Много благодаря. Моля, извинете, че седя; много съм стар. (Смях) Е, темата, която ще обсъждам, е в известен смисъл много чудата, защото е много стара. Неравността е част от човешкия живот за вечни времена. И древни автори са писали за нея. Била до голяма степен неконтролируема. И в известен смисъл изглеждала крайността на сложността, просто бъркотия, бъркотия и бъркотия. Има много различни видове бъркотия. А всъщност, поради чист късмет, преди много години се захванах с проучване на тази форма на сложност. И за свое дълбоко изумление открих следи... много сериозни следи, трябва да кажа... от ред в тази неравност. И така, днес бих искал да ви представя няколко примера какво представлява това. Предпочитам думата неравност пред думата неправилност, защото неправилност... за човек, който е учил латински в отдавна отминалата си младост... означава обратното на правилност. Но не е така. Правилността е обратното на грапавината, защото основният аспект на света е много неравен.
Thank you very much. Please excuse me for sitting; I'm very old. (Laughter) Well, the topic I'm going to discuss is one which is, in a certain sense, very peculiar because it's very old. Roughness is part of human life forever and forever, and ancient authors have written about it. It was very much uncontrollable, and in a certain sense, it seemed to be the extreme of complexity, just a mess, a mess and a mess. There are many different kinds of mess. Now, in fact, by a complete fluke, I got involved many years ago in a study of this form of complexity, and to my utter amazement, I found traces -- very strong traces, I must say -- of order in that roughness. And so today, I would like to present to you a few examples of what this represents. I prefer the word roughness to the word irregularity because irregularity -- to someone who had Latin in my long-past youth -- means the contrary of regularity. But it is not so. Regularity is the contrary of roughness because the basic aspect of the world is very rough.
Да ви покажа няколко обекта. Някои от тях са изкуствени. Други от тях са много реални, в известен смисъл. Това е реалното. Карфиол. А защо показвам карфиол, много обикновен и древен зеленчук? Защото, колкото и да е стар и древен, е много сложен и много прост едновременно. Ако се опиташ да го претеглиш, разбира се, много е лесно да се претегли. А когато го ядеш, теглото е от значение. Но да предположим, че се опиташ да измериш повърхността му. Е, много е интересно. Ако срежеш, с остър нож, една от розичките на карфиол и я разгледаш отделно, се сещаш за цял карфиол, но по-малък. А после режеш пак, и пак, и пак, и пак, и пак, и пак, и пак, и пак, и пак, и продължаваш да получаваш малки карфиоли. Преживяването на човечеството винаги е било, че има някои форми, които имат това чудато свойство, че всяка част е като цялото, но по-малко. А какво е правило човечеството с това? Много, много малко. (Смях)
So let me show you a few objects. Some of them are artificial. Others of them are very real, in a certain sense. Now this is the real. It's a cauliflower. Now why do I show a cauliflower, a very ordinary and ancient vegetable? Because old and ancient as it may be, it's very complicated and it's very simple, both at the same time. If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it, and when you eat it, the weight matters -- but suppose you try to measure its surface. Well, it's very interesting. If you cut, with a sharp knife, one of the florets of a cauliflower and look at it separately, you think of a whole cauliflower, but smaller. And then you cut again, again, again, again, again, again, again, again, again, and you still get small cauliflowers. So the experience of humanity has always been that there are some shapes which have this peculiar property, that each part is like the whole, but smaller. Now, what did humanity do with that? Very, very little. (Laughter)
Онова, което всъщност направих, е да проуча този проблем, и открих нещо доста изненадващо. Че неравността може да се измери чрез число, число, 2,3,1,2 и понякога много повече. Един ден мой приятел, за да ме дразни, донесе една картина и попита: "Каква е неравността на тази крива?" Отвърнах:" Ами, малко под 1,5." Беще 1,48. Изобщо не се забавих. Толкова отдавна разглеждам тези неща. Тези числа са числата, които обозначават неравността на тези повърхности. Бързам да кажа, че тези повърхности са напълно изкуствени. Направени са на компютър. И е въведено единствено число. Това число е неравност. И така, вляво взех неравността, копирана от много пейзажи. Вдясно взех по-висока неравност. Окото, след известно време, може да различава двете много добре.
