So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Waarom leren we wiskunde? In wezen om drie redenen: berekenen, toepassen, en de laatste, en helaas besteden we daar het minste tijd aan, inspiratie.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
Wiskunde is de wetenschap van patronen. We bestuderen ze om logisch, kritisch en creatief te leren denken. Maar veel van de wiskunde die we op school leren, werkt niet echt motiverend. Als onze leerlingen ons vragen: "Waarom leren we dit?" dan horen ze vaak dat ze het nodig hebben voor latere wiskundelessen of voor een toekomstige test. Maar zou het niet geweldig zijn als we af en toe wat wiskunde deden gewoon omdat het leuk, mooi of opwindend was? Ik weet dat veel mensen die kans niet hebben gekregen. Laat me jullie hier even snel een voorbeeld van geven aan de hand van mijn favoriete verzameling getallen, de Fibonacci-getallen. (Applaus)
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Ja! Ik heb hier al Fibonacci-fans. Fijn!
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Je kan deze getallen op veel verschillende manieren waarderen. Vanuit het oogpunt van berekening zijn ze even gemakkelijk te begrijpen als 1 plus 1 is 2. En 1 plus 2 is 3, 2 plus 3 is 5, 3 plus 5 is 8, en zo verder. Fibonacci’s echte naam was eigenlijk Leonardo van Pisa, en deze getallen komen voor in zijn boek "Liber Abaci". Dit boek bracht de westerse wereld de rekenkundige methoden bij die we vandaag gebruiken. Wat toepassingen betreft: Fibonacci-getallen kom je verrassend vaak tegen in de natuur. Het aantal bloemblaadjes in een bloem is meestal een Fibonacci-getal. Ook het aantal spiralen op een zonnebloem of een ananas is vaak een Fibonacci-getal.
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
In feite zijn er veel toepassingen van Fibonacci-getallen, maar wat ik het meest inspirerend vind, zijn hun prachtige getallenpatronen. Hier een van mijn favorieten. Stel dat je graag getallen kwadrateert, en eerlijk gezegd, wie niet? (Gelach)
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Laten we eens kijken naar de kwadraten van de eerste Fibonacci-getallen. 1 kwadraat is 1, 2 kwadraat is 4, 3 kwadraat is 9, 5 kwadraat is 25, enzovoort. Nu is het geen verrassing dat als je opeenvolgende Fibonacci-getallen optelt, je het volgende Fibonacci-getal krijgt. Dat is hoe ze worden gemaakt. Maar je zou niets speciaals verwachten als je de kwadraten gaat samentellen. Maar kijk hier eens naar. 1 plus 1 geeft 2, 4 plus 1 geeft 5. En 4 plus 9 is 13, 9 plus 25 is 34, en ja, het patroon zet zich voort.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Hier nog eentje. Stel dat je de kwadraten van de eerste Fibonacci-getallen gaat optellen. Laten we eens kijken wat dit geeft. Zo is 1 plus 1 plus 4 gelijk aan 6. 9 erbij geeft 15. 25 erbij geeft 40. 64 erbij geeft 104. Bekijk die getallen. Het zijn geen Fibonacci-getallen. Maar als je beter oplet, dan zie je de Fibonacci-getallen erin zitten.
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
Zie je het? Ik toon het even. 6 is 2 keer 3, 15 is 3 keer 5, 40 is 5 keer 8, 2, 3, 5, 8, wie wordt hier hooggeacht?
(Laughter)
(Gelach)
Fibonacci! Of course.
Fibonacci natuurlijk!
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Hoe leuk het ook is om deze patronen te ontdekken, nog leuker is het om te begrijpen waarom ze waar zijn. Kijk eens naar die laatste vergelijking. Waarom zou de som van de kwadraten van 1, 1, 2, 3, 5 en 8 gelijk zijn aan 8 keer 13? Dat zien we aan de hand van een eenvoudige tekening. We beginnen met een 1-op-1 vierkant, daar zetten we een ander 1-op-1 vierkant naast. Samen vormen ze een 1-op-2 rechthoek. Daaronder komt een 2-op-2 vierkant, en ernaast een 3-op-3 vierkant, daaronder een 5-op-5 vierkant, en vervolgens een 8-op-8 vierkant. Dat geeft een grotere rechthoek.
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Een eenvoudige vraag: wat is de oppervlakte van die rechthoek? Aan de ene kant is het de som van de oppervlaktes van de vierkanten erbinnen, juist? Net zoals wij ze hebben gemaakt. Het is 1 kwadraat plus 1 kwadraat plus 2 kwadraat plus 3 kwadraat plus 5 kwadraat plus 8 kwadraat. Akkoord? Dat is de oppervlakte. Aan de andere kant, omdat het een rechthoek is, is de oppervlakte gelijk aan de hoogte maal de basis. De hoogte is duidelijk 8, en de basis is 5 plus 8, dat is het volgende Fibonacci-getal, 13. De oppervlakte is dus ook 8 keer 13. Omdat we de oppervlakte correct hebben berekend op twee verschillende manieren, moeten ze even groot zijn. Daarom is de som van de kwadraten van 1, 1, 2, 3, 5 en 8 gelijk aan 8 keer 13.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Als we hiermee doorgaan, maken we rechthoeken van 13 op 21, 21 op 34, enzovoort.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Bekijk dit nu. Als je 13 deelt door 8, krijg je 1,625. Als je het grotere getal door het kleinere getal deelt, dan komen deze verhoudingen steeds dichter en dichter bij ongeveer 1,618, bij velen bekend als de gulden snede. Dit getal heeft wiskundigen, wetenschappers en kunstenaars eeuwenlang gefascineerd.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Ik toon jullie dit omdat er, zoals in zo veel van de wiskunde, iets moois in zit. Ik vrees dat dat in onze scholen niet genoeg aandacht krijgt. We besteden veel tijd om iets te leren berekenen, maar laten we de toepassingen niet vergeten, met inbegrip van wat misschien de belangrijkste toepassing van allemaal is: hoe te leren denken.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Als ik dit in één zin kon samenvatten, zou het deze zijn: wiskunde gaat niet alleen over het zoeken van x, het gaat ook over het zoeken naar het waarom.
Thank you very much.
Hartelijk dank.
(Applause)
(Applaus)