Moltes gràcies. Perdoneu-me per seure; sóc molt gran. (Rialles) Bé, el tema que vaig a exposar és un que, en certa manera, és ben peculiar perquè és molt antic. La rugositat és part de la vida humana des de sempre. Antics autors ja en van parlar. No es podia dominar. I en certa manera, semblava ser al capdamunt de la complexitat. un desori, un desori i un desori. Hi ha moltes menes diferents de desoris. Ara, de fet, per pura xamba, fa molts anys em vaig veure embolicat en un estudi d'aquest tipus de complexitat. I, contra tot pronòstic, vaig trobar indicis -- indicis prou clars, haig de dir -- d'ordre en aquella rugositat. I així avui, voldria presentar-vos uns quants exemples del que això vol dir. Prefereixo el mot rugositat al mot irregularitat perquè irregularitat -- per a algú com jo que vaig estudiar llatí en la meva joventut, ja fa molt temps -- significa el contrari de la regularitat. Però no és així. La regularitat és el contrari de la rugositat perquè l'aspecte bàsic del món és molt rugós.
Thank you very much. Please excuse me for sitting; I'm very old. (Laughter) Well, the topic I'm going to discuss is one which is, in a certain sense, very peculiar because it's very old. Roughness is part of human life forever and forever, and ancient authors have written about it. It was very much uncontrollable, and in a certain sense, it seemed to be the extreme of complexity, just a mess, a mess and a mess. There are many different kinds of mess. Now, in fact, by a complete fluke, I got involved many years ago in a study of this form of complexity, and to my utter amazement, I found traces -- very strong traces, I must say -- of order in that roughness. And so today, I would like to present to you a few examples of what this represents. I prefer the word roughness to the word irregularity because irregularity -- to someone who had Latin in my long-past youth -- means the contrary of regularity. But it is not so. Regularity is the contrary of roughness because the basic aspect of the world is very rough.
Deixeu-me mostrar-vos alguns objectes. Alguns són artificials. Altres són ben reals, d'alguna manera. Això és real. És una coliflor. Per què us ensenyo una coliflor, una verdura ben normal i antiga? Perquè tan antiga cóm és, és molt complicada i és molt senzilla les dues coses alhora. Si la voleu pesar, és ben senzilla de pesar. I quan la mengeu, el pes és important. Però suposeu que voleu mesurar-ne la superfície. Bé, és molt interessant. Si talleu, amb un ganivet esmolat, un dels brots de la coliflor i el mireu separadament, us recorda la coliflor sencera, però més petita. I la talleu un altre cop, i un altre, i un altre, i un altre, i un altre, i un altre. I encara tindreu petites coliflors. Així, l'experiència de la humanitat sempre ha estat que hi ha algunes formes que tenen aquesta propietat singular, que cada part és com el tot, però més petita. I què en va fer la humanitat d'això? Ben poca cosa. (Rialles)
So let me show you a few objects. Some of them are artificial. Others of them are very real, in a certain sense. Now this is the real. It's a cauliflower. Now why do I show a cauliflower, a very ordinary and ancient vegetable? Because old and ancient as it may be, it's very complicated and it's very simple, both at the same time. If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it, and when you eat it, the weight matters -- but suppose you try to measure its surface. Well, it's very interesting. If you cut, with a sharp knife, one of the florets of a cauliflower and look at it separately, you think of a whole cauliflower, but smaller. And then you cut again, again, again, again, again, again, again, again, again, and you still get small cauliflowers. So the experience of humanity has always been that there are some shapes which have this peculiar property, that each part is like the whole, but smaller. Now, what did humanity do with that? Very, very little. (Laughter)
Doncs el que vaig fer va ser estudiar aquest problema, i em vaig trobar amb una cosa prou sorprenent. Que un pot mesurar la rugositat amb un nombre, un nombre, "2,3", "1,2" i a vegades molt més. Un dia, un amic meu, per provocar-me, va portar una foto, i em va dir, "Quina és la rugositat d'aquesta corba?" Vaig dir, "Bé, no arriba a 1,5" Era 1,48. No m'hi va costar gaire. He estat mirant aquestes coses durant molt de temps. I aquests nombres són els nombres que indiquen la rugositat d'aquestes superfícies. M'afanyo a dir que aquestes superfícies són artificials del tot. Estàn fetes amb un ordinador. I que l'única dada és un nombre. I que el nombre és la rugositat. Així a l'esquerra, agafo la rugositat semblant a la de molts paisatges. A l'esquerra, agafo una rugositat més gran. I l'ull, al cap de poc, pot distingir-ne les dues molt bé.
