So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
ทำไมเราถึงเรียนคณิตศาสตร์กันครับ? หลักๆ เลยก็เพราะเหตุผลสามอย่าง การคำนวณ การใช้ประโยชน์ และสุดท้าย ซึ่งน่าเสียดาย ที่เราให้เวลากับมันน้อยที่สุด ก็คือการสร้างแรงบันดาลใจ
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
คณิตศาสตร์คือศาสตร์ของระบบแบบแผน เราเรียนคณิตศาสตร์เพื่อฝึกคิดอย่างมีตรรกะ มีวิจารณญาณ และสร้างสรรค์ แต่คณิตศาสตร์ที่เราเรียนกันในโรงเรียนส่วนใหญ่ ไม่ช่วยให้เราเกิดแรงบันดาลใจเลย เวลานักเรียนถามว่า "ทำไมเราต้องเรียนเรื่องนี้?" เขามักได้คำตอบว่า เขาต้องใช้มัน ในการสอบ หรือในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูงขึ้นไป แต่จะดีกว่าไหมครับ ถ้าบางครั้งเราจะเรียนคณิตศาสตร์ เพียงเพราะว่ามันสนุกและสวยงาม หรือเพราะมันทำให้เราตื่นเต้น ผมรู้ว่าหลายคนไม่เคยมีโอกาสเห็น ว่ามันจะเกิดขึ้นได้อย่างไร งั้นผมขอยกตัวอย่างง่ายๆ โดยใช้ชุดตัวเลขที่ผมชอบที่สุด เลขฟีโบนักชี (Fibonacci) (เสียงปรบมือ)
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
เย้ ที่นี่มีคนชอบเลขฟีโบนักชีด้วย เยี่ยมเลย
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
เราสามารถชื่นชมความงามของตัวเลขชุดนี้ ได้หลายรูปแบบ ในด้านการคำนวณ มันเข้าใจได้ง่าย เริ่มจาก 1 บวก 1 ได้ 2 1 บวก 2 ได้ 3 2 บวก 3 ได้ 5 3 บวก 5 ได้ 8 เป็นอย่างนี้เรื่อยไป ที่จริง คนที่เราเรียกว่าฟีโบนักชี มีชื่อจริงว่าลีโอนาโด แห่งเมือง พิซา (Leonardo of Pisa) ตัวเลขพวกนี้ปรากฏในหนังสือของเขา ชื่อ "Liber Abaci" ซึ่งสอนให้คนในโลกตะวันตก รู้จักวิธีคิดเลขคณิตที่เราใช้กันอยู่ทุกวันนี้ ในแง่การใช้ประโยชน์ เลขฟีโบนักชีปรากฏอยู่ในธรรมชาติ บ่อยมากจนน่าแปลกใจ เช่น จำนวนกลีบดอกไม้ ส่วนใหญ่เป็นเลขฟีโบนักชี หรือวงเกสรของดอกทานตะวัน หรือตาของสัปปะรด ก็มักเป็นเลขฟีโบนักชีเช่นกัน
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
ที่จริง เลขฟีโบนักชียังมีประโยชน์ ในการใช้งานอีกหลายอย่าง แต่ที่ผมคิดว่าน่าทึ่งมากที่สุด คือระบบแบบแผนที่สวยงามที่เกิดจากเลขชุดนี้ ผมขอนำเสนอรูปแบบหนึ่งที่ผมชอบมาก สมมติว่าคุณชอบคิดเลขยกกำลังสอง เอ จริงๆ มีใครไม่ชอบเลขยกกำลังด้วยหรือครับ (เสียงหัวเราะ)
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
เรามาดูเลขยกกำลังสอง ของเลขฟีโบนักชีตัวแรกๆ กัน 1 ยกกำลังสอง ได้ 1 2 ยกกำลังสอง ได้ 4 3 ยกกำลังสอง ได้ 9 5 ยกกำลังสอง ได้ 25 และเป็นอย่างนี้ไปเรื่อยๆ ทีนี้ คุณคงไม่แปลกใจนัก เมื่อคุณบวกเลขฟีโบนักชีที่อยู่ติดกัน แล้วได้เลขฟีโบนักชีตัวถัดไป ใช่ไหมครับ เพราะมันถูกสร้างมาแบบนั้น แต่คุณคงไม่คาดคิดว่าจะมีอะไรพิเศษ เกิดขึ้นเมื่อคุณบวกเลขกำลังสองเข้าด้วยกัน แต่ลองดูนี่ครับ 1 บวก 1 ได้ 2 1 บวก 4 ได้ 5 5 บวก 9 ได้ 13 9 บวก 25 ได้ 34 และใช่ครับ มันเป็นระบบแบบแผนอย่างนี้ต่อไปเรื่อยๆ
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
ที่จริง มีอีกอย่างหนึ่ง สมมติว่าคุณอยากบวกเลขกำลังสอง ของเลขฟีโบนักชีตัวแรกๆ เข้าด้วยกัน ดูซิว่าจะเป็นอย่างไร 1 บวก 1 บวก 4 ได้ 6 บวก 9 เข้าไปอีก ได้ 15 บวก 25 เข้าไป ได้ 40 บวก 64 เข้าไปอีก ก็ได้ 104 ทีนี้ ดูเลขพวกนี้นะครับ มันไม่ใช่เลขฟีโบนักชี แต่ถ้าคุณดูดีๆ คุณจะเห็นเลขฟีโบนักชี ซ่อนอยู่ข้างใน
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
เห็นไหมครับ เดี๋ยวผมบอกให้ 6 คือ 2 คูณ 3 15 คือ 3 คูณ 5 40 คือ 5 คูณ 8 2, 3, 5, 8, เห็นอะไรไหมล่ะครับ
(Laughter)
(เสียงหัวเราะ)
Fibonacci! Of course.
