησιάζεις γίνεται μεγαλύτερη, σε όλο και μικρότερες, πολύ μικρές αποστάσεις. Ποιό είναι το μήκος της ακτογραμμής αυτών των λιμνών; Όσο πιο κοντά μετράς, τόσο πιο μεγάλο γίνεται. Η έννοια του μήκους της ακτογραμμής, που μοιάζει τόσο φυσική επειδή δίνεται σε πολλές περιπτώσεις, αποτελεί στην πραγματικότητα πλάνη, δεν υπάρχει τέτοιο πράγμα. Πρέπει να την υπολογίσεις διαφορετικά.
Humanity had to learn about measuring roughness. This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth. Very few things are very smooth. So then if you try to ask questions: "What's the surface of a cauliflower?" Well, you measure and measure and measure. Each time you're closer, it gets bigger, down to very, very small distances. What's the length of the coastline of these lakes? The closer you measure, the longer it is. The concept of length of coastline, which seems to be so natural because it's given in many cases, is, in fact, complete fallacy; there's no such thing. You must do it differently.
Σε τι βοηθάει, να γνωρίζουμε τέτοια πράγματα; Λοιπόν, παρότι αποτελεί έκπληξη βοηθάει σε πολλά. Καταρχήν, τεχνητά τοπία, τα οποία εφηύρα κατά κάποιο τρόπο, χρησιμοποιούνται στον κινηματογράφο συνέχεια. Βλέπουμε βουνά στο βάθος. Μπορεί να είναι βουνά, αλλα μπορεί να είναι απλοί τύποι, που απλά τρέξαμε. Πλέον είναι πολύ εύκολο να το κάνει κανείς. Παλιότερα απαιτούσε πολύ χρόνο, αλλά τώρα δεν είναι τίποτα. Κοιτάξτε τώρα αυτό. Αυτός είναι ένας πραγματικός πνεύμονας. Ένας πvεύμονας είναι κάτι πολύ περίεργο. Αν πάρουμε αυτόν γνωρίζετε πολύ καλά ότι ζυγίζει πολύ λίγο. Ο όγκος ενός πνεύμονα είναι πολύ μικρός. Αλλά πόση είναι η επιφάνεια του; Οι ανατόμοι διαφωνούσαν πολύ σχετικά με αυτό. Μερικοί υποστηρίζουν πως ο πνεύμονας ενός υγιούς αρσενικού έχει συνολική εσωτερική επιφάνεια ενός γηπέδου του μπάσκετ. Και οι υπόλοιποι λένε, όχι, πέντε γήπεδα. Τεράστιες διαφωνίες. Γιατί έτσι; Επειδή, στην πραγματικότητα, η επιφάνεια του πνεύμονα αποτελεί κάτι πολύ κακώς καθορισμένο. Τα βρογχίδια βγάζουν κλαδιά, κλαδιά, κλαδιά. Και σταματούν να διακλαδίζονται, όχι εξαιτίας κάποιας συγκεκριμένης αρχής αλλά εξαιτίας φυσικών συνθηκών, την βλέννα, που υπάρχει μέσα στον πνεύμονα. Αυτό λοιπόν που συμβαίνει είναι πως μ' αυτόν τον τρόπο έχεις έναν πολύ μεγαλύτερο πνεύμονα, αλλά αν διακλαδίζεται συνεχώς, σε μικρές αποστάσεις, περίπου οι ίδιες για φάλαινες, τον άνθρωπο και για ένα μικρό τρωκτικό.
What good is that, to know these things? Well, surprisingly enough, it's good in many ways. To begin with, artificial landscapes, which I invented sort of, are used in cinema all the time. We see mountains in the distance. They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on. Now it's very easy to do. It used to be very time-consuming, but now it's nothing. Now look at that. That's a real lung. Now a lung is something very strange. If you take this thing, you know very well it weighs very little. The volume of a lung is very small, but what about the area of the lung? Anatomists were arguing very much about that. Some say that a normal male's lung has an area of the inside of a basketball [court]. And the others say, no, five basketball [courts]. Enormous disagreements. Why so? Because, in fact, the area of the lung is something very ill-defined. The bronchi branch, branch, branch and they stop branching, not because of any matter of principle, but because of physical considerations: the mucus, which is in the lung. So what happens is that in a way you have a much bigger lung, but it branches and branches down to distances about the same for a whale, for a man and for a little rodent.