So what I did actually is to study this problem, and I found something quite surprising. That one can measure roughness by a number, a number, 2.3, 1.2 and sometimes much more. One day, a friend of mine, to bug me, brought a picture and said, "What is the roughness of this curve?" I said, "Well, just short of 1.5." It was 1.48. Now, it didn't take me any time. I've been looking at these things for so long. So these numbers are the numbers which denote the roughness of these surfaces. I hasten to say that these surfaces are completely artificial. They were done on a computer, and the only input is a number, and that number is roughness. So on the left, I took the roughness copied from many landscapes. To the right, I took a higher roughness. So the eye, after a while, can distinguish these two very well.
La humanitat havia d'aprendre a mesurar la rugositat. Això és molt rugós, i aixó és una mica suau, i aixó és totalment llis. Molt poques coses són ben suaus. Quan intentes preguntar-te: quina és la superfície d'una coliflor? Bé, mesures i mesures i mesures. I quan més a la vora arribes es fa més gran, fins arribar a distàncies molt i molt petites. Quina és la llargada de la riba d'aquests llacs? Com més a la vora ho mesures, més llarg resulta ser. El concepte de la llargada de la riba, que sembla tan natural perquè se'ns dóna moltes vegades, és, de fet, una completa fal·làcia; no existeix. S'ha de fer d'una altra manera.
Humanity had to learn about measuring roughness. This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth. Very few things are very smooth. So then if you try to ask questions: "What's the surface of a cauliflower?" Well, you measure and measure and measure. Each time you're closer, it gets bigger, down to very, very small distances. What's the length of the coastline of these lakes? The closer you measure, the longer it is. The concept of length of coastline, which seems to be so natural because it's given in many cases, is, in fact, complete fallacy; there's no such thing. You must do it differently.
Per què és bo saber aquestes coses? Bé, sorprèn força perquè és bo per molts motius. Per començar, els paisatges artificials, que d'alguna manera vaig inventar, s'utilitzen al cinema molt sovint. Veiem muntanyes en la distància. Poden ser muntanyes, però poden ser generades només per fórmules. Ara és molt fàcil de fer. Abans calia molt de temps, però ara no costa res. Ara mireu això. És un pulmó de veritat. Bé, un pulmó és una cosa ben rara. Si agafes això, ja sabeu molt bé que pesa ben poc. El volum d'un pulmó és molt petit. Però quina és l'àrea del pulmó? Els anatomistes segueixen discutint molt sobre això. Alguns diuen que un pulmó normal d'un home té una àrea com l'interior d'una pista de bàsquet. Altres diuen, no, de cinc pistes de bàsquet. Grans diferències. Perquè passa això? Perquè, de fet, l'àrea del pulmó és una cosa gens ben definida. Els bronquis es ramifiquen, es ramifiquen, es ramifiquen. I paren de ramificar-se, no per cap qüestió de principis, sinó per consideracions físiques, per la mucositat que hi ha al pulmó. El que passa és que aquesta és la manera de tenir un pulmó molt més gran, i es ramifica i ramifica, fins a mides molt semblants per a una balena, un home o un petit rosegador.
What good is that, to know these things? Well, surprisingly enough, it's good in many ways. To begin with, artificial landscapes, which I invented sort of, are used in cinema all the time. We see mountains in the distance. They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on. Now it's very easy to do. It used to be very time-consuming, but now it's nothing. Now look at that. That's a real lung. Now a lung is something very strange. If you take this thing, you know very well it weighs very little. The volume of a lung is very small, but what about the area of the lung? Anatomists were arguing very much about that. Some say that a normal male's lung has an area of the inside of a basketball [court]. And the others say, no, five basketball [courts]. Enormous disagreements. Why so? Because, in fact, the area of the lung is something very ill-defined. The bronchi branch, branch, branch and they stop branching, not because of any matter of principle, but because of physical considerations: the mucus, which is in the lung. So what happens is that in a way you have a much bigger lung, but it branches and branches down to distances about the same for a whale, for a man and for a little rodent.