So what I did actually is to study this problem, and I found something quite surprising. That one can measure roughness by a number, a number, 2.3, 1.2 and sometimes much more. One day, a friend of mine, to bug me, brought a picture and said, "What is the roughness of this curve?" I said, "Well, just short of 1.5." It was 1.48. Now, it didn't take me any time. I've been looking at these things for so long. So these numbers are the numbers which denote the roughness of these surfaces. I hasten to say that these surfaces are completely artificial. They were done on a computer, and the only input is a number, and that number is roughness. So on the left, I took the roughness copied from many landscapes. To the right, I took a higher roughness. So the eye, after a while, can distinguish these two very well.
Човечеството е трябвало да се научи да измерва неравността. Това е много неравно, това е някак гладко, а това - идеално гладко. Много малко неща са много гладки. Тогава, ако се опиташ да задаваш въпроси: каква е повърхността на един карфиол? Е, мериш, мериш и мериш. Всеки път, щом се приближиш, става по-голяма, до много, много малки разстояния. Каква е дължината на бреговата линия на тези езера? Колкото по-отблизо измерваш, толкова е по-голяма. Понятието за дължина на бреговата линия, което изглежда толкова естествено, защото се дава в много случаи, всъщност е пълна заблуда; няма такова нещо. Трябва да се прави различно.
Humanity had to learn about measuring roughness. This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth. Very few things are very smooth. So then if you try to ask questions: "What's the surface of a cauliflower?" Well, you measure and measure and measure. Each time you're closer, it gets bigger, down to very, very small distances. What's the length of the coastline of these lakes? The closer you measure, the longer it is. The concept of length of coastline, which seems to be so natural because it's given in many cases, is, in fact, complete fallacy; there's no such thing. You must do it differently.
Какъв смисъл има, да се знаят тези неща? Е, доста изненадващо, е добре в много отношения. За начало, изкуствени пейзажи, които някак изобретих, се използват постоянно в киното. Виждаме планини в далечината. Може да са планини, но може да са само формули, просто лъкатушещи. Много е лесно да се прави. Някога беше много времеемко, но сега е нищо работа. А сега, погледнете това. Истински бял дроб. Белият дроб е нещо много странно. Ако вземеш това нещо, много добре знаете, че тежи много малко. Обемът на белия дроб е много малък. А повърхнината на белия дроб? Анатомите много спорят за това. Някои казват, че един нормален мъжки бял дроб има вътрешна повърхнина, колкото вътрешната част на баскетболна топка. А други казват - не, пет баскетболни топки. Огромни несъгласия. Защо така? Защото всъщност повърхнината на белия дроб е нещо много зле дефинирано. Бронхите се разклоняват, разклоняват, разклоняват и спират да се разклоняват не заради някакъв принцип, а по физически съображения, слузта, която е в белия дроб. Онова, което се случва, е, че по този начин имаш много по-голям бял дроб, но ако той се разклонява и разклонява, до разстояния, приблизително едни и същи за кита, за човека и за един малък гризач.
What good is that, to know these things? Well, surprisingly enough, it's good in many ways. To begin with, artificial landscapes, which I invented sort of, are used in cinema all the time. We see mountains in the distance. They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on. Now it's very easy to do. It used to be very time-consuming, but now it's nothing. Now look at that. That's a real lung. Now a lung is something very strange. If you take this thing, you know very well it weighs very little. The volume of a lung is very small, but what about the area of the lung? Anatomists were arguing very much about that. Some say that a normal male's lung has an area of the inside of a basketball [court]. And the others say, no, five basketball [courts]. Enormous disagreements. Why so? Because, in fact, the area of the lung is something very ill-defined. The bronchi branch, branch, branch and they stop branching, not because of any matter of principle, but because of physical considerations: the mucus, which is in the lung. So what happens is that in a way you have a much bigger lung, but it branches and branches down to distances about the same for a whale, for a man and for a little rodent.