Σε τι βοηθάει αυτό; Όσο απίστευτο κι αν φαίνεται οι ανατόμοι είχαν πολύ μικρή ιδεά της δομής του πνεύμονα μέχρι σχετικά προσφατα. Και πιστεύω πως τα μαθηματικά μου, εντελώς απρόσμενα, έχουν βοηθήσει πολύ τους χειρούργους να μελετήσουνε παθήσεις των πνευμόνων καθώς και των νεφρών, όλα αυτά τα διακλαδίζοντα συστήματα, για τα οποία δεν υπήρχε γεωμετρία. Βρήκα τον εαυτό μου, με άλλα λόγια να κατασκευάζει μια γεωμετρία, γεωμετρία για αντικείμενα που δεν είχαν γεωμετρία. Και μια αναπάντεχη πλευρά είναι ότι αρκετά συχνά, οι κανόνες αυτής της γεωμετρίας είναι εξαιρετικά σύντομοι. Έχεις τύπους τόσο μακρούς. Και τους τρέχεις αρκετές φορές. Μερικές φορές ξανά, ξανά, ξανά. Η ίδια επανάληψη. Και στο τέλος προκύπτουν πράγματα σαν αυτό.
Now, what good is it to have that? Well, surprisingly enough, amazingly enough, the anatomists had a very poor idea of the structure of the lung until very recently. And I think that my mathematics, surprisingly enough, has been of great help to the surgeons studying lung illnesses and also kidney illnesses, all these branching systems, for which there was no geometry. So I found myself, in other words, constructing a geometry, a geometry of things which had no geometry. And a surprising aspect of it is that very often, the rules of this geometry are extremely short. You have formulas that long. And you crank it several times. Sometimes repeatedly: again, again, again, the same repetition. And at the end, you get things like that.
Αυτό το σύννεφο είναι εντελώς, 100 τοις εκατό τεχνητό Εντάξει, 99.9. Και το μόνο κομμάτι που είναι φυσικό είναι ένας αριθμός, η τραχύτητα του σύννεφου, που είναι παρμένος από τη φύση. Κάτι τόσο περίπλοκο όπως ένα σύννεφο, τόσο ασταθές, τόσο μεταβλητό, να έχει έναν τόσο απλό νόμο από πίσω του. Αυτός ο απλός νόμος τώρα δεν αποτελεί εξήγηση για την ύπαρξή τους. Η μάζα από σύννεφα έπρεπε να τον λάβει υπόψιν της. Δεν γνωρίζω πόσο προχωρημένες είναι αυτές οι εικόνες, είναι παλιές. Είχα ασχοληθέι πολύ με αυτό, αλλά έπειτα έστρεψα την προσοχή μου σε άλλα φαινόμενα.
This cloud is completely, 100 percent artificial. Well, 99.9. And the only part which is natural is a number, the roughness of the cloud, which is taken from nature. Something so complicated like a cloud, so unstable, so varying, should have a simple rule behind it. Now this simple rule is not an explanation of clouds. The seer of clouds had to take account of it. I don't know how much advanced these pictures are. They're old. I was very much involved in it, but then turned my attention to other phenomena.
