So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
De ce învăţăm matematică? În principiu, din trei motive: pentru calcule, pentru aplicații şi, din păcate la urmă pentru că-i alocăm puțin timp, pentru inspiraţie.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
Matematica este ştiinţa modelelor. O studiem pentru a învăţa cum să gândim logic, critic şi creativ. Însă mare parte din matematica învăţată în şcoală nu motivează eficient şi când studenţii ne întreabă: „De ce învăţăm asta?” li se spune că le va fi necesar la viitoarea oră de mate sau la un test ulterior. Nu ar fi fost bine dacă am face din când în când matematică pur și simplu pentru că e distractiv sau interesant sau pentru că ne stimulează mintea? Știu că mulți oameni nu au avut posibilitatea să experimenteze asta, așa că vă voi da un exemplu folosind șirul meu favorit de numere, numerele Fibonacci. (Aplauze)
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Deja am fani ai numerelor Fibonacci aici. Minunat.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Aceste numere pot fi abordate în mai multe moduri. Din punct de vedere al calculelor sunt ușor de înțeles: 1 + 1 = 2 Apoi, 1 + 2 = 3 ; 2 + 3 = 5 ; 3 + 5 = 8 ș.a.m.d. Persoana pe care o numim Fibonacci se numea de fapt Leonardo din Pisa și aceste numere apar în cartea sa „Liber Abaci'', care i-a învățat pe occidentali metodele aritmeticii pe care le folosim astăzi. În ceea ce privește aplicațiile, numerele Fibonacci apar în natură surprinzător de des. Numărul petalelor unei flori este în mod tipic un număr Fibonacci sau numărul spiralelor de pe floarea-soarelui sau de pe un ananas este de asemenea un număr Fibonacci.
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
Sunt mult mai multe aplicații ale acestor numere, dar găsesc interesant la ele minunatele modele de numere pe care le etalează. Să vă arăt unul din favoritele mele. Presupunem că vă plac numerele pătrate și sincer, cui nu-i plac? (Râsete)
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Să ne uităm la pătratele primelor numere Fibonacci. 1 la pătrat este 1, 2 la pătrat este 4, 3 la pătrat este 9, 5 la pătrat este 25 etc. Nu este de mirare că adunând numere Fibonacci consecutive, obții următorul număr Fibonacci. Așa-i? Așa sunt create. Dar nu v-ați fi așteptat să se întâmple ceva special când adunați pătratele. Dar uitați-vă la asta. 1 + 1 = 2 și 1 + 4 = 5. 4 + 9 = 13, 9 + 25 = 34 și modelul continuă.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Iată încă un exemplu. Să presupunem că vreți să adunați pătratele primelor numere Fibonacci. Să vedem ce obținem. 1 + 1 + 4 = 6 Adăugăm 9 şi obținem 15. Adăugăm 25 şi obținem 40. Adăugăm 64 şi obținem 104. Acum uitați-vă la aceste numere. Nu sunt numere Fibonacci, dar dacă vă uitați atent, veți găsi numerele Fibonacci ascunse în interiorul lor.
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
Le vedeți? Vă voi arăta. 6 este 2 X 3, 15 este 3 X 5, 40 este de 5 x 8, 2,3,5,8, cine le-a copt?
(Laughter)
(Râsete)
Fibonacci! Of course.
Fibonacci! Desigur.
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
E distractiv să descoperi aceste modele, dar și mai satisfăcător să înțelegi de ce sunt adevărate. Să ne uităm la ultima ecuație. De ce ar trebui pătratele lui 1,1, 2, 3, 5 și 8 însumate să fie egale cu 8 x 13? Vă voi arăta desenând ceva simplu. Vom începe cu un pătrat cu latura 1 x 1 la care adăugați un alt pătrat de 1 x 1. Împreună formează un dreptunghi de 1 x 2. Dedesubt, voi pune un pătrat de 2 x 2, și lângă acesta un pătrat de 3 x 3, dedesubtul acestuia un pătrat de 5 x 5, și apoi un pătrat de 8 x 8, creând un dreptunghi gigantic, așa-i?
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Să vă întreb ceva: care este aria dreptunghiului? Pe de-o parte, este suma ariilor pătratelor din interior, așa-i? Așa cum l-am creat. 1 la pătrat, plus 1 la pătrat, plus 2 la pătrat, plus 3 la pătrat plus 5 la pătrat, plus 8 la pătrat. Corect? Asta este aria. Pe de altă parte, fiind dreptunghi, aria este egală cu înălţimea x baza. Înălţimea este evident 8, iar baza este 5 plus 8, care este următorul număr Fibonacci, 13. Aria este de asemenea 8 x 13. De vreme ce am calculat corect aria în două moduri diferite, trebuie să obţinem același număr, și de aceea suma pătratelor lui 1, 1, 2, 3, 5 și 8 este egală cu 8 x 13.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Dacă continuăm procesul, vom genera dreptunghiuri de forma 13 pe 21, 21 pe 34 ș.a.m.d.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Priviți ! Dacă împarți 13 la 8, obții 1,625. Și dacă împarți numerele mai mari la cele mai mici, acest raport se va apropia din ce în ce mai mult de 1.618, cunoscut ca Raportul de Aur, Φ (phi ), un număr care a fascinat matematicieni, oameni de știință și artiști timp de secole.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Vă arăt toate astea pentru că, în mare parte, matematica are și o parte interesantă care mă tem că nu primește destulă atenție în școlile noastre. Petrecem mult timp cu calculele, dar să nu uităm aplicațiile, inclusiv poate una din cele mai importante, să înveți cum să gândești.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Dacă aș rezuma asta într-o propoziție, aş spune: Matematica nu înseamnă doar să afli valoarea lui x, ci să afli şi de ce.
Thank you very much.
Vă mulțumesc foarte mult.
(Applause)
(Aplauze)