So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Varför lär vi oss matematik? I huvudsak av tre orsaker: beräkningar, tillämpningar, och till sist, och tyvärr minst med tanke på den tid vi lägger ner på det, av inspiration.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
Matematik är vetenskapen om mönster, och vi studerar det för att lära oss att tänka logiskt, kritiskt och kreativt, men allt för mycket av den matematik som vi lär oss skolan är inte helt motiverad och när våra elever frågar, "Varför ska vi lära oss detta?" säger vi att de kommer få nytta av det i kommande mattekurser eller senare på ett prov. Men skulle det inte vara fantastiskt om vi någon gång använde matematik bara för att det är roligt eller vackert eller för att det stimulerar sinnet? Nu vet jag att många inte har fått möjligheten att se hur detta kan ske, så låt mig ge er ett snabbt exempel med talserien som är min favorit, Fibonaccis talserie. (Applåder)
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Yeah! Jag har redan Fibonaccifans här. Det är fantastiskt.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Dessa tal kan uppskattas på flera olika sätt. Med utgångspunkt från beräkning, så är de lika lätta att förstå som ett plus ett, som är två. Ett plus två är tre, två plus tre är fem, tre plus fem är åtta, och så vidare. I själva verket, personen vi kallar Fibonacci hette egentligen Leonardo av Pisa, och dessa tal förekommer i hans bok "Liber Abaci" vilken lärde västvärlden den aritmetiska metod vi använder idag. För tillämpningar, förekommer Fibonaccital i naturen förvånansvärt ofta. Antalet kronblad i en blomma är oftast ett Fibonaccital, eller antalet spiraler på en solros eller ananas tenderar också vara ett Fibonaccital.
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
Faktum är att det finns många användningsområden för Fibonaccital, men det som jag tycker är mest inspirerande med dem är de vackra talmönster de uppvisar. Jag ska visa er en av mina favoriter. Antag att du gillar att kvadrera tal, och helt ärligt, vem gör inte det? (Skratt)
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Vi tittar på kvadraten av de första Fibonaccinummren. Så kvadraten av ett är ett, kvadraten av två är fyra, kvadraten av tre är nio kvadraten av fem är tjugofem, och så vidare. Det är ingen överraskning att när du adderar Fibonaccital som följer på varandra, så kommer du till nästa, eller hur? Det är så de är gjorda. Men man förväntar sig inget speciellt av att addera kvadraterna. Men kolla in detta. Ett plus ett ger oss två, och ett plus fyra ger oss fem. Och fyra plus nio är tretton, nio plus tjugofem är trettiofyra,, och ja, mönstret fortsätter.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Faktum är, att det finns en till. Anta att du vill titta på att addera kvadraterna av de första Fibonaccitalen. Låt oss se vad vi kan få. Så ett plus ett plus fyra är sex. addera nio till, så får vi femton. addera 25, vi får 40. Lägg till 64, vi får 104. Titta nu på dessa siffror. De är inte Fibonaccital, men om du tittar närmare på dem, så ser du Fibonaccitalen inbäddade i dem.
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
Ser ni det? Jag ska visa er. Sex är två gånger tre, femton är tre gånger fem, 40 är fem gånger åtta, två, tre, fem, åtta, vem vi bakom detta blotta?
(Laughter)
(Skratt)
Fibonacci! Of course.
Fibonacci! Vem annars.
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Hur roligt det än är att upptäcka dessa mönster, är det ännu mer tillfredställande att förstå varför detta stämmer. Vi tittar på den sista ekvationen. Varför borde kvadraten av ett, ett, två, tre, fem, och åtta bli åtta gånger 13? Jag ska visa det med en enkel bild. Vi börjar med ett gånger ett - rutan och sätter en annan ett gånger ett -ruta vid sidan om. tillsammans bildar de en ett gånger två-rektangel. Under det placerar jag en två gånger två-ruta, och vid sidan om en tre gånger tre-ruta, under detta, en fem gånger fem-ruta. och sedan en åtta gånger åtta-ruta, och skapar en stor rektangel, eller hur?
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Låt mig ställa en enkel fråga: vad är rektangelns area? Ja, å ena sidan är det summan av areorna inuti rektangeln, eller hur? precis som vi gjorde den. det är kvadraten av ett plus kvadraten av ett plus kvadraten av två plus kvadraten av tre plus kvadraten av 5 plus kvadraten av 8, eller hur? det är arean. Å andra sidan, eftersom det är en rektangel, är arean lika med höjden gånger bredden, och höjden är helt klart åtta, och basen är fem + åtta, vilket är nästa Fibonaccital, 13. Eller hur? Så arean är 8 gånger 13. Eftersom vi beräknat arean korrekt på två olika sätt, måste de bli samma tal, och det är därför som kvadraten av ett, ett, två, tre, fem och åtta blir 8 gånger 13.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Om vi nu fortsätter detta, kommer vi att få rektanglar med formen 13 gånger 21, 21 gånger 34, och så vidare.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Kolla nu på detta. Om du dividerar 13 med 8, så får du 1.625. Och om du dividerare ett större tal med ett mindre tal, så kommer kvoten närma sig runt 1.618, som många känner som det gyllene snittet, ett tal som har fascinerat matematiker, vetenskapsmän och konstnärer i århundraden.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Jag visar er allt detta för som så mycket av matematiken, finns det en vacker sida av det som inte uppmärksammas nog i våra skolor. Vi tillbringar mycket tid med att lära oss beräkningar, låt oss inte glömma tillämpningar, inklusive den kanske viktigaste tillämpningen av alla, att lära sig hur man tänker.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Om jag summera detta i en mening, skulle det bli: Matematik är inte bara att lösa ut x, det handlar också om att fundera på varför.
Thank you very much.
Tack så mycket.
(Applause)
(Applåder)