Ιδού και κάτι άλλο που είναι αρκετά ενδιαφέρον. Ένα από τα συνταρακτικότερα γεγονότα στην ιστορία των μαθηματικών, το οποίο δεν εκτιμάται από πολλούς ανθρώπους, συνέβη πριν από 130 χρόνια, 145 χρόνια πριν. Μαθηματικοί άρχισαν να δημιουργούν σχήματα που δεν υπήρχαν πιο πριν. Μαθηματικοί άρχισαν να επαινούνται σε βαθμό που ήταν απίστευτος ότι ο άνθρωπος μπορεί να εφεύρει πράγματα τα οποία η φύση δεν γνωρίζε. Συγκεκριμένα, μπορούσε να εφεύρει πράγματα όπως μια καμπύλη που γεμίζει το επίπεδο. Η καμπύλη είναι καμπύλη, το επίπεδο επίπεδο, και τα δύο δεν συνδυάζονται. Λοιπόν συνδυάζονται. Ένας άνδρας ονόματι Πεανό προσδιόρισε τέτοιες καμπύλες, οι οποίες γίνανε αντικείμενο ιδιαίτερου ενδιαφέροντος. Ήταν πολύ σημαντικό, αλλά κυρίως ενδιαφέρον εξαιτίας ενός χάσματος ενός διαχωρισμού μεταξύ των μαθηματικών που προέρχονται από την πραγματικότητα από τη μια πλευρά και των μαθηματικών που προέρχονται από την καθαρή ανθρώπινη σκέψη. Μετά λύπης μου έδειξα πως η καθαρή ανθρώπινη σκέψη έχει, στην πραγματικότητα, δει επιτέλους αυτό που ήδη έβλεπε τόσο καιρό. Εδώ λοιπόν παρουσιάζω κάτι, το σύνολο από ποτάμια μιας καμπύλης που γεμίζει τον χώρο. Και λοιπόν αποτελεί ολόκληρη ιστορία από μόνο του. Οπότε ήταν μεταξύ 1875 με 1925 μια συναρπαστική περίοδος στην οποία τα μαθηματικά ετοιμάζονταν να ξεφύγουν από το φυσικό κόσμο. Και τα αντικείμενα που χρησιμοποιήθηκαν σαν παραδείγματα όταν ήμουν παιδί και φοιτητής του χάσματος μεταξύ των μαθηματικών και της ορατής πραγματικότητας αυτά τα αντικείμενα τα γύρισα εντελώς ανάποδα. Τα χρησιμοποίησα για να περιγράψω μερικές από τις πλευρές της πολυπλοκότητας της φύσης.
Now, here is another thing which is rather interesting. One of the shattering events in the history of mathematics, which is not appreciated by many people, occurred about 130 years ago, 145 years ago. Mathematicians began to create shapes that didn't exist. Mathematicians got into self-praise to an extent which was absolutely amazing, that man can invent things that nature did not know. In particular, it could invent things like a curve which fills the plane. A curve's a curve, a plane's a plane, and the two won't mix. Well, they do mix. A man named Peano did define such curves, and it became an object of extraordinary interest. It was very important, but mostly interesting because a kind of break, a separation between the mathematics coming from reality, on the one hand, and new mathematics coming from pure man's mind. Well, I was very sorry to point out that the pure man's mind has, in fact, seen at long last what had been seen for a long time. And so here I introduce something, the set of rivers of a plane-filling curve. And well, it's a story unto itself. So it was in 1875 to 1925, an extraordinary period in which mathematics prepared itself to break out from the world. And the objects which were used as examples, when I was a child and a student, as examples of the break between mathematics and visible reality -- those objects, I turned them completely around. I used them for describing some of the aspects of the complexity of nature.
Ένας άνδρας ονόματι Χάουσντορφ το 1919 εισήγαγε έναν αριθμό που αποτελούσε απλά μαθηματικό αστείο. Εγώ ανακάλυψα πως αυτός ο αριθμός ήταν ένα πολύ καλό μέτρο της τραχύτητας. Όταν το πρωτοείπα στους φίλους μου τους μαθηματικούς είπαν, "Μην είσαι ανόητος. Είναι απλά κάτι." Στην πραγματικότητα,δεν ήμουν ανόητος. Ο μεγάλος ζωγράφος Χόκουσαι το γνώριζε πολύ καλά. Τα αντικέιμενα στο έδαφος είναι άλγη. Δεν γνώριζε τα μαθηματικά, δεν υπήρχαν ακόμη. Και ήταν Ιάπωνας που δεν είχε καμία επαφή με τη Δύση. Αλλά ζωγραφίζοντας για πολύ καιρό είχε μια φράκταλ πλευρά. Θα μπορούσα να μιλάω γι αυτά πολύ ώρα. Ο πύργος του Άιφελ έχει μια φράκταλ άποψη. Και διάβασα το βιβλίο που ο κ. Άιφελ έγραψε για τον πύργο του. Και πραγματικά ήταν απίστευτο το πόσα πράγματα κατανοούσε.
