So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Jadi, mengapa kita belajar matematika. Pada dasarnya, karena tiga sebab: perhitungan, penerapan, dan yang terakhir, yang sayangnya hal yang paling kita abaikan, inspirasi.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
Matematika adalah ilmu tentang pola dan kita mempelajarinya untuk belajar berpikir secara logis, kritis dan kreatif, namun matematika yang kita pelajari di sekolah tidak dapat memotivasi para siswa dengan efektif, dan saat mereka bertanya, "Mengapa kita belajar hal ini?" seringkali dikatakan bahwa karena mereka memerlukannya untuk kelas matematika atau ujian berikutnya. Namun bukankah akan menjadi luar biasa jika setiap waktu kita belajar matematika hanya karena matematika itu indah atau menyenangkan, atau merangsang pikiran? Nah, saya tahu banyak orang tidak punya kesempatan untuk melihat bagaimana hal ini bisa terjadi, jadi saya akan memberikan contoh singkat dengan koleksi bilangan favorit saya, Bilangan Fibonacci. (Tepuk tangan)
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Yeah! Sudah ada penggembar Fibonacci di sini. Bagus.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Nah, bilangan-bilangan ini dapat dipahami dengan berbagai cara. Dari sudut pandang perhitungan, bilangan ini mudah untuk dipahami seperti satu ditambah satu, adalah dua. Lalu satu ditambah dua, adalah tiga, dua ditambah tiga adalah lima, tiga ditambah lima adalah delapan, dan seterusnya. Orang yang kita kenal dengan nama Fibonacci sesungguhnya bernama Leonardo dari Pisa, 'dan bilangan-bilangan ini muncul dalam bukunya "Liber Abaci," yang mengajarkan kepada Dunia Barat tentang metode aritmatika yang kita gunakan saat ini Dalam penerapannya, Bilangan Fibonacci dijumpai di alam, sangat sering. Jumlah kelopak pada bunga biasanya merupakan Bilangan Fibonacci, atau jumlah lingkaran pada bunga matahari atau nanas juga cenderung merupakan Bilangan Fibonacci.
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
Nyatanya, ada banyak penerapan lain dari Bilangan Fibonacci, namun yang paling menginspirasi bagi saya adalah pola indah yang ditunjukkan oleh bilangan itu. Mari saya tunjukkan salah satu favorit saya. Anggap saja Anda menyukai bilangan kuadrat, dan sejujurnya, siapa yang tidak suka? (Tawa)
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Mari kita lihat kuadrat dari beberapa Bilangan Fibonacci pertama. Jadi satu kuadrat adalah satu, dua kuadrat adalah empat, tiga kuadrat adalah sembilan, lima kuadrat adalah 25, dan seterusnya. Nah, bukan kejutan bahwa jika Anda menambah dua Bilangan Fibonacci yang berurutan, Anda akan mendapatkan Bilangan Fibonacci berikutnya, bukan begitu? Begitulah bilangan itu dibuat. Namun Anda tidak akan menyangka ada yang spesial jika Anda menambahkan kuadrat dari bilangan itu. Coba lihat ini. Satu ditambah satu menjadi dua dan satu ditambah empat adalah lima. Lalu empat ditambah sembilan adalah 13, sembilan ditambah 25 adalah 34, dan pola itu berlanjut.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Sebenarnya, ada yang lain lagi. Anggaplah Anda ingin melihat penjumlahan kuadrat dari beberapa Bilangan Fibonacci pertama. Mari kita lihat apa yang terjadi. Jadi satu ditambah satu ditambah empat adalah enam, ditambah sembilan menjadi 15, ditambah 25 menjadi 40, ditambah 64 menjadi 104. Kini lihatlah bilangan-bilangan itu. Itu bukanlah Bilangan Fibonacci, namun jika Anda melihatnya lebih dekat, Anda akan melihat Bilangan Fibonacci yang tersembunyi di dalamnya.
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
Apakah Anda melihatnya? Mari saya tunjukkan. Enam adalah dua dikali tiga, 15 adalah tiga dikali lima, 40 adalah lima dikali delapan, dua, tiga, lima, delapan, siapa yang kita pahami?
(Laughter)
(Tawa)
Fibonacci! Of course.
Tentu saja Fibonacci!
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Kini, yang tidak kalah menyenangkan dari menemukan pola-pola ini, adalah lebih memuaskan untuk memahami mengapa pola-pola ini benar. Mari kita lihat pada persamaan terakhir. Mengapa kuadