So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Tai kodėl mes mokomės matematikos? Iš esmės, dėl trijų priežasčių: skaičiavimo, pritaikymo ir galiausiai, bet, deja, mažiausiai, pagal tai, kiek skiriame tam laiko, dėl įkvėpimo.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
Matematika yra braižų mokslas ir mes jos mokomės, kad išmoktume mąstyti logiškai, kritiškai ir kūrybingai, bet didžioji dalis matematikos, kurios mes mokomės mokykloje, nėra veiksmingai skatinama, ir kai mūsų studentai paklausia: „Kodėl mes tai mokomės?“ tuomet jie dažnai išgirsta, kad to prireiks ateinančioje matematikos pamokoje, arba būsimame teste. Bet ar nebūtų nuostabu, jeigu kartas nuo karto užsiimtume matematika tiesiog todėl, kad smagu ar gražu, arba dėl to, kad jaudina mintis? Na, aš žinau, kad daugelis žmonių neturėjo progos atrasti, kaip taip gali būti, tad leiskit parodyti staigų pavyzdį su mano mėgstamiausia skaičių kolekcija, Fibonačio skaičiais. (Plojimai)
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Jo! Jau dabar turiu čia Fibonačio fanų. Puiku!
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Taigi, šitie skaičiai gali būti vertinami daugybe skirtingų būdų. Skaičiavimo požiūriu, juos taip lengva suprasti kaip 1 plius 1 lygu 2. Tuomet 1 plius 2 bus 3, 2 plius 3 bus 5, 3 plius 5 bus 8, ir taip toliau. Iš tiesų, žmogus, vadinamas Fibonačiu, iš tikrųjų buvo vadinamas Leonardu iš Pizos ir šie skaičiai pasirodo jo knygoje „Liber Abaci“, kuri Vakarų pasaulį išmokė aritmetikos metodų, kuriuos naudojam šiandien. Pagal pritaikymus, Fibonačio skaičiai pasirodo gamtoje stebėtinai dažnai. Gėlės žiedlapių skaičius įprastai yra Fibonačio skaičius, ar spiralių skaičius ant saulėgrąžos ar ananaso, taip pat dažniausiai bus Fibonačio skaičius.
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
Iš tiesų, yra daug daugiau Fibonačio skaičių pritaikymų, bet ką aš pastebiu labiausiai įkvepiančio, tai nuostabūs skaičių braižai, kuriais jie reiškiasi. Leiskite jums parodyti vieną iš mano mėgstamiausių. Tarkime, kad jūs mėgstate kelti skaičius kvadratu, ir atvirai kalbant, kas nemėgsta? (Juokas)
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Pažvelkime į kelis pirmuosius Fibonačio skaičius, pakeltus kvadratu. Taigi, 1 kvadratu yra 1, 2 kvadratu yra 4, 3 kvadratu yra 9, 5 kvadratu yra 25, ir taip toliau. Dabar nenuostabu, kad kai sudedat gretutinius Fibonačio skaičius, gaunat sekantį Fibonačio skaičių. Tiesa? Taip jie yra sudaromi. Bet nesitikėtumėt, kad kas nors ypatingo atsitiktų, jeigu sudėtumėt kvadratu pakeltus skaičius. Bet pažiūrėkit. 1 plius 1 bus 2, ir 1 plius 4 bus 5. O 4 plius 9 yra 13, 9 plius 25 yra 34, ir taip, braižas tęsiasi.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Tiesą sakant, štai dar vienas. Tarkime, kad norit atlikti pirmųjų kelių Fibonačio skaičių, pakeltų kvadratu, sudėtį. Pažiūrėkim, ką turim. Taigi, 1 plius 1 plius 4 yra 6. Pridėjus 9 prie to, gaunam 15. Pridėjus 25, gaunam 40. Pridėjus 64, gaunam 104. Dabar pažiūrėkit į tuos skaičius. Tai nėra Fibonačio skaičiai, bet jei gerai į juos įsižiūrėsit, pamatysit Fibonačio skaičius pasislėpusius jų viduje.
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
Ar matot? Aš parodysiu. 6 yra dukart 3, 15 yra triskart 5, 40 yra penkiskart 8, du, trys, penki, aštuoni, ką mes tokį vertinam?
(Laughter)
(Juokas)
Fibonacci! Of course.
Fibonačį! Žinoma.
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Na, kad ir kaip smagu atrasti šiuos braižus, tačiau dar maloniau suprasti kodėl jie yra teisingi. Pažiūrėkim į paskutinę lygtį. Kodėl turėtų vieno, vieno, dviejų, trijų, penkių ir aštuonių kvadratai sudėjus būti aštuoniskart 13? Aš parodysiu jums nupiešdamas paprastą paveikslėlį. Pradėsim nuo 1x1 kvadrato, ir prie jo pridėsim dar vieną 1x1 kvadratą. Kartu jie sudaro 1x2 stačiakampį. Po jais, pridėsiu 2x2 kvadratą, o šalia jų, 3x3 kvadratą, po jais, 5x5 kvadratą, o tada, 8x8 kvadratą, sudarydamas vieną milžinišką stačiakampį, tiesa?
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Dabar leiskit paklausti paprastą klausimą: koks stačiakampio plotas? Na, iš vienos pusės, tai kvadratų plotų suma esančių stačiakampio viduje, tiesa? Taip, kaip ir sukūrėm. 1 kvadratu, plius 1 kvadratu, plius 2 kvadratu, plius 3 kvadratu, plius 5 kvadratu, plius 8 kvadratu. Tiesa? Štai plotas. Iš kitos pusės, kadangi tai stačiakampis, plotas lygus aukščio ir pagrindo sandaugai, o aukštis aiškiai 8, o pagrindas yra 5 plius 8, o tai yra sekantis Fibonačio skaičius, 13. Tiesa? Tai plotas taip pat yra aštuoniskart 13. Kadangi mes teisingai apskaičiavome plotą, dviem skirtingais būdais, tuomet turi būti tas pats skaičius ir dėl to skaičių vienas, vienas, du, trys, penki ir aštuoni kvadratai sudėjus yra aštuoniskart 13.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Na, ir jei tęsime šią eigą, sukursime stačiakampius, esančius 13x21 formos, 21x34 formos, ir taip toliau.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
O dabar pažiūrėkit į šitai. Jei padalinate 13 iš 8, gaunate 1,625. Ir jei padalinate didesnį skaičių iš mažesnio skaičiaus, tuomet šie santykiai vis artėja ir artėja link maždaug 1,618, žinomam daugumai žmonių kaip aukso pjūvis, skaičius, kuris žavi matematikus, mokslininkus ir menininkus šimtmečius.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Taigi, aš jums visa tai rodau, kadangi, kaip didžiojoje dalyje matematikos, visam tam yra gražioji pusė, kuri, baiminuosi, negauna pakankamai dėmesio mūsų mokyklose. Mes praleidžiame daug laiko mokydamiesi apie skaičiavimą, bet nepamirškime panaudojimo, įskaitant, galbūt, svarbiausią panaudojimą iš visų, mokinimasi kaip mąstyti.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Jei galėčiau apibendrinti vienu sakiniu, būtų taip: Matematika yra ne vien „X“ išsprendimas, tai taip pat suvokimas kodėl.
Thank you very much.
Labai jums ačiū.
(Applause)
(Plojimai)