Well, a man named Hausdorff in 1919 introduced a number which was just a mathematical joke, and I found that this number was a good measurement of roughness. When I first told it to my friends in mathematics they said, "Don't be silly. It's just something [silly]." Well actually, I was not silly. The great painter Hokusai knew it very well. The things on the ground are algae. He did not know the mathematics; it didn't yet exist. And he was Japanese who had no contact with the West. But painting for a long time had a fractal side. I could speak of that for a long time. The Eiffel Tower has a fractal aspect. I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower, and indeed it was astonishing how much he understood.
Αυτός είναι ένας χαμός, χαμός, χαμός. Ένας βρόγχος Μπράουν. Μια μέρα αποφάσισα πως στα μισά της καριέρας μου, με απασχολούσαν τόσα πράγματα στη δουλειά μου, αποφάσισα να δοκιμάσω τον εαυτό μου. Μπορούσα απλά να κοιτάξω κάτι που όλοι παρατηρούσαν για πολύ καιρό και να βρω κάτι δραματικά καινούργιο; Οπότε μελέτησα αυτά τα αντικείμενα που ονομάζονται κίνηση Μπράουν - απλά γυρίζει. Έπαιξα με αυτό για λίγο και το ανάγκασα να γυρίσει στην προέλευση. Έπειτα έλεγα στο βοηθό μου, "Δεν βλέπω κάτι. Μπορείς να το σχεδιάσεις;" Και το σχεδίασε, που σημαίνει πως έβαλε τα πάντα μέσα μόνος του. Είπε: "Λοιπόν, εμφανίστηκε αυτό το πράγμα" Και εγώ είπα, "Σταμάτα! Σταμάτα! Σταμάτα! βλέπω, είναι ένα νησί" Και απίστευτο. Η κίνηση Μπράουν λοιπόν, η οποία τυχαίνει να έχει έναν αριθμό τραχύτητας στο 2, γυρίζει. Την μέτρησα, 1.33. Ξανά,ξανά, ξανά. Μεγάλες μετρήσεις, μεγάλες κινήσεις Μπράουν, 1.33. Πρόβλημα μαθηματικών: πως το αποδεικνύεις; Οι φίλοι μου χρειάστηκαν 20 χρόνια. Τρείς απ' αυτούς είχαν ημιτελείς αποδείξεις. Μαζεύτηκαν, και μαζί είχαν την απόδειξη. Έλαβαν λοιπόν ένα σπουδαίο μετάλλιο (Fields) στα μαθηματικά, ένα από τα τρία μετάλλια που έχουν δεχτεί άτομα που απέδειξαν πράγματα που είχα παρατηρήσει χωρίς να μπορώ να τα αποδείξω.
This is a mess, mess, mess, Brownian loop. One day I decided -- halfway through my career, I was held by so many things in my work -- I decided to test myself. Could I just look at something which everybody had been looking at for a long time and find something dramatically new? Well, so I looked at these things called Brownian motion -- just goes around. I played with it for a while, and I made it return to the origin. Then I was telling my assistant, "I don't see anything. Can you paint it?" So he painted it, which means he put inside everything. He said: "Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop! I see; it's an island." And amazing. So Brownian motion, which happens to have a roughness number of two, goes around. I measured it, 1.33. Again, again, again. Long measurements, big Brownian motions, 1.33. Mathematical problem: how to prove it? It took my friends 20 years. Three of them were having incomplete proofs. They got together, and together they had the proof. So they got the big [Fields] medal in mathematics, one of the three medals that people have received for proving things which I've seen without being able to prove them.
