So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Përse e mësojmë matematikën? Para së gjithash, për tre arsye: për llogaritje, zbatim, dhe së fundmi, për fat të keq më pak e rëndësishme përsa i përket kohës që i kushtojmë, frymëzimi.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
Matematika është shkenca e motiveve, dhe ne e studiojmë atë për të mësuar si të mendojmë me logjikë, nëpërmjet kritikës dhe me kreativitet, por shumë nga matematika që mësojmë në shkollë nuk nxitet dobishëm, dhe kur nxënësit tanë pyesin, "Përse po e mësojmë këtë gjë?" shpesh u përgjigjemi që atyre do t'u nevojitet në një orë mësimi apo një test të mëvonshëm. Por a nuk do të ishte e mrekullueshme sikur ndonjëherë ne të mësonim matematikë thjesht që të ishte argëtuese apo e bukur ose ngaqë të ngacmonte mendjen? Mirë, e di që shumë njerëz nuk kanë patur mundësinë ta shohin se si mund të ndodhë kjo, kështu që më lejoni t'ju jap një shembull të shpejtë nëpërmjet koleksionit tim të preferuar të numrave, numrave Fibonaçi. (Duartrokitje)
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Po! Paskam admirues të Fibonaçit këtu. E shkëlqyer.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Tani, këto numra mund të vlerësohen në shumë mënyra të ndryshme. Nga pikëpamja e llogaritjeve, është e lehtë t'i kuptosh se si një dhe një, që bën dy. Pastaj një dhe dy bën tre, dy dhe tre bën pesë, tre dhe pesë bën tetë, e kështu me rradhë. Në të vërtetë, personi që njohim si Fibonaçi faktikisht quhej Leonardo Pisano, dhe këto numra shfaqen në librin e tij "Liber Abaci", që i mësoi Perëndimit metodat e aritmetikës që ne përdorim sot. Përsa i përket zbatimit, numrat Fibonaçi çuditërisht shfaqen shpesh në natyrë. Numri i petaleve tek një lule është zakonisht një numër Fibonaçi, ose numri i spiraleve tek një luledielli apo një ananas gjithashtu priret të jetë një numër Fibonaçi.
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
Në fakt, gjenden më tepër zbatime të numrave Fibonaçi, por çfarë unë gjej më tepër frymëzuese rreth tyre janë motivet e bukura të numrave që ata na shfaqin. Më lejoni t'ju tregoj një nga të preferuarit e mi. Ma merr mendja që ju pëlqen t'i ngrini numrat në katror, sinqerisht, kujt nuk i pëlqen? (Qeshje)
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Le t'i hedhim një sy katrorëve të numrave të parë Fibonaçi. Atëhere një në katror është një, dy në katror është katër, tre në katror është nëntë, pesë në katror është 25, e kështu me rradhë. Tani, nuk është e papritur që kur mbledh numrat Fibonaçi me radhë, ti gjen numrin tjetër Fibonaçi. Apo jo? Kështu formohen ata. Por nuk do prisje të ndodhte asgjë e veçantë kur mbledh katrorët së bashku. Shikoni këtë. Një dhe një na jep dy, një dhe katër na jep pesë. Dhe katër plus nëntë është 13, nëntë plus 25 është 34, dhe kështu motivi vazhdon.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Në fakt, ja ku kemi një tjetër. Supozoni që do donit të shikonit si shtohen katrorët e disa prej numrave të parë Fibonaçi. Le të shohim çfarë marrim. Atëhere një plus një plus katër është gjashtë. I shtojmë nëntë, marrim 15. Shtojmë 25, marrim 40. Shtojmë 64, marrim 104. Tani shohim këta numra. Këta nuk janë numra Fibonaçi, por nëse i shohim me kujdes, do gjeni numrat Fibonaçi të fshehur brenda tyre.
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
E shikoni? Po jua tregoj. Gjashtë është dy herë tre, 15 është tre herë pesë, 40 është pesë herë tetë, dy, tre, pesë, tetë, kë "vlerësojmë"? (lojë fjalësh)
(Laughter)
(Të qeshura)
Fibonacci! Of course.
Fibonaçi! Sigurisht.
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Tani, për aq sa është zbavitëse të zbulosh këto motive, është akoma më kënaqësi të kuptojmë përse këto janë të vërteta. Le të marrim ekuacionin e fundit. Përse duhet që katrorët e një, një, dy, tre, pesë dhe tetë të mbledhura të japin tetë herë 13? Do t'jua tregoj duke vizatuar një pikturë të thjeshtë. Po e nisim me një katror një-me-një dhe krahas tij vendosim një tjetër katror një-me-një. Së bashku, ata formojnë një drejtkëndësh një-me-dy. Nën të, do vendos një katror dy-me-dy, dhe fill pas tij, një katror tre-me-tre, poshtë tij, një katror pesë-me-pesë, e më pas një katror tetë-me-tetë, duke formuar një drejtkëndësh gjigand, apo jo?
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Tani, më lejoni t'ju bëj një pyetje të thjeshtë: sa është sipërfaqja e drejtkëndëshit? Nga njëra anë, është shuma e sipërfaqeve të katrorëve brenda tij, apo jo? Tamam siç e krijuam. Është një në katror plus një në katror plus dy në katror plus tre në katror plus pesë në katror plus tetë në katror. Saktë? Kaq është sipërfaqja. Nga ana tjetër, meqë është një drejtkëndësh, sipërfaqja është sa lartësia herë bazën e tij, dhe lartësia është dukshëm tetë, kurse baza është pesë plus tetë, ose numri tjetër Fibonaçi, 13. Saktë? Atëhere sipërfaqja është gjithashtu tetë herë 13. Meqë kemi llogaritur saktësisht sipërfaqen me dy mënyra, këto duhet të jenë i njëjti numër, dhe ja pse katrorët e një, një, dy, tre, pesë dhe tetë duke u mbledhur janë sa tetë herë 13.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Nëse e vazhdojmë këtë proces, do nxjerrim drejtkëndësha të formës 13 me 21, 21 me 34, e kështu me radhë.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Shikoni tani. Nëse pjesëtoni 13 me tetë, merrni 1.625. E nëse pjesëtoni numrin më të madh me numrin më të vogël, atëhere raporti i afrohet gjithnjë e më tepër numrit 1.618, i njohur nga shumë si Raporti i Artë, një numër që i ka mahnitur matematikanët, shkencëtarët dhe artistët për shekuj me radhë.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Tani, po jua tregoj gjithë këto sepse, ashtu si shumë matematikë, ekziston dhe pjesa e bukur e saj për të cilën unë druhem që nuk merr vëmendje sa duhet nëpër shkollat tona. Ne kalojmë shumë kohë duke mësuar rreth llogaritjeve, por le të mos harrojmë për zbatimin, duke përfshirë, mbase, më të rëndësishmin nga të gjithë, të mësuarit si të mendojmë.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Nëse do mundesha ta përmblidhja këtë në një fjali, ajo do të ishte: Matematika nuk është vetëm të zgjidhësh për x, është edhe ta gjesh përse.
Thank you very much.
Shumë faleminderit.
(Applause)
(Duartrokitje)