So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Prečo sa učíme matematiku? V princípe z troch dôvodov: počítanie, aplikácia a posledný dôvod, ale naneštastie najmenej dôležitý, čo sa týka množstva času, ktorý mu prideľujeme, inšpirácia.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
Matematika je veda vzorov. Študujeme ju preto, aby sme sa naučili, ako rozmýšľať logicky, kriticky a kreatívne. Lenže veľká časť výučby matematiky, ktorú sa učíme v škole, nie je efektívne motivovaná. A keď sa naši študenti pýtajú, "Prečo sa toto učíme?" často sa dozvedia len toľko, že to budú potrebovať v nadchádzajúcom učive alebo teste. Ale nebolo by skvelé, ak by sme z času na čas robili matematiku len preto, že je zábavná a krásna? Alebo preto, že nadchýna myseľ? Viem, že veľa ľudí nemalo príležitosť vidieť, ako sa takéto niečo môže stať. Takže mi dovoľte dať vám rýchlu ukážku mojej obľúbenej skupiny čísiel. Fibonacciho čísla.
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Áno! Nejakých Fibonacciho fanúšikov tu už vidím. To je skvelé.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Tieto čísla môžu byť oceňované z viacerých dôvodov. Z pohľadu sčítavania, sa im dá jednoducho porozumieť. Keďže jedna plus jedna je dva. Potom jedna plus dva je tri. Dva plus tri je päť, tri plus päť je osem. A tak ďalej. V skutočnosti osoba, ktorú voláme Fibonacci, bol dokonca pomenovaný Leonardo z Pisi. Tieto čísla pochádzajú z jeho knižky "Liber Abaci," ktorá naučila západný svet metódam aritmetiky, ktoré používame doteraz. Čo sa týka aplikácii, Fibonacciho čísla sa objavujú v prírode prekvapujúco často. Počet okvetných lístkov kvetín je typicky Fibonacciho číslo. Alebo počet špirál na slnečnici a ananás, vyzerá taktiež byť Fibonacciho čislo.
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
V skutočnosti je omnoho viac aplikácii Fibonacciho čísiel, ale to, čo na nich je najinšpiratívnejšie, sú nádherné vzory, ktoré vytvárajú. Ukážem Vám jeden z mojich obľúbených. Predpokladajme, že by ste chceli umocňovať čísla a popravde, kto by nechcel?
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Pozrime sa na mocniny prvých Fibonacciho čísiel. Jedna na druhú je jedna. Dva na druhú je štyri, tri je deväť. Päť je 25 a tak ďalej. Teraz, nie je prekvapením, že ak sčítate dve nasledovné Fibonacciho čísla, dostanete presne nasledujúce Fibonacci číslo. Však? Tak vznikajú. Ale určite by ste nečakali nič špeciálne, ak sčítate ich mocniny. Ale pozrite sa na toto. Jedna plus jedna je dva. A jedna plus štyri je päť. Štyri plus deväť je trinásť. Deväť plus 25 je 34. A áno, tento vzor pokračuje.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
V skutočnosti tu je ďalší. Predstavme si, že sa chcete pozrieť na sčitovanie mocnín prvých pár Fibonacciho čísiel. Pozrime sa, čo dostaneme. Takže jedna plus jedna plus štyri je šesť. Plus deväť je 15. Plus 25 je 40. Pridajte 64 a dostaneme 104. Ale pozrime sa na tieto čísla bližšie. To nie sú Fibonacciho čísla, ale ak sa naozaj pozrieme zblízka, uvidíme Fibonacciho čísla. Zakopané v ich vnútri.
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
Vidíte to? Ukážem Vám. Šesť je dva krát tri, 15 je tri krát päť. 40 je päť krát osem. Dva, tri, päť, osem, koho si vážime?
(Laughter)
(Smiech)
Fibonacci! Of course.
Fibonacciho! Samozrejme.
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Nielenže je veľká zábava objavovať tieto vzory, ale je ešte uspokojujúcejšie, pochopiť, prečo sú pravdivé. Pozrime sa na tú poslednú rovnicu. Prečo by mal súčet mocnín jednotky, jednotky, dvojky, trojky, päťky a osmičky byť rovný osem krát 13? Ukážem Vám to pomocou jednoduchého obrázka. Začnime so štvorcom jedna krát jedna. A vedľa neho si dajme ďalší jedna krát jedna štvorec. Dohromady tvoria obdĺžnik jedna krát dva. Pod neho dám dva krát dva štvorec. A vedľa tri krát tri štvorec. Pod to dám päť krát päť. Potom osem krát osem štvorec. Vytvoriac jeden veľký obdĺžnik, správne?
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Teraz mi dovoľte položiť Vám jednoduchú otázku: aký je obsah tohto obdĺžnika? No, na jednej strane, to je súčet obsahov všetkých štvorcov, ktoré sú v jeho vnútri, správne? Presne ako sme ho stvorili. Je to jedna na druhú, plus jedna na druhú, plus dva na druhú, plus tri na druhú plus päť na druhú plus osem na druhú. Správne? To je jeho obsah. Na druhej strane, pretože je to obdĺžnik, jeho obsah je rovný násobku jeho výšky a jeho základne. Jeho výška má jednoznačne dĺžku osem a jeho základňa má dĺžku päť plus osem, čo je ďalšie Fibonacciho číslo, 13? Správne? Takže jeho obsah je osem krát 13. Keďže sme správne vypočítali jeho obsah dvoma rozdielnymi spôsobmi musí nám vyjsť ten istý výsledok. A to je dôvod, prečo súčet mocnín jednotky, jednotky, dvojky, trojky, päťky a osmičky je rovný násobku osmičky a 13.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Keď budeme v tomto procese pokračovať, budeme generovať obdĺžniky veľkosti 13 krát 21, 21 krát 32 a tak ďalej.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Pozrite sa na toto. Ak vydelíte 13 ôsmymi, dostaneme 1,625. A keď delíte vačšie čísla menšími, potom sa dostávate stále bližšie a bližšie k 1,618. Toto číslo viacerý poznajú ako Zlatý pomer. Číslo, ktoré fascinovalo matematikov, vedcov a umelcov po stáročia.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
toto všetko Vám ukazujem preto, lebo tak, ako veľakrát inde v matematike, má to nádhernú stránku, ktorej sa podľa mňa nedostáva dostatok pozornosti v našich školách. Trávime veľa času učením sa o počtoch, ale zabúdame na ich aplikácie. Zahŕňajúc asi najväčšiu aplikáciu zo všetkých, učenie sa ako rozmýšľať.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Keby som mohol zosumarizovať toto všetko do jednej vety bola by to táto: Matematika nie je len o hľadaní x, ale o tom, zistiť prečo.
Thank you very much.
Ďakujem Vám veľmi pekne.
(Applause)
(Aplauz)