Λοιπόν όλοι με ρωτάνε κάποια στιγμή, "Πως ξεκίνησαν όλα; Τι σας έφερε σε αυτήν την περίεργη ενασχόληση;" Τι με έκανε να γίνω, την ίδια στιγμή, ένας μηχανικός, ένας γεωγράφος και ένας μαθηματικός και ούτω καθεξής, ένας φυσικός; Στην πραγματικότητα άρχισα, όλως περιέργως, μελετώντας τιμές στο χρηματιστήριο. Εδώ λοιπόν είχα αυτή τη θεωρία, έγραψα και βιβλία για αυτήν, δημοσιονομικές αυξήσεις τιμών. Στα αριστερά σας βλέπετε δεδομένα μιας μεγάλης περιόδου. Στα δεξιά, πάνω, βλέπετε μια θεωρία η οποία είναι πολύ, πολύ δημοφιλής. Ήταν πολύ εύκολο. και μπορεί κάποιος να γράψει γρήγορα πολλά βιβλία γι' αυτό. (Γέλια) Υπάρχουν χιλιάδες βιβλία πάνω σε αυτό. Συγκρίνετε τα τώρα με πραγματικές αυξήσεις τιμών, και που βρίσκονται πραγματικές αυξήσεις τιμών; Λοιπόν, αυτές οι άλλες γραμμές περιλαμβάνουν μερικές πραγματικές αυξήσεις τιμών και μερικές πλαστές που έκανα. Η ιδέα λοιπόν ήταν πως κάποιος θα μπορούσε - πως να το πούμε; - να φτιάξει ένα μοντέλο των αυξομειώσεων των τιμών. Και πήγε πολύ καλά 50 χρόνια πριν. Για 50 χρόνια πολλοί δυσαρεστούσαν μαζί μου κατά κάποιο τρόπο επειδή μπορούσαν να το κάνουν πολύ, πολύ πιο εύκολα. Σας λέω όμως, σε αυτό το σημείο, ο κόσμος με ακούσε. (Γέλια) Αυτές οι δύο καμπύλες είναι μέσοι όροι. Standard & Poor , η μπλέ. Και η κόκκινη είναι της Standard & Poor, από την οποία οι πέντε μεγαλύτερες ασυνέχειες έχουν αφαιρεθεί. Οι ασυνέχειες τώρα είναι μπελάς. Οπότε σε πολλές μελέτες τιμών, παραλείπονται. "Πράξεις Θεού" Και παίρνουμε άχρηστα πράγματα που απομένουν. Πράξεις Θεού σε αυτήν την εικόνα πέντε πράξεις Θεού είναι τόσο σημαντικές όσο οτιδήποτε άλλο. Με άλλα λόγια, δεν πρέπει να παραλείπουμε αυτές τις πράξεις Θεού. Αυτές είναι το ζουμί, το πρόβλημα. Αν τις κατέχεις αυτές, κατέχεις τις τιμές. Και αν δεν τις κατέχεις, μπορείς να κατέχεις τον θόρυβο όσο περισσότερο μπορείς αλλά είναι άνευ σημασίας. Ορίστε λοιπόν οι καμπύλες για αυτό.
Now everybody asks me at one point or another, "How did it all start? What got you in that strange business?" What got you to be, at the same time, a mechanical engineer, a geographer and a mathematician and so on, a physicist? Well actually I started, oddly enough, studying stock market prices. And so here I had this theory, and I wrote books about it -- financial prices increments. To the left you see data over a long period. To the right, on top, you see a theory which is very, very fashionable. It was very easy, and you can write many books very fast about it. (Laughter) There are thousands of books on that. Now compare that with real price increments. Where are real price increments? Well, these other lines include some real price increments and some forgery which I did. So the idea there was that one must be able to -- how do you say? -- model price variation. And it went really well 50 years ago. For 50 years, people were sort of pooh-poohing me because they could do it much, much easier. But I tell you, at this point, people listened to me. (Laughter) These two curves are averages: Standard & Poor, the blue one; and the red one is Standard & Poor's from which the five biggest discontinuities are taken out. Now discontinuities are a nuisance, so in many studies of prices, one puts them aside. "Well, acts of God. And you have the little nonsense which is left. Acts of God." In this picture, five acts of God are as important as everything else. In other words, it is not acts of God that we should put aside. That is the meat, the problem. If you master these, you master price, and if you don't master these, you can master the little noise as well as you can, but it's not important. Well, here are the curves for it.