Ara bé, per a què és bo que això sigui així? Bé, és ben sorprenent i ben curiós, que els anatomistes no en tinguessin ni idea de l'estructura del pulmó fins fa ben poc. I penso que les meves matemàtiques, de forma sorprenent, han ajudat molt els cirurgians que estudien les malaties pulmonars i també les dels ronyons. Tots aquests sistemes ramificats, per als quals no hi havia cap geometria. I em vaig trobar, en altres paraules, construïnt una geometria, una geometria de les coses que no tenien geometria. I un aspecte curiós d'això és que molt sovint, les regles d'aquesta geometria són molt poques. Tens fórmules d'aquesta mida. I les utilitzem moltes vegades. De vegades repetidament, un cop i un altre, i un altre. La mateixa repetició. I al final obtens coses com aquesta.
Now, what good is it to have that? Well, surprisingly enough, amazingly enough, the anatomists had a very poor idea of the structure of the lung until very recently. And I think that my mathematics, surprisingly enough, has been of great help to the surgeons studying lung illnesses and also kidney illnesses, all these branching systems, for which there was no geometry. So I found myself, in other words, constructing a geometry, a geometry of things which had no geometry. And a surprising aspect of it is that very often, the rules of this geometry are extremely short. You have formulas that long. And you crank it several times. Sometimes repeatedly: again, again, again, the same repetition. And at the end, you get things like that.
Aquest núvol és completament, 100 % artificial. Bé, 99,9 %. I l'unica cosa que és natural és un nombre, la rugositat del núvol, que l'hem pres de la natura. Una cosa tan complicada com un núvol, tan inestable, tan canviant, havia de tenir una senzilla regla al darrere. Ara bé, aquesta regla senzilla no explica els núvols. L'observador de núvols hauria de tenir-ho en compte. No sé com són d'avançades aquestes fotos, ja són antigues. Vaig estar molt involucrat en això, però llavors em vaig fixar en un altre fenomen.
This cloud is completely, 100 percent artificial. Well, 99.9. And the only part which is natural is a number, the roughness of the cloud, which is taken from nature. Something so complicated like a cloud, so unstable, so varying, should have a simple rule behind it. Now this simple rule is not an explanation of clouds. The seer of clouds had to take account of it. I don't know how much advanced these pictures are. They're old. I was very much involved in it, but then turned my attention to other phenomena.
Bé, hi ha una altra cosa que és ben interessant. Un d'aquests moments clau en la història de les matemàtiques, que no és valorada per molta gent, va passar fa uns 130 anys, 145. Els matemàtics van començar a crear formes que no existien. Els matemàtics es van felicitar, fins a un punt que era realment sorprenent, pel fet que l'home pogués inventar coses que no hi havia a la natura. En particular, que poguessin inventar coses com una corba que omple el pla. Una corba és una corba i un pla és un pla, i no es poden barrejar. Doncs bé, s'hi barregen. Un home que s'anomenava Peano va definir aquesta mena de corbes, i va esdevenir l'objecte d'un interès extraordinari. Era molt important, però sobretot interessant perquè era una mena de trencament, una separació entre les matemàtiques provinents de la realitat d'una banda i les noves matemàtiques provinents purament de la ment humana. Bé, em va saber greu observar que la ment pura de l'home havia, de fet, trigat molt a adonar-se d'allò que havia estat veient feia molt temps. I ara us ensenyaré una cosa, el conjunt de rius d'una corba que omple un pla. I bé, és una història en si mateixa. Això va ser entre 1875 i 1925, un període extraordinari en què les matemàtiques es van preparar per separar-se del món. I els objectes que s'empraven com a exemples, quan era nen i estudiant, del trencament entre les matemàtiques i la realitat visible -- aquells objectes, els vaig capgirar completament. Jo els emprava per descriure alguns aspectes de la complexitat de la natura.
