So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
За тэгэхээр бид яах гэж математикийн шинжлэх ухааныг судалдаг вэ? Гол төлөв доорх 3 шалтгааны улмаас: тооцоолох, амьдралд хэрэгжүүлэх, харамсалтай нь хамгийн бага ач холбогдол өгч хамгийн их орхигдуулдаг шалтгаан нь урам зориг авах юм.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
Математик бол хэв загварын шинжлэх ухаан бөгөөд бид үүнийг логиктой, шүүмжтэй, бүтээлчээр сэтгэж сурах гэж судалдаг. Гэвч сургууль дээр бидэнд заадаг математик нэг л сонирхол төрүүлдэггүй бөгөөд оюутнууд "Бид нар яагаад үүнийг сурч байгаа юм бэ?" гэсэн асуултандаа ихэвчлэн л шалгалт өгөхөд эсвэл дараачийн хичээлд хэрэг болно гэсэн хариулт сонсдог. Харин, хэрвээ бид нар математикийг зүгээр л зугаатэй юмуу гоё болохоор нь эсвэл зүгээр л их таалагдсан болохоор нь л судалдаг байсан бол сайхан биш гэж үү? Ингэж төсөөлж харах боломж тэр бүр хүн бүрт олддоггүй тул нэгэн бяцхан жишээ болгож өөрийн дуртай тоо болох Фибоначийн тоог авч үзье.
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Өө, Фибоначийн фэнүүд сууж байгаа юм байна шүү дээ. Сайн байна.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Тэгэхээр Фибоначийн тооны үнэ цэнийг олон янзаар илэрхийлж болно. Тооцооллын үүднээс авч үзвэл, энэ тоог ойлгоход хялбар л даа. Нэг дээр нэгийг нэмээд хоёр нэг дээр хоёрыг нэмээд гурав хоёр дээр гурвыг нэмээд тав, гурав дээр тавыг нэмээд найм гэх мэтчилэн. Үнэндээ, бидний Фибоначи гэж дууддаг хүнийг Пизагийн Леонардо гэдэг байсан ба түүний бичсэн, өнөөгийн бидний хэрэглэдэг арифметикийн аргуудыг Барууны ертөнцөд таниулсан "Либер Абачи" номд эдгээр тоонууд гардаг. Хэрэглээтэй холбож үзвэл, Фибоначийн тоо нь байгалд гайхмаар олон таардаг. Цэцгийн дэлбээний тоо нь ерөнхийдөө Фибоначийн тоо байдаг, мөн наранцэцэг болон хан боргоцой дээрх эргүүлэгний тоо ч гэсэн Фибоначийн тоо байдаг.
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
Үнэн хэрэгтээ, Фибоначийн тооны хэрэглээ үүнээс ч их бий. Эдгээр тоонуудын дүрслэн харуулдаг гоёмсог хэлбэр, хээнүүд нь тэдгээрийн хамгийн гайхалтай сонин шинж юм. Өөрийн дуртай жишээнүүдийн нэгийг үзүүлье л дээ. Таныг тоо квадратад дэвшүүлэх дуртай гэж үзье, хэн дургүй байхав дээ? (инээд)
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Эхний хэдэн Фибоначийн тоог квадратад дэвшүүлээд харъя. Тэгэхээр, нэгийн квадрат нэг, хоёрын квадрат дөрөв, гурвын квадрат ес, тавын квадрат 25, гэх мэтчилэн. Дараалсан Фибоначийн тоонуудыг нэмэхэд дараачийн Фибоначийн тоо гардаг гэдэг нь бүгдэд илэрхий. Тийм биз? Угаасаа ингэж үүсгэдэг. Харин нөгөө гарсан квадратуудаа хооронд нь нэмэхэд ямар нэгэн онцгой зүйл болно гэж та бодоогүй байж болох юм. Харин одоо бүгдээрээ харъя. Нэг дээр нэгийг нэмээд хоёр, нэг дээр дөрвийг нэмээд тав. Дөрөв дээр есийг нэмээд 13, ес дээр 25-ийг нэмээд 34 гэх мэтчилэн энэ загвар цааш үргэлжилнэ.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Өөр нэг жишээ авъя. Эхний хэдэн Фибоначийн тоонуудын квадратуудын нийлбэрийг харахыг та хүсэж л дээ. За тэгэхээр юу болохыг харцгаая. Нэг дээр нэгийг нэмээд дөрвийг нэмэхэд зургаа. Түүн дээрээ есийг нэмье, 15 болно. 25-ийг нэмэхэд 40 болно. 64-ийг нэмье, 104 гарна. Одоо энэ тоонуудаа харцгаая. Энэ тоонууд Фибоначийн тоонууд биш ч гэсэн сайж ажиглах юм бол тэдний дотор Фибоначийн тоонууд нуугдаж байгааг олж харах болно.