Φτάνω λοιπόν, στο τελευταίο πράγμα, που είναι το σύνολο με το οποίο το όνομά μου έχει συνδεθεί. Κατά κάποιο τρόπο είναι η ιστορία της ζωής μου. Την εφηβική μου ηλικία την πέρασα κατά την διάρκεια της γερμανικής κατοχής της Γαλλίας. Και μιας και πίστευα πως μπορεί να χαθώ από μέρα σε μέρα, είχα πολύ μεγάλα όνειρα. Μετά τον πόλεμο, είδα ξανά έναν θείο μου. Ο θείος μου ήταν ένας πολύ εξέχων μαθηματικός και μου είπε, "Κοίτα, υπάρχει ένα πρόβλημα το οποίο δεν μπόρεσα να λύσω 25 χρόνια πριν, και το οποίο κανένας δεν μπορεί να λύσει. Είναι η κατασκευή ενός άνδρα με το όνομα (Γκαστόν) Τζούλια και ενός άνδρα με το όνομα (Πιέρ) Φατού. Αν μπορούσες να βρείς κάτι καινούριο, οτιδήποτε, θα φτιάξεις την καριέρα σου." Πολύ απλό. Οπότε κοίταξα και όπως χιλιάδες άνθρωποι που είχαν προσπαθήσει προηγουμένως, δεν βρήκα κάτι.
Now, I get to the final thing, which is the set of which my name is attached. In a way, it's the story of my life. My adolescence was spent during the German occupation of France. Since I thought that I might vanish within a day or a week, I had very big dreams. And after the war, I saw an uncle again. My uncle was a very prominent mathematician, and he told me, "Look, there's a problem which I could not solve 25 years ago, and which nobody can solve. This is a construction of a man named [Gaston] Julia and [Pierre] Fatou. If you could find something new, anything, you will get your career made." Very simple. So I looked, and like the thousands of people that had tried before, I found nothing.
Τότε όμως εμφανίστηκε ο υπολογιστής. Και αποφάσισα να εφαρμόσω τον υπολογιστή όχι σε νέα προβλήματα στα μαθηματικά - σαν εκείνο, αυτό είναι ένα καινούριο πρόβλημα - αλλά σε παλιά προβλήματα. Και πέρασα από αυτό που αποκαλούμε πραγματικούς αριθμούς, που αποτελούν σημεία σε μια γραμμή, στους φανταστικούς, μιγαδικούς αριθμούς, που αποτελούν σημεία σε ένα επίπεδο αυτό που θα έπρεπε να κάνει κάποιος σε αυτή την περίπτωση. Και προέκυψε αυτό το σχήμα. Το σχήμα αυτο είναι απίστευτα περίπλοκο. Η εξίσωση είναι κρυμμένη εκεί, το z πάει σε z τετράγωνο, συν c. Είναι τόσο απλό, τόσο βαρετό. Δεν έχει καθόλου ενδιαφέρον. Γυρίζετε τώρα τον μοχλό μια φορά, δύο, δύο, και θαύματα προκύπτουν. Εννοώ πως εμφανίζεται αυτό. Δεν θέλω να εξηγήσω αυτά τα πράγματα. Εμφανίζεται αυτό. Αυτό. Σχήματα που είναι τέτοιας πολυπλοκότητας, τέτοιας αρμονίας και ομορφιάς. Εμφανίζεται αυτό συνεχόμενα, ξανά, ξανά, ξανά. Και αυτή ήταν μια από τις μεγαλύτερες ανακαλύψεις μου, να βρω πως αυτά τα μικρά νησιά ήταν τα ίδια με το ολόκληρο αρχικό τμήμα, πάνω κάτω. Έπειτα προκύπτουν αυτά τα θαυμάσια μπαρόκ σχήματα παντού. Όλα αυτά από αυτή την μικρή εξίσωση, που αποτελείται από πέντε σύμβολα. Και μετά αυτό. Το χρώμα προστέθηκε για δύο λόγους. Πρώτα απ' όλα, επειδή αυτά τα σχήματα είναι τόσο περίπλοκα, που δεν θα μπορούσε κάποιος να βγάλει νόημα από τους αριθμούς. Και αν τους σχεδιάσεις σε μια γραφική παράσταση, πρέπει να διαλέξεις κάποιο σύστημα. Οπότε η βασική μου αρχή είναι να αναπαριστώ πάντα τα σχήματα με διαφορετικές αποχρώσεις, επειδή κάποιες αποχρώσεις τονίζουν αυτό, άλλες εκείνο ή το άλλο. Είναι τόσο περίπλοκο.