Now, here is another thing which is rather interesting. One of the shattering events in the history of mathematics, which is not appreciated by many people, occurred about 130 years ago, 145 years ago. Mathematicians began to create shapes that didn't exist. Mathematicians got into self-praise to an extent which was absolutely amazing, that man can invent things that nature did not know. In particular, it could invent things like a curve which fills the plane. A curve's a curve, a plane's a plane, and the two won't mix. Well, they do mix. A man named Peano did define such curves, and it became an object of extraordinary interest. It was very important, but mostly interesting because a kind of break, a separation between the mathematics coming from reality, on the one hand, and new mathematics coming from pure man's mind. Well, I was very sorry to point out that the pure man's mind has, in fact, seen at long last what had been seen for a long time. And so here I introduce something, the set of rivers of a plane-filling curve. And well, it's a story unto itself. So it was in 1875 to 1925, an extraordinary period in which mathematics prepared itself to break out from the world. And the objects which were used as examples, when I was a child and a student, as examples of the break between mathematics and visible reality -- those objects, I turned them completely around. I used them for describing some of the aspects of the complexity of nature.
Bé, el 1919, un home anomenat Hausdorff va introduir un nombre que era un acudit matemàtic. I vaig trobar que aquest nombre era una bona mesura de la rugositat. Quan ho vaig dir per primer cop als meus amics matemàtics van dir, "No siguis ridícul. És només una cosa [ridícula]." Bé, de fet, no va resultar tan ridícul. El gran pintor Hokusai ja ho sabia. El que hi ha al terra són algues. No coneixía aquestes matemàtiques; encara no existien. I era un japonès que no havia tingut contactes amb Occident. Però la seva pintura durant molt de temps va tenir un caire fractal. Podria parlar d'això molta estona. La Torre Eiffel té un aspecte fractal. I vaig llegir el llibre que el Sr. Eiffel va escriure sobre la seva torre. I de fet era sorprenent tot el que hi entenia.
Well, a man named Hausdorff in 1919 introduced a number which was just a mathematical joke, and I found that this number was a good measurement of roughness. When I first told it to my friends in mathematics they said, "Don't be silly. It's just something [silly]." Well actually, I was not silly. The great painter Hokusai knew it very well. The things on the ground are algae. He did not know the mathematics; it didn't yet exist. And he was Japanese who had no contact with the West. But painting for a long time had a fractal side. I could speak of that for a long time. The Eiffel Tower has a fractal aspect. I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower, and indeed it was astonishing how much he understood.
Això sí que és un desori total, la corba browniana. Un dia vaig decidir que, al mig de la meva carrera, estava lligat per tantes coses a la feina, que vaig decidir posar-me a prova. Podia mirar alguna cosa que tothom ja havia estudiat molt de temps i trobar alguna cosa completament nova? Bé, em vaig fixar en aquestes coses anomenades moviment brownià -- només es mou. Vaig estar jugant-hi per un temps, i vaig tornar a començar. Vaig dir-li al meu assistent, "No hi veig res. Podries pintar-ho?" I ho va pintar, cosa que vol dir que va pintar tot l'interior. Em va dir: "Bé, això és el que ha sortit..." I vaig dir-li, "Atura't! Atura't! Atura't! Ja ho veig, és una illa." I va ser sorprenent. El moviment brownià, que té un nombre de rugositat 2, ja queda definit. El vaig mesurar, 1,33. Un cop i un altre, i un altre. Llargues mesures, grans moviments brownians, 1,33. El problema matemàtic: com provar-ho? Els meus amics van trigar 20 anys. Tres d'ells en tenien proves incomplertes. S'hi van trobar, i junts van obtenir-ne la prova. I van rebre la gran medalla [Fields] de les matemàtiques, una de les tres medalles que la gent ha rebut per demostrar coses que jo ja havia vist però no havia estat capaç de demostrar.
This is a mess, mess, mess, Brownian loop. One day I decided -- halfway through my career, I was held by so many things in my work -- I decided to test myself. Could I just look at something which everybody had been looking at for a long time and find something dramatically new? Well, so I looked at these things called Brownian motion -- just goes around. I played with it for a while, and I made it return to the origin. Then I was telling my assistant, "I don't see anything. Can you paint it?" So he painted it, which means he put inside everything. He said: "Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop! I see; it's an island." And amazing. So Brownian motion, which happens to have a roughness number of two, goes around. I measured it, 1.33. Again, again, again. Long measurements, big Brownian motions, 1.33. Mathematical problem: how to prove it? It took my friends 20 years. Three of them were having incomplete proofs. They got together, and together they had the proof. So they got the big [Fields] medal in mathematics, one of the three medals that people have received for proving things which I've seen without being able to prove them.
Ara tothom em pregunta en un moment o altre: "Com va començar tot plegat? Què us va portar cap a aquest camp tant estrany?" Què em va portar a ser, alhora, enginyer mecànic, geògraf i matemàtic i encara més: físic? Bé, de fet vaig començar, per estrany que sembli, estudiant els preus de la borsa de valors. I llavors tenia aquesta teoria, i vaig escriure llibres sobre això, la pujada dels preus financers. A l'esquerra veieu les dades en un llarg període de temps. A la dreta, a dalt, veieu una teoria que està molt, molt de moda. Era molt senzilla, i hi pots escriure molts llibres i molt depressa. (Rialles) Hi ha milers de llibres sobre això. Ara compareu això amb els increments reals del preu. i on són els increments reals del preu? Bé, aquestes altres línies inclouen alguns increments reals de preu i alguna trampa que vaig fer. L'idea aquí era que un ha de ser capaç de -- com dir-ho? -- modelar la variació de preu. I va funcionar prou bé fa uns 50 anys. Durant 50 anys la gent se'n fotia de mi perquè ho podien fer d'una manera molt més fàcil. Però ja us dic que, ara mateix, la gent m'escolta. (Rialles) Aquestes dues corbes són mitjanes. Standard & Poor, la blava. I la vermella és la de Standard & Poor, de la que s'han tret les cinc discontinuïtats més grans. Ara les discontinuïtats són una llauna. Per això en molts estudis de preus, un les deixa de banda. "Be, són imprevistos. I et quedes amb una cosa sense sentit. Imprevistos. En aquesta imatge cinc imprevistos són tant importants com qualsevol altra cosa. En altres paraules, no són els imprevistos el que hauríem de treure. Aquest és realment el fons del problema. Si els arribes a dominar, domines el preu. I si no els arribes a dominar, pots dominar el petit soroll tan bé com puguis, però no és important. Bé, aquí hi ha les corbes per a això.
Now everybody asks me at one point or another, "How did it all start? What got you in that strange business?" What got you to be, at the same time, a mechanical engineer, a geographer and a mathematician and so on, a physicist? Well actually I started, oddly enough, studying stock market prices. And so here I had this theory, and I wrote books about it -- financial prices increments. To the left you see data over a long period. To the right, on top, you see a theory which is very, very fashionable. It was very easy, and you can write many books very fast about it. (Laughter) There are thousands of books on that. Now compare that with real price increments. Where are real price increments? Well, these other lines include some real price increments and some forgery which I did. So the idea there was that one must be able to -- how do you say? -- model price variation. And it went really well 50 years ago. For 50 years, people were sort of pooh-poohing me because they could do it much, much easier. But I tell you, at this point, people listened to me. (Laughter) These two curves are averages: Standard & Poor, the blue one; and the red one is Standard & Poor's from which the five biggest discontinuities are taken out. Now discontinuities are a nuisance, so in many studies of prices, one puts them aside. "Well, acts of God. And you have the little nonsense which is left. Acts of God." In this picture, five acts of God are as important as everything else. In other words, it is not acts of God that we should put aside. That is the meat, the problem. If you master these, you master price, and if you don't master these, you can master the little noise as well as you can, but it's not important. Well, here are the curves for it.
Ara, ja arribo a la conclusió, que és el conjunt que porta el meu nom. D'alguna manera es tracta de la història de la meva vida. La meva adolescència va passar durant l'ocupació alemanya de França. I com pensava que podria desaparèixer el dia o la setmana següent, Tenia grans somnis. I després de la guerra, Em vaig retrobar amb un oncle. El meu oncle era un matemàtic molt notable i em va dir, "Mira, hi ha un problema que no vaig poder resoldre fa 25 anys, i que ningú pot resoldre. És l'obra d'un home anomenat [Gaston] Julia i d'en [Pierre] Fatou. Si poguessis trobar alguna cosa nova, qualsevol cosa, ja hauries fet carrera." Molt senzill. I hi vaig cercar, i com els milers de persones que ho van intentar abans que jo, no hi vaig trobar res.