ฟีโบนักชีไง!
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
ทีนี้ นอกจากการค้นพบแบบแผนที่เป็นระบบนี้จะสนุกแล้ว การทำความเข้าใจว่าทำไมมันจึงเป็นแบบนี้ ยิ่งสนุกเข้าไปใหญ่ เรามาดูสมการเมื่อกี้กัน ทำไมเลขยกกำลังสองของ 1, 1, 2, 3, 5, และ 8 จึงรวมกันได้เท่ากับ 8 คูณ 13 ผมจะแสดงให้ดูด้วยภาพวาดง่ายๆ เราเริ่มจากสี่เหลี่ยมจตุรัสขนาด 1 คูณ 1 แล้วเราก็วางสี่เหลี่ยมจตุรัสขนาด 1 คูณ 1 อีกอันลงไป รวมกัน เราก็ได้สี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 1 คูณ 2 ทีนี้ผมจะวางสี่เหลี่ยมขนาด 2 คูณ 2 ลงไปข้างล่าง แล้วก็ สี่เหลี่ยมขนาด 3 คูณ 3 ไว้ข้างๆ ต่อด้วยสี่เหลี่ยมขนาด 5 คูณ 5 ไว้ข้างล่าง แล้วก็สี่เหลี่ยมขนาด 8 คูณ 8 ไว้ข้างๆ จนได้สี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดใหญ่ ใช่ไหมครับ
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
ทีนี้ ผมขอถามคำถามง่ายๆ สี่เหลี่ยมผืนผ้านี้มีพื้นที่เท่าไหร่ครับ จะคิดอย่างนี้ก็ได้ ว่า มันคือผลรวมของพื้นที่ ของสี่เหลี่ยมจตุรัสที่อยู่ข้างใน เหมือนตอนที่เราสร้างมันขึ้นมา เราเอาเลข 1 ยกกำลังสอง บวก 1 ยกกำลังสอง บวก 2 ยกกำลังสอง บวก 3 ยกกำลังสอง บวก 5 ยกกำลังสอง บวก 8 ยกกำลังสอง ใช่ไหมครับ นั่นคือพื้นที่ที่เราได้ แต่จะคิดอีกอย่างก็ได้ เพราะมันเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่ก็เท่ากับความสูงคูณฐาน ความสูงก็คือ 8 ส่วนฐานคือ 5 บวก 8 ซึ่งก็คือเลขฟีโบนักชีตัวถัดไป เลข 13 ใช่ไหมครับ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ก็เลยเท่ากับ 8 คูณ 13 เพราะเราคำนวณพื้นที่อย่างถูกต้อง ด้วยสองวิธีที่แตกต่างกัน ตัวเลขนี้จึงตรงกัน นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมเลขยกกำลังสองของ 1, 1, 2, 3, 5, และ 8 จึงรวมกันได้เท่ากับ 8 คูณ 13
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
ทีนี้ ถ้าเราทำแบบนี้ไปเรื่อยๆ เราจะได้สี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 13 คูณ 21 21 คูณ 34 เช่นนี้ไปเรื่อยๆ
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
ทีนี้ลองดูนี่นะครับ ถ้าคุณเอา 13 ตั้ง หารด้วย 8 จะได้ 1.625 ถ้าคุณเอาเลขมากตั้ง หารด้วยเลขน้อยไปเรื่อยๆ สัดส่วนที่ได้จะเข้าใกล้ 1.618 มากขึ้นเรื่อยๆ ซึ่งเป็นสัดส่วนที่เรียกกันว่าสัดส่วนทองคำ (Golden Ratio) เป็นตัวเลขที่ทำให้นักคณิตศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์ และศิลปินต่างพากันหลงใหลมาหลายศตวรรษ
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
เอาล่ะ ที่ผมแสดงตัวเลขชุดนี้ให้คุณดู ก็เพราะ มันเหมือนกับเรื่องอื่นๆ ในคณิตศาสตร์ คือ ผมว่ามันมีด้านที่สวยงาม ซึ่งไม่ได้รับความสนใจมากนัก ในโรงเรียนของเรา เราใช้เวลามากมายเรียนการคำนวณ แต่โปรดอย่าลืมด้านการใช้ประโยชน์ รวมทั้งประโยชน์ที่อาจจะสำคัญที่สุด นั่นคือการเรียนรู้ที่จะคิด
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
ถ้าผมสามารถสรุปเรื่องนี้ด้วยประโยคเดียว ผมขอบอกว่า คณิตศาสตร์ไม่ใช่แค่การแก้สมการหาค่า X แต่มันคือการค้นหา "why" หรือเหตุผลว่า "ทำไม" ด้วย
Thank you very much.
ขอบคุณมากครับ
(Applause)
(เสียงปรบมือ)