А какъв смисъл има да се знае това? Ами, доста изненадващо, доста изумително анатомите имаха много лоша представа за структурата на белия дроб съвсем доскоро. А мисля, че моята математика, доста изненадващо, е била в огромна помощ на хирурзите, проучващи белодробните заболявания, както и бъбречните заболявания, всички тези разклоняващи се системи, за които нямаше геометрия. Така че, с други думи, се оказа, че конструирам геометрия, геометрия на неща, които нямаха геометрия. Един изненадващ аспект от това е, че много често правилата на тази геометрия са изключително кратки. Има формули, толкова дълги. И го огъваш няколко пъти. Понякога многократно - отново, отново и отново. Същото повторение. И накрая се получават такива неща.
Now, what good is it to have that? Well, surprisingly enough, amazingly enough, the anatomists had a very poor idea of the structure of the lung until very recently. And I think that my mathematics, surprisingly enough, has been of great help to the surgeons studying lung illnesses and also kidney illnesses, all these branching systems, for which there was no geometry. So I found myself, in other words, constructing a geometry, a geometry of things which had no geometry. And a surprising aspect of it is that very often, the rules of this geometry are extremely short. You have formulas that long. And you crank it several times. Sometimes repeatedly: again, again, again, the same repetition. And at the end, you get things like that.
Този облак е напълно, 100 процента изкуствен. Е, 99,9. А единствената част, която е естествена, е число, неравността на облака, която е взета от природата. Нещо толкова сложно като облак, толкова нестабилно, толкова вариращо, трябва да има просто правило зад себе си. Това просто правило не е обяснение за облаците. Пророкът по облаците трябва да отговаря за това. Не знам доколко са напреднали тези снимки, стари са. Занимавах се много с това, но после обърнах вниманието си към други феномени.
This cloud is completely, 100 percent artificial. Well, 99.9. And the only part which is natural is a number, the roughness of the cloud, which is taken from nature. Something so complicated like a cloud, so unstable, so varying, should have a simple rule behind it. Now this simple rule is not an explanation of clouds. The seer of clouds had to take account of it. I don't know how much advanced these pictures are. They're old. I was very much involved in it, but then turned my attention to other phenomena.
Ето нещо друго, което е доста интересно. Едно от разтърсващите събития в историята на математиката, което не се оценява от много хора, се случва преди около 130 години, преди 145 години. Математици започват да създават форми, които не съществували. Математиците се заели със самовъзхвали до степен, която била напълно изумителна, че човекът може да изобретява неща, непознати в природата. Особено, че може да изобретява неща като крива, която изпълва равнината. Кривата си е крива, равнината си е равнина и двете нямат нищо общо. Ами, смесват се. Един човек, казвал се Пеано, дефинирал такива криви и това станало обект на изключителен интерес. Било много важно, но най-вече интересно поради един вид пробив, разделение между математици, идващи от реалността, от една страна, и нови математици, идващи от чистия човешки ум. Е, с голямо съжаление изтъкнах, че чистият човешки ум, всъщност, най-сетне е видял онова, което се е виждало отдавна. И така, тук представям нещо, набор от реки на равнинно изпълваща крива. Е, добре, това е история сама по себе си. От 1875-а до 1925-а, изключителен период, през който математиката се подготвяла да се отцепи от света. И обектите, които бяха използвани като примери, когато бях дете и студент за разцепление между математика и видима реалност... тези обекти, напълно ги преобърнах. Използвах ги за описание на някои от аспектите на сложността на природата.
Now, here is another thing which is rather interesting. One of the shattering events in the history of mathematics, which is not appreciated by many people, occurred about 130 years ago, 145 years ago. Mathematicians began to create shapes that didn't exist. Mathematicians got into self-praise to an extent which was absolutely amazing, that man can invent things that nature did not know. In particular, it could invent things like a curve which fills the plane. A curve's a curve, a plane's a plane, and the two won't mix. Well, they do mix. A man named Peano did define such curves, and it became an object of extraordinary interest. It was very important, but mostly interesting because a kind of break, a separation between the mathematics coming from reality, on the one hand, and new mathematics coming from pure man's mind. Well, I was very sorry to point out that the pure man's mind has, in fact, seen at long last what had been seen for a long time. And so here I introduce something, the set of rivers of a plane-filling curve. And well, it's a story unto itself. So it was in 1875 to 1925, an extraordinary period in which mathematics prepared itself to break out from the world. And the objects which were used as examples, when I was a child and a student, as examples of the break between mathematics and visible reality -- those objects, I turned them completely around. I used them for describing some of the aspects of the complexity of nature.
Един човек на име Хаусдорф през 1919 г. въвел едно число, което било само математическа шега. Открих, че това число е добра мярка за неравност. Когато за пръв път го казах на приятелите си математици, те казаха: "Не ставай глупав. То е просто нещо [глупаво]." Е, всъщност не бях глупав. Художникът Хокусай го знаел много добре. Нещата на земята са водорасли. Не е разбирал от математика; тя още не е съществувала. И е бил японец, без никакви контакти със Запада. Но дългогодишното рисуване имало фрактална страна. Бих могъл дълго да говоря за това. Айфеловата кула има фрактален аспект. Прочетох книгата, която г-н Айфел е написал за кулата си. И наистина беше изумително колко много е разбирал.
Well, a man named Hausdorff in 1919 introduced a number which was just a mathematical joke, and I found that this number was a good measurement of roughness. When I first told it to my friends in mathematics they said, "Don't be silly. It's just something [silly]." Well actually, I was not silly. The great painter Hokusai knew it very well. The things on the ground are algae. He did not know the mathematics; it didn't yet exist. And he was Japanese who had no contact with the West. But painting for a long time had a fractal side. I could speak of that for a long time. The Eiffel Tower has a fractal aspect. I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower, and indeed it was astonishing how much he understood.
Това е бъркотия, бъркотия, бъркотия, браунова примка. Един ден реших, че по средата на кариерата си ме задържат толкова много неща в работата ми и реших да се изпитам. Можех ли просто да разгледам нещо, което всички са гледали дълго време, и да открия нещо напълно различно? И така, разгледах тези неща, наречени брауново движение... просто се движи наколо. Играх си с него известно време и го накарах да се върне към произхода. После казах на асистента си: "Не виждам нищо. Може ли да го нарисуваш?" И така, той го нарисува, тоест сам постави всичко вътре. Каза: "Ами, ей това излезе ..." А аз казах: "Спри! Спри! Спри! Виждам, остров е." Изумително. Значи, Брауново движение, което случайно има неравност с число две, върти се наоколо. Изберих го, 1,33. Пак, и пак, и пак. Дълги мерки, големи Браунови движения, 1,33. Математическа задача: как да се докаже? На приятелите ми им трябваха 20 години. Трима от тях имаха непълни доказателства. Събраха се, и заедно намериха доказателството. Затова получиха големия медал по математика [Филдс], един от трите медала, които хората са получавали за доказване на неща, които съм виждал, без да съм в състояние да ги докажа.
This is a mess, mess, mess, Brownian loop. One day I decided -- halfway through my career, I was held by so many things in my work -- I decided to test myself. Could I just look at something which everybody had been looking at for a long time and find something dramatically new? Well, so I looked at these things called Brownian motion -- just goes around. I played with it for a while, and I made it return to the origin. Then I was telling my assistant, "I don't see anything. Can you paint it?" So he painted it, which means he put inside everything. He said: "Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop! I see; it's an island." And amazing. So Brownian motion, which happens to have a roughness number of two, goes around. I measured it, 1.33. Again, again, again. Long measurements, big Brownian motions, 1.33. Mathematical problem: how to prove it? It took my friends 20 years. Three of them were having incomplete proofs. They got together, and together they had the proof. So they got the big [Fields] medal in mathematics, one of the three medals that people have received for proving things which I've seen without being able to prove them.