Now, I get to the final thing, which is the set of which my name is attached. In a way, it's the story of my life. My adolescence was spent during the German occupation of France. Since I thought that I might vanish within a day or a week, I had very big dreams. And after the war, I saw an uncle again. My uncle was a very prominent mathematician, and he told me, "Look, there's a problem which I could not solve 25 years ago, and which nobody can solve. This is a construction of a man named [Gaston] Julia and [Pierre] Fatou. If you could find something new, anything, you will get your career made." Very simple. So I looked, and like the thousands of people that had tried before, I found nothing.
Però van arribar els ordinadors. I vaig decidir d'aplicar-hi els ordinadors, no als nous problemes de les matemàtiques -- com aquest trencaclosques, això és un problema nou -- sinó als vells problemes. I vaig anar dels anomenats nombres reals, que són punts en una línia, als nombres complexos, els imaginaris, que són punts en un pla, que és el que un hauria de fer. I va aparèixer aquesta figura. Aquesta figura és extraordinàriament complicada. L'equació és amagada allà, z es transforma en z al quadrat més c. És tan senzilla, tan eixuta. És tan poc interessant. Però si l'apliques un cop, dos, dos, apareixen meravelles. Vull dir que surt això. No vull explicar aquestes coses. Això és el que surt. Això és el que surt. Figures que són tan complicades, amb tanta harmonia i bellesa. Això surt repetidament, un cop i un altre. I un dels meus descobriments més importants va ser trobar que aquestes illes eren iguals que l'illa gran, més o menys. I tens tota aquesta extraordinària decoració barroca per tot arreu. Tot això surt d'aquesta petita fórmula, que conté nomès, cinc simbols. I també aquesta altra. S'hi va afegir el color per dos motius. Primer perquè aquestes figures són tan complicades, que un no trobaria el sentit dels nombres. I si els dibuixes, has de triar algun sistema. I el meu principi ha estat sempre presentar les figures amb diferents acoloriments, perquè alguns acoloriments posen de relleu això, i d'altres això o allò. És molt complicat.
But then the computer came, and I decided to apply the computer, not to new problems in mathematics -- like this wiggle wiggle, that's a new problem -- but to old problems. And I went from what's called real numbers, which are points on a line, to imaginary, complex numbers, which are points on a plane, which is what one should do there, and this shape came out. This shape is of an extraordinary complication. The equation is hidden there, z goes into z squared, plus c. It's so simple, so dry. It's so uninteresting. Now you turn the crank once, twice: twice, marvels come out. I mean this comes out. I don't want to explain these things. This comes out. This comes out. Shapes which are of such complication, such harmony and such beauty. This comes out repeatedly, again, again, again. And that was one of my major discoveries, to find that these islands were the same as the whole big thing, more or less. And then you get these extraordinary baroque decorations all over the place. All that from this little formula, which has whatever, five symbols in it. And then this one. The color was added for two reasons. First of all, because these shapes are so complicated that one couldn't make any sense of the numbers. And if you plot them, you must choose some system. And so my principle has been to always present the shapes with different colorings because some colorings emphasize that, and others it is that or that. It's so complicated.
(Rialles)
(Laughter)
El 1990, vaig anar a Cambridge, UK a rebre un premi de la universitat. I tres dies després, un pilot volant per sobre els camps es va trobar això. D'on venia això? Òbviament, dels extraterrestres. (Rialles) Bé, doncs el diari de Cambridge va publicar un article sobre aquell "descobriment" i l'endemà va rebre 5.000 cartes de gent dient, "Però si nomès és el conjunt de Mandelbrot, però ben gran."
In 1990, I was in Cambridge, U.K. to receive a prize from the university, and three days later, a pilot was flying over the landscape and found this thing. So where did this come from? Obviously, from extraterrestrials. (Laughter) Well, so the newspaper in Cambridge published an article about that "discovery" and received the next day 5,000 letters from people saying, "But that's simply a Mandelbrot set very big."
Bé, deixeu-me acabar. Aquesta figura va aparèixer d'un exercici de matemàtica pura. Les meravelles insondables surten de regles ben senzilles, que es repeteixen sense fi.
Well, let me finish. This shape here just came out of an exercise in pure mathematics. Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated without end.
Moltes gràcies.
Thank you very much.
(Aplaudiments)
(Applause)