So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Dlaczego uczymy się matematyki? Są trzy zasadnicze powody: obliczenia, zastosowanie, i, na szarym końcu jeżeli chodzi o poświęcany czas, inspiracja.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
Matematyka jest nauką wzorców. Uczy nas myśleć logicznie, krytycznie i twórczo. Ale matematyce nauczanej w szkole brakuje właściwej motywacji, a kiedy uczniowie pytają "Po co się tego uczymy?", często słyszą, że będzie im to potrzebne na kolejnych lekcjach albo egzaminach. Ale czy nie byłoby wspaniale zajmować się czasem matematyką tylko dlatego, że jest fajna albo piękna, albo dlatego, że pobudza umysł? Wiele osób nie miało okazji zobaczyć tego w praktyce, podam wam więc szybki przykład mojego ulubionego zbioru liczb, liczby Fibonacciego. (Brawa)
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Super! Fani Fibonacciego już tu są. To świetnie.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Te liczby można doceniać na wiele sposobów. Jeśli chodzi o obliczenia, są tak łatwe do zrozumienia jak 1 + 1 = 2. Potem 1 + 2 = 3. 2 + 3 = 5 3 + 5 = 8 i tak dalej. Człowiek, którego nazywamy Fibonaccim, naprawdę nazywał się Leonardo z Pizy, a liczby zjawiają się w jego książce "Liber Abaci", która tłumaczyła Zachodowi zasady współczesnej arytmetyki. Jeśli chodzi o zastosowania, liczby Fibonacciego występują w naturze zaskakująco często. Liczba płatków kwiatu zazwyczaj jest liczbą Fibonacciego, tak, jak liczba spiral w słoneczniku albo ananasie, które zwykle też są liczbami Fibonacciego.
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
Liczby te mają znacznie więcej zastosowań, ale chyba najbardziej inspirują w nich piękne wzory liczbowe. Pokażę jeden z moich ulubionych. Załóżmy, że lubicie podnosić liczby do kwadratu, a kto nie lubi? (Śmiech)
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Spójrzmy na kwadraty kilku pierwszych liczb Fibonacciego. Jeden do kwadratu = 1 dwa do kwadratu = 4, trzy- 9, pięć- 25 i tak dalej. To żadna niespodzianka, że po dodaniu dwóch kolejnych liczb Fibonacciego dostaniecie kolejny. Prawda? Tak się je właśnie tworzy. Ale nieoczekiwanie dzieje się coś szczególnego, gdy dodacie do siebie ich kwadraty. Spójrzcie na to. 1 + 1 = 2, 1 + 4 = 5, 4 + 9 = 13, 9 + 25 = 34 i wzór działa także dalej.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Jest nawet jeszcze jeden. Gdyby pododawać kwadraty kilku pierwszych liczb Fibonacciego do czego nas to doprowadzi? 1 + 1 + 4 = 6. 6 + 9 = 15. 15 + 25 = 40 40 + 64 = 104. Spójrzcie teraz na te liczby. To nie są liczby Fibonacciego, ale jeśli przyjrzycie im się uważnie, zobaczycie, że liczby Fibonacciego są w nich ukryte.
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
Widzicie to? Pokażę wam. 6 = 2 x 3, 15 = 3 x 5, 40 = 5 x 8. 2, 3, 5, 8 - komu to zawdzięczamy?
(Laughter)
(Śmiech)
Fibonacci! Of course.
Oczywiście Fibonacciemu!
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Odkrywanie tych wzorów to świetna zabawa, ale jeszcze większą satysfakcję przynosi rozumienie, dlaczego występują. Spójrzmy na ostatnie równanie. Dlaczego 1, 1, 2, 3, 5, i 8 do kwadratu miałyby dać w sumie 8 x 13? Pokażę wam to na prostym rysunku. Zaczniemy od kwadratu jeden na jeden, obok umieścimy drugi taki sam. Razem stworzą prostokąt jeden na dwa. Poniżej umieszczę kwadrat dwa na dwa, obok kwadrat trzy na trzy, a poniżej kwadraty pięć na pięć i osiem na osiem, tworząc jeden wielki prostokąt.
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Pozwólcie, że zadam proste pytanie: jakie jest pole tego prostokąta? Z jednej strony to suma pól powierzchni tworzących go kwadratów, prawda? W ten sposób go stworzyliśmy. Jeden do kwadratu plus jeden do kwadratu, plus dwa kwadrat, plus trzy kwadrat, plus pięć kwadrat plus osiem kwadrat. Tyle wynosi pole powierzchni. Ponieważ to prostokąt, jego powierzchnia jest równa wysokości pomnożonej przez podstawę. Wysokość to oczywiście osiem, a baza to 5 + 8, czyli kolejna liczba Fibonacciego, 13. Czyli pole powierzchni to 8 x 13. Skoro poprawnie obliczyliśmy pole powierzchni na dwa różne sposoby, to musimy otrzymać te same liczby, i dlatego kwadraty 1, 1, 2, 3, 5 i 8 sumują się do 8 x 13.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Kontynuując ten proces, stworzymy prostokąty o wymiarach 13 na 21, 21 na 34, i tak dalej.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Teraz patrzcie na to. Jeśli podzielicie 13 przez 8, dostaniecie 1,625. Dzieląc kolejne większe liczby przez mniejsze, otrzymamy proporcje coraz bardziej zbliżone do 1,618, liczby znanej jako złoty podział. Liczba ta fascynuje matematyków, naukowców i artystów od wieków.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Pokazuję to wszystko, bo obawiam się że pięknu tego i wielu innych aspektów matematyki poświęca się w szkołach za mało uwagi. Spędzamy mnóstwo czasu ucząc się liczyć, ale nie zapominajmy o zastosowaniach, łącznie z chyba najważniejszym z nich, czyli nauce myślenia.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Gdybym mógł podsumować to w jednym zdaniu, brzmiałoby ono tak: W matematyce nie chodzi tylko o szukanie x, ale też zrozumienie, po co to robimy.
Thank you very much.
Dziękuję bardzo.
(Applause)
(Brawa)