Сега всеки ме пита в един или друг момент: "Как започна всичко? Какво ви накара да се захванете с този странен бизнес?" Какво ме накара да бъда едновременно механичен инженер, географ, математик и така нататък, физик? Е, странното е, че всъщност започнах, като изучавах цените на стоковата борса. И така, имах една теория и пишех книги за нея, Прираст на финансовите цени. Отляво виждате данни за дълъг период. Вдясно горе виждате една теория, която е много, много модна. Беше много проста, и за нея може да се пишат много книги много бързо. (Смях) Има хиляди книги за това. Сравнете сега това с реалните ценови прирасти. А къде са реалните ценови прирасти? Е, онези други редове включват някои реални ценови прирасти и малко фалшификация, която направих. Идеята там беше, че човек трябва да може... как се казва?... да моделира ценова вариация. Мина много добре преди 50 години. 50 години хората някак ме потупваха по рамото, защото можеха да го правят много, много по-лесно. Но ви казвам, на този етап хората ме слушаха. (Смях) Тези две криви са средни. Стандартно и Лошо, синята. А червената е Стандартно и Лошо, за което са извадени петте най-големи непоследователности. Непоследователностите са неудобство. Затова в много проучвания на цените човек ги оставя настрана. "Е, божа работа." И остават малко глупости. Божа работа на тази картина... Пет божи работи са толкова важни, колкото и всичко друго. С други думи, не божите работи трябва да оставяме настрана. Това е същността, проблемът. Ако ги усвоиш, усвояваш цената. А ако не ги усвоиш, можеш да усвояваш дребния шум колкото можеш по-добре, но той не е важен. Е, ето кривите за това.
Now everybody asks me at one point or another, "How did it all start? What got you in that strange business?" What got you to be, at the same time, a mechanical engineer, a geographer and a mathematician and so on, a physicist? Well actually I started, oddly enough, studying stock market prices. And so here I had this theory, and I wrote books about it -- financial prices increments. To the left you see data over a long period. To the right, on top, you see a theory which is very, very fashionable. It was very easy, and you can write many books very fast about it. (Laughter) There are thousands of books on that. Now compare that with real price increments. Where are real price increments? Well, these other lines include some real price increments and some forgery which I did. So the idea there was that one must be able to -- how do you say? -- model price variation. And it went really well 50 years ago. For 50 years, people were sort of pooh-poohing me because they could do it much, much easier. But I tell you, at this point, people listened to me. (Laughter) These two curves are averages: Standard & Poor, the blue one; and the red one is Standard & Poor's from which the five biggest discontinuities are taken out. Now discontinuities are a nuisance, so in many studies of prices, one puts them aside. "Well, acts of God. And you have the little nonsense which is left. Acts of God." In this picture, five acts of God are as important as everything else. In other words, it is not acts of God that we should put aside. That is the meat, the problem. If you master these, you master price, and if you don't master these, you can master the little noise as well as you can, but it's not important. Well, here are the curves for it.
Сега стигам до последното, което е наборът, към който е прикачено името ми. В известен смисъл това е историята на живота ми. Израстнах по време на германската окупация на Франция. И тъй като смятах, че може да изчезна до ден или седмица, имах много големи мечти. След войната отново видях един свой чичо. Чичо ми беше много изтъкнат математик и ми каза: "Виж, ето една задача, която не можах да реша преди 25 години и която никой не може да реши. Това е конструкция на един човек на име [Гастон] Джулия и [Пиер] Фату. Ако можеш да откриеш нещо ново, каквото и да било, ще направиш кариера." Много просто. И така, погледнах, и като хилядите хора, опитвали преди, не открих нищо.
Now, I get to the final thing, which is the set of which my name is attached. In a way, it's the story of my life. My adolescence was spent during the German occupation of France. Since I thought that I might vanish within a day or a week, I had very big dreams. And after the war, I saw an uncle again. My uncle was a very prominent mathematician, and he told me, "Look, there's a problem which I could not solve 25 years ago, and which nobody can solve. This is a construction of a man named [Gaston] Julia and [Pierre] Fatou. If you could find something new, anything, you will get your career made." Very simple. So I looked, and like the thousands of people that had tried before, I found nothing.
Но после дойде компютърът. И реших да приложа компютъра, не към нови задачи в математиката... като това мърдане, това е нов проблем... а към стари задачи. И преминах от това, което се наричат реални числа, които са точки в една линия, към въображаеми, сложни числа, които са точки в равнина, това трябва да се прави там. И произлезе тази форма. Тази форма е с изключителна сложност. Уравнението е скрито там, z минава в z на квадрат, плюс с. Толкова рпосто, толкова сухо. Толкова безинтересно. Сега завърташ манивелата веднъж, два пъти, два пъти, и стават чудеса. Искам да кажа, излиза това. Не искам да обяснявам тези неща. Това излиза. Това излиза. Форми, които са с такава сложност, такава хармония и такава красота. Това произлиза повторяемо, отново и отново, и отново. Това беше едно от основните ми открития - че тези острови бяха същите като голямото цяло, повече или по-малко. А после се получават изключителни барокови декорации навсякъде. И всичко това - от тази малка формула, в която има - колко, пет символа. А после - това. Цветът е добавен по две причини. Първо, защото тези форми са толкова сложни, че човек изобщо не би могъл да проумее числата. А ако ги включиш, трябва да се избере някаква система. Затова моят принцип е винаги да представям формите с различни оцветявания, защото някои оцветявания подчертават това, а други са това или онова. Толкова е сложно.
But then the computer came, and I decided to apply the computer, not to new problems in mathematics -- like this wiggle wiggle, that's a new problem -- but to old problems. And I went from what's called real numbers, which are points on a line, to imaginary, complex numbers, which are points on a plane, which is what one should do there, and this shape came out. This shape is of an extraordinary complication. The equation is hidden there, z goes into z squared, plus c. It's so simple, so dry. It's so uninteresting. Now you turn the crank once, twice: twice, marvels come out. I mean this comes out. I don't want to explain these things. This comes out. This comes out. Shapes which are of such complication, such harmony and such beauty. This comes out repeatedly, again, again, again. And that was one of my major discoveries, to find that these islands were the same as the whole big thing, more or less. And then you get these extraordinary baroque decorations all over the place. All that from this little formula, which has whatever, five symbols in it. And then this one. The color was added for two reasons. First of all, because these shapes are so complicated that one couldn't make any sense of the numbers. And if you plot them, you must choose some system. And so my principle has been to always present the shapes with different colorings because some colorings emphasize that, and others it is that or that. It's so complicated.
(Смях)
(Laughter)
През 1990-та бях в Кеймбридж, Великобритания, за да получа една награда от университета. След три дни един пилот летял над околността и намерил това нещо. А откъде е дошло? Очевидно, от извънземни. (Смях) Затова вестникът в Кеймбридж публикувал статия за това "откритие" и на следващия ден получили 5000 писма от хора, които пишели: "Но това е просто Манделброт, в много голям размер."
In 1990, I was in Cambridge, U.K. to receive a prize from the university, and three days later, a pilot was flying over the landscape and found this thing. So where did this come from? Obviously, from extraterrestrials. (Laughter) Well, so the newspaper in Cambridge published an article about that "discovery" and received the next day 5,000 letters from people saying, "But that's simply a Mandelbrot set very big."
Да довърша. Тази форма тук току-що произлезе от едно упражнение по чиста математика. Бездънни чудеса извират от прости правила, които се повтарят безкрайно.
Well, let me finish. This shape here just came out of an exercise in pure mathematics. Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated without end.
Много благодаря.
Thank you very much.
(Аплодисменти)
(Applause)