So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Perché impariamo la matematica? Fondamentalmente per tre ragioni: il calcolo, l'applicazione, e infine, e sfortunatamente l'ultima in termini di tempo che le dedichiamo, l'ispirazione.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
La matematica è la scienza degli schemi, e la studiamo per imparare a pensare con logica, in modo critico e creativo, ma troppa della matematica che impariamo a scuola non viene motivata per niente, e quando i nostri studenti ci chiedono: "Perché la stiamo studiando?" spesso hanno come risposta che servirà loro nella prossima lezione di matematica o in un prossimo compito in classe. Ma non sarebbe grandioso se di tanto in tanto facessimo della matematica semplicemente perché è divertente o bella e perché stimola l'intelletto? So che molte persone non hanno avuto modo di vedere come ciò sia possibile, per cui permettetemi di darvi un breve esempio con la mia serie di numeri preferita, la serie di Fibonacci. (Applausi)
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Ho già dei fan di Fibonacci. Fantastico!
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Questi numeri possono essere apprezzati in molti modi differenti. Dal punto di vista del calcolo, sono tanto facili da capire quanto uno più uno, che fa due. Poi uno più due fa tre, due più tre fa cinque, tre più cinque fa otto, e così via. La persona che chiamiamo Fibonacci si chiamava in realtà Leonardo Pisano, e questi numeri compaiono nel suo libro "Liber Abaci", che ha insegnato al mondo occidentale i metodi dell'aritmetica che usiamo oggi. In termini di applicazioni, i numeri di Fibonacci appaiono in natura sorprendentemente spesso. Il numero di petali di un fiore è tipicamente un numero di Fibonacci, o il numero di spirali di un girasole o di un ananas tende ad essere un numero di Fibonacci.
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
In effetti, ci sono molte altre applicazioni dei numeri di Fibonacci, ma quanto mi ha più ispirato sono gli splendidi schemi di numeri che mostrano. Lasciate che vi mostri uno dei miei preferiti. Supponiamo che vi piaccia elevare al quadrato i numeri, e oggettivamente, a chi non piace? (Risate)
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Guardiamo i quadrati dei primi numeri della serie di Fibonacci. Quindi uno al quadrato fa uno, due al quadrato fa quattro, tre al quadrato fa nove, cinque al quadrato fa 25, e così via. Non è una sorpresa che quando aggiungete tra loro dei numeri di FIbonacci consecutivi ottenete il numero di Fibonacci successivo. Giusto? È così che sono stati creati. Ma non vi aspettereste nulla di speciale quando aggiungete tra loro i loro quadrati. Guardate un po'. Uno più uno fa due, e uno più quattro fa cinque. E quattro più nove fa 13, nove più 25 fa 34, e si, lo schema continua.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Eccovene un altro. Supponiamo che vogliate guardare alle somme dei quadrati dei primi numeri di Fibonacci. Vediamo cosa otteniamo. Quindi uno più uno più quattro fa sei. Aggiungeteci nove, fa 15. Aggiungete 25, fa 40. Aggiungete 64, fa 104. Guardate ora questi numeri. Questi non sono numeri di Fibonacci, ma se li guardate attentamente, vedrete i numeri di Fibonacci nascosti in essi.
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
Lo vedete? Ora ve lo mostro. Sei è due per tre, 15 è tre per cinque, 40 è cinque per otto, due, tre, cinque, otto, cosa possiamo notare?
(Laughter)
(Risate)
Fibonacci! Of course.
Fibonacci! Ovviamente.
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Per quanto sia divertente scoprire questi numeri, dà ancora più soddisfazione capire perché sono tali. Osserviamo l'ultima equazione. Perché i quadrati di uno, uno, due, tre, cinque, otto dovrebbero sommarsi fino a dare otto per 13? Ve lo mostro facendo un piccolo disegno. Cominciamo con un quadrato 1x1 per poi aggiungerci accanto un altro quadrato 1x1. Insieme formano un rettangolo 1x2. Sotto ci metto un quadrato 2x2, e accanto un quadrato 3x3, sotto un quadrato 5x5, e poi un quadrato 8x8, creando un grande rettangolo, ok?
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Fatemi fare ora una semplice domanda: qual è l'area del rettangolo? Beh, da un lato è la somma delle aree dei quadrati dentro di esso, no? Proprio come lo abbiamo creato. È uno al quadrato più uno al quadrato più due al quadrato più tre al quadrato più cinque al quadrato più otto al quadrato. Giusto? Questa è l'area. D'altra parte, visto che è un rettangolo, l'area è uguale all'altezza per la base, e l'altezza è chiaramente otto, mentre la base è cinque più otto, che è il numero di Fibonacci successivo, 13. Quindi l'area si può calcolare anche come otto per 13. Dal momento che abbiamo calcolato l'area in due modi differenti, devono dare lo stesso numero, e questo è il motivo per cui il quadrato di uno, uno, due, tre, cinque e otto si sommano fino a otto per 13.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Se continuassimo questo processo, genereremmo rettangoli della forma 13x21, 21x34, e così via.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Guardate un po' ora. Se dividete 13 per otto, ottenete 1,625. E se dividete il numero più grande per il numero più piccolo, questi rapporti diventano sempre più vicini a 1,618, noto a molti come il Rapporto Aureo, un numero che ha affascinato i matematici, gli scienziati e gli artisti per secoli.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Vi mostro tutto ciò perché, come la maggior parte della matematica, c'è un suo lato affascinante che ho paura non goda di abbastanza attenzione nelle nostre scuole. Spendiamo molto tempo nel calcolo, ma non scordiamoci dell'applicazione, tra cui, forse, l'applicazione più importante, imparare a pensare.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Se potessi riassumere ciò in una frase, sarebbe: la matematica non è solo trovare la x, ma anche scoprirne il perché.
Thank you very much.
Grazie mille.
(Applause)
(Applausi)