So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Por que é que aprendemos matemática? Essencialmente, por três razões: cálculo, aplicação, e por último, e infelizmente a menor em termos de quanto tempo nos dedicamos a ela, inspiração.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
A matemática é a ciência dos padrões e nós estudamo-la para aprendermos a pensar lógica, crítica e criativamente, mas muito da matemática que aprendemos na escola não é efetivamente motivante, e quando nossos estudantes perguntam: "Por que é que aprendemos isto?" frequentemente eles ouvem que precisarão disto na próxima aula de matemática ou num teste futuro. Mas não seria ótimo que, de vez enquanto, praticássemos a matemática simplesmente por ser divertida ou bela ou por excitar a nossa mente? Agora, eu sei que muitas pessoas não tiveram a oportunidade de ver como é que isso pode acontecer então deixem-me dar-vos um exemplo rápido usando a minha coleção preferida de números, a sequência Fibonacci. (Aplausos)
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Sim! Eu já aqui tenho fãs de Fibonacci. Isso é ótimo.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Estes números podem ser apreciados de várias maneiras. Pela ótica do cálculo, eles são tão fáceis de entender como 1 + 1, que é igual a 2. Logo, 1 + 2 é igual a 3, 2 + 3 é igual a 5, 3 + 5 são 8, e por aí adiante. De facto, a pessoa a quem chamamos de Fibonacci chamava-se, na verdade, Leonardo de Pisa e estes números aparecem no seu livro "Liber Abaci" que ensinou ao mundo ocidental os métodos aritméticos que usamos hoje em dia. Em termos de aplicações, a sequência Fibonacci aparece na Natureza com uma surpreendente frequência. O número de pétalas de uma rosa é uma típica sequência Fibonacci, ou o número de espirais num girassol ou num ananás tendem também a ser uma sequência Fibonacci.
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
Na verdade, existem muitas outras aplicações para a sequência Fibonacci, mas o que eu acho mais inspirador nelas é o belo padrão numérico que ela apresentam. Vou mostrar-vos um dos meus preferidos. Suponhamos que gostam de elevar números ao quadrado, e francamente, quem não gosta? (Risos)
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Vamos olhar para os quadrados dos primeiros números da sequência Fibonacci. Logo, 1&sup2 é 1, 2&sup2 são 4, 3&sup2 são 9 5&sup2 são 25, e por aí adiante. Bem, não é surpresa que quando somamos números consecutivos da sequência Fibonacci obtemos o número seguinte da sequência. Certo? Foi assim que eles foram criados. Mas vocês não esperam que aconteça nada de especial quando somam os seus quadrados. Mas vejam isto. 1 + 1 é igual a 2, e 1 + 4 dá-nos 5. E 4 + 9 são 13, 9 + 25 são 34, e sim, o padrão continua.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Na verdade, aqui está outro. Suponham que queriam olhar para a adição dos quadrados dos primeiros números da sequência Fibonacci. Vejamos o que acontece. Logo, 1 + 1 + 4 são 6. Somem 9 a esse resultado e teremos 15. Somem 25 e teremos 40. Somem 64 e teremos 104. Agora olhem para estes números. Estes não são números de Fibonacci, mas se vocês olharem para eles mais atentamente, verão a sequência Fibonacci enterrada dentro deles
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
Conseguem ver? Vou mostrar-vos. 6 é 2 x 3, 15 é 3 x 5, 40 é 5 x 8, 2, 3, 5, 8, de que é que estamos a falar?
(Laughter)
(Risos)
Fibonacci! Of course.
Fibonacci! É claro.
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Agora, por mais divertido que seja descobrir esses padrões, é ainda mais gratificante entender por que é que eles são verdadeiros. Vamos olhar para a última equação. Por que é que os quadrados de 1, 1, 2, 3, 5, e 8 somados, resultam em 8 x 13? Vou mostrar-vos através de um simples desenho. Começamos com um quadrado de 1 x 1 em seguida colocamos outro quadrado de 1 x 1. Juntos, eles formam um retângulo de 1 x 2. Por baixo, vou colocar um quadrado de 2 x 2, e ao lado dele, um quadrado de 3 x 3, por baixo, um quadrado de 5 x 5, e então um quadrado de 8 x 8, criando um retângulo gigante, certo?
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Agora, deixem-me fazer-vos uma pergunta simples: qual é a área do retângulo? Bem, por um lado, é a soma das áreas dos quadrados dentro dele, certo? Exatamente como o construímos. É o quadrado de 1, mais o quadrado de 1, mais o quadrado de 2, mais o quadrado de 3, mais o quadrado de 5 , mais o quadrado de 8. Certo? Esta é a área. Por outro lado, por ser um retângulo, a área é igual à altura vezes a base, e a altura é claramente 8, e a base é 5 + 8, que é o próximo número da sequência Fibonacci, 13. Certo? Logo a área é também, 8 x 13. Já que calculámos corretamente a área de duas formas diferentes, elas têm de ser o mesmo número, é o por isso que os quadrados de 1, 1, 2, 3, 5, e 8 somados, resultam em 8 x 13.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Então, se continuarmos este processo, criaremos retângulos de 13 x 21, 21 x 34, e por aí adiante.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Agora, vejam só. Se vocês dividirem 13 por 8, obterão 1,625. E se vocês dividirem o número maior pelo número menor, então essas proporções vão ficando cada vez mais próximas de cerca de 1,618. conhecidas por muitos como a Proporção Áurea, um número que tem fascinado matemáticos, cientistas e artistas durante séculos.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Agora, eu mostrei-vos tudo isto porque, como muitas coisas na matemática, há um lado belo nisso que eu receio que não desperte muita atenção nas escolas. Gastamos muito tempo a aprender sobre o cálculo, mas não nos esqueçamos da aplicação, incluindo, talvez, a mais importante aplicação de todas, aprender a pensar.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Se eu pudesse resumir tudo isto numa frase apenas, seria esta: A matemática não é apenas a solução para x, é também descobrir o porquê.
Thank you very much.
Muito obrigado.
(Applause)
(Aplausos)