So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Então, por que aprendemos matemática? Essencialmente por três razões: cálculos, aplicação, e por último e infelizmente menos importante, em termos do tempo que dedicamos, inspiração.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
Matemática é a ciência dos padrões, e nós a estudamos para aprender a pensar logicamente, criticamente e criativamente, mas muito da matemática que aprendemos na escola não é efetivamente motivado, e quando nossos alunos perguntam: "Por que estamos aprendendo isto?", eles normalmente ouvem que vão precisar numa próxima aula de matemática ou num teste. Mas não seria ótimo se, de vez em quando, fizéssemos matemática simplesmente porque ela é divertida e bonita, ou porque ela aguça a mente? Sei que muitas pessoas não tiveram a oportunidade de ver como isso acontece, então deixem-me lhes dar um rápido exemplo com meu conjunto de números favorito, os números de Fibonacci. (Aplausos)
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Isso aí! Já vi que há alguns fãs de Fibonacci aqui. Isso é ótimo.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Bem, esses números podem ser apreciados de vários jeitos diferentes. Do ponto de vista do cálculo, eles são tão fáceis de entender como 1 + 1, que é 2. E 1 + 2 que é 3, 2 + 3 é 5, 3 + 5 é 8, e assim por diante. De fato, a pessoa que chamamos de Fibonacci se chamava, na verdade, Leonardo de Pisa, e esses números aparecem em seu livro "Liber Abaci", que ensinou ao mundo ocidental os métodos de aritmética que usamos hoje. Em termos de aplicações, os números de Fibonacci aparecem na natureza com uma frequência surpreendente. O número de pétalas numa flor é tipicamente um número de Fibonacci, ou o número de espirais em um girassol ou num abacaxi tende a ser um número de Fibonacci também.
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
De fato, há muito mais aplicações dos números de Fibonacci, mas o que eu acho o mais inspirador deles são os belos padrões numéricos que eles representam. Vou lhes mostrar um dos meus favoritos. Vamos supor que vocês gostem de elevar números ao quadrado, e, francamente, quem não gosta? (Risos)
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Vejamos os quadrados dos primeiros números de Fibonacci. Então, 1² é 1, 2² é 4, 3² é 9, 5² é 25 e assim por diante. Agora, não é nenhuma surpresa que quando somamos números de Fibonacci consecutivos, encontramos o próximo número de Fibonacci. Certo? É assim que eles são definidos. Mas não se esperaria que nada especial acontecesse quando somamos os quadrados. Mas vejam só isso. 1 + 1 dá 2, e 1 + 4 dá 5. e 4 + 9 é 13, 4 + 25 é 34, e sim, o padrão continua.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Na verdade, aqui há outro. Vamos supor que vocês queiram ver a soma dos quadrados dos primeiros números de Fibonacci. Vamos ver o que conseguimos aqui. Então 1 + 1 + 4 é 6. Somando com 9, dá 15. Somando com 25, dá 40. Somando com 64, dá 104. Agora olhem para estes números. Eles não são números de Fibonacci, mas se olharem para eles atentamente, Vocês verão os números de Fibonacci enterrados dentro deles.
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
Vocês veem? Vou mostrar a vocês. 6 é 2 x 3, 15 é 3 x 5, 40 é 5 x 80, 2, 3, 5, 8, quem nós apreciamos?
(Laughter)
(Risos)
Fibonacci! Of course.
Fibonacci! Claro.
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Agora, por mais divertido que seja descobrir esses padrões, é ainda mais satisfatório entender por que eles acontecem. Vejamos a última equação. Por que os quadrados de 1, 1, 2, 3, 5, e 8 somados dão 8 x 13? Vou lhes mostrar desenhando uma simples figura. Vamos começar com um quadrado 1 por 1 e ao lado colocamos outro quadrado 1 por 1. Juntos, eles formam um retângulo 1 por 2. Sob eles, vou colocar um quadrado 2 por 2, e ao lado de tudo, um quadrado 3 por 3, sob tudo, um quadrado, 5 por 5, e então um quadrado 8 por 8, criando um retângulo gigante, certo?
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Agora vou fazer uma pergunta bem simples: Qual é a área do retângulo? Bem, por um lado, é a soma das áreas dos quadrados internos, certos? Exatamente como o criamos. É 1² + 1² + 2² + 3² + 5² + 8². Certo? Essa é a área. Por outro lado, por ser um retângulo, a área é igual a base vezes altura, e a altura é claramente 8, e a base é 5 + 8, que é o próximo número de Fibonacci, 13. Certo? Então a área também é 8 x 13. Já que calculamos a área corretamente de dois jeitos diferentes, eles têm que ser o mesmo número, e é por isso que o quadrado de 1, 1, 2, 3, 5 e 8 somados dão 8 x 13.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Agora, se continuarmos esse processo, vamos gerar retângulos no formato 13 por 21, 21 por 34, e assim por diante.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Agora, vejam só isso. Se dividirmos 13 por 8, temos 1,625. E se dividirmos o número maior pelo menor, então essas razões se aproximam cada vez mais de cerca de 1,618, conhecido por muitas pessoas como a Razão Áurea, um número que tem fascinado os matemáticos, cientistas e artistas por séculos.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Agora, eu mostro isso tudo a vocês porque, assim como em muito da matemática, há um lado belo disso que eu receio não receba atenção suficiente em nossas escolas. Passamos muito tempo aprendendo sobre cálculos, mas não podemos esquecer da aplicação, incluindo, talvez, a aplicação mais importante de todas: aprender a pensar.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Se eu pudesse resumir isso em uma sentença, seria essa: Matemática não é só encontrar o x, também é entender o por quê.
Thank you very much.
Muito obrigado.
(Applause)
(Aplausos)