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
Та харж чадаж байна уу? За би харуулъя. Зургаа гэдэг нь 3 хоёр дахин, 15 нь тав 3 дахин 40 маань наймын тоо тав дахин гэсэн үг, хоёр, гурав, тав, найм, тэгэхээр бид хэнд талархах ёстой билээ?
(Laughter)
(инээд)
Fibonacci! Of course.
Фибоначи! Мэдээж шүү дээ.
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Тэгэхээр, эдгээр загваруудыг олж нээхэд зугаатай байсантай адил, яагаад ингэж үнэн гарч байгааг ойлгох юм бол бүүр ч илүү тааламжтай болно. Хамгийн сүүлийн тэгшитгэлийг аваад үзье. нэг, нэг, хоёр, гурав, тав, наймын квадратуудыг нэмэхэд 13-ыг найм дахин авсантай адил болдог юм бол? За би нэг жирийн зураг зурж харуулъя. Нэг-нэгийн квадратаар эхэлцгээе, хажууд нь дахиад нэг нэг-нэгийн квадрат зуръя. Нийлээд, нэг-хоёрын харьцаатай тэгш өнцөгт үүсгэж байна. Доор нь, би хоёр-хоёрын квадрат тавъя, үүнийхээ хажууд гурав-гурвын квадрат, дахиад доор нь, тав-тавын квадрат, тэгээд найм-наймынхыг тавихад нэг том тэгш өнцөгт үүсэж байнаа даа, тийм үү?
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Одоо би нэг энгийн асуулт асууя: Тэгш өнцөгтийн талбай юу байдаг билээ? Нэг талаас нь аваад үзвэл, энэ нь өөрт нь агуулагдаж байгаа квадратуудын талбайнуудын нийлбэр болноо доо? Яг бидний сая зурсан шиг. Энэ нь нэгийг квадратад дэвшүүлээд нэмэх нь нэгийн квадрат нэмэх нь хоёрын квадрат нэмэх нь гурвын квадрат нэмэх нь тавын квадрат нэмэх нь наймын квадрат. Тийм биз? Ингээд нөгөө талбай маань гараад ирж байна. Нөгөө талаас нь аваад үзвэл, энэ нь тэгш өнцөгт тул, талбайг нь олохдоо өндрийг нь сууриар нь үржүүлдэг, өндөр нь харваас найм байна, суурь нь тав дээр нэмэх нь найм, гэдэг нь дараачийн Фибоначийн тоо болох 13 болж байна. Тийм үү? Тэгэхээр талбай нь мөн наймыг үржих нь 13. Бид талбайг хоёр өөр аргаар зөв тооцоолсон болохоор, хариу нь ижил гарах ёстой. Иймээс ч нэг, нэг, хоёр, гурав, тав, наймын квадратыг нэмэхэд наймыг 13 дахин авсантай адил болж байна.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Одоо бид энэ үйлдэлээ үргэлжлүүлээд 13-ийг 21-ээр, 21-ийг 34-өөр гэх мэтчилэн авсан хэлбэртэй тэгш өнцөгтүүдийг үүсгэе.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Одоо хар даа. Хэрвээ 13-ийг наймд хуваах юм бол 1.625 гарна. Ингээд цааш арай том тоог нь арай багад нь хуваагаад байх юм бол энэ харьцаа нь улам бүр 1.618 буюу хүмүүсийн мэддэгээр Алтан Харьцаа гэгдэх олон зууны турш математикчид, эрдэмтэд, уран бүтээлчидийг гайхашруулж ирсэн харьцаа уруу дөхөж очино.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Миний энэ бүгдийг та бүхэн үзүүлж байгаагийн учир нь сургуулиудад тэр бүрий онцолж авч үздэггүй ч математикт гоё сайхан тал гэж байдаг юм шүү гэдгийг таниулах гэсэн юм. Бид маш их цагийг тооцоолж сурахад зарцуулдаг. Харин хэрэглээний, ялангуяа хэрхэн сэтгэж сурах, тал дээрээ марталгүй анхаарцгаая.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Энэ бүгдийг нэг өгүүлбэрээр хураангуйлах юм бол, иймэрхүү болох байх: Математикийн шинжлэх ухаан нь зөвхөн "X"-ийг олох биш, бас "Яагаад" гэдэг учирыг нь олж мэдэх юм.
Thank you very much.
Маш их баярлалаа.
(Applause)
(алга ташилт)