But then the computer came, and I decided to apply the computer, not to new problems in mathematics -- like this wiggle wiggle, that's a new problem -- but to old problems. And I went from what's called real numbers, which are points on a line, to imaginary, complex numbers, which are points on a plane, which is what one should do there, and this shape came out. This shape is of an extraordinary complication. The equation is hidden there, z goes into z squared, plus c. It's so simple, so dry. It's so uninteresting. Now you turn the crank once, twice: twice, marvels come out. I mean this comes out. I don't want to explain these things. This comes out. This comes out. Shapes which are of such complication, such harmony and such beauty. This comes out repeatedly, again, again, again. And that was one of my major discoveries, to find that these islands were the same as the whole big thing, more or less. And then you get these extraordinary baroque decorations all over the place. All that from this little formula, which has whatever, five symbols in it. And then this one. The color was added for two reasons. First of all, because these shapes are so complicated that one couldn't make any sense of the numbers. And if you plot them, you must choose some system. And so my principle has been to always present the shapes with different colorings because some colorings emphasize that, and others it is that or that. It's so complicated.
(Γέλια)
(Laughter)
Το 1990, ήμουν στο Κέιμπριτζ, στο Ηνωμένο Βασίλειο. για να δεχτώ ένα βραβείο από το πανεπιστήμιο. Και τρείς μέρες μετά, ένας πιλότος πετούσε πάνω από το τοπίο και βρήκε αυτό το πράγμα. Από που προήλθε λοιπόν; Προφανώς, από τους εξωγήινους. (Γέλια) Η εφημερίδα στο Κέιμπριτζ λοιπόν δημοσίευσε ένα άρθρο για αυτήν την "ανακάλυψη" και έλαβε την επόμενη μέρα 5,000 γράμματα από ανθρώπους που λέγανε, "Μα αυτό είναι απλά ένα πολύ μεγάλο σύνολο Μάντελμπροτ."
In 1990, I was in Cambridge, U.K. to receive a prize from the university, and three days later, a pilot was flying over the landscape and found this thing. So where did this come from? Obviously, from extraterrestrials. (Laughter) Well, so the newspaper in Cambridge published an article about that "discovery" and received the next day 5,000 letters from people saying, "But that's simply a Mandelbrot set very big."
Τελειώνοντας λοιπόν. Αυτό εδώ το σχήμα προήλθε από μια εργασία στα καθαρά μαθηματικά. Απύθμενα θαύματα ξεπηδούν από απλούς νόμους, που επαναλαμβάνονται χωρίς τέλος.
Well, let me finish. This shape here just came out of an exercise in pure mathematics. Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated without end.
Ευχαριστώ πάρα πολύ.
Thank you very much.
(Χειροκροτήματα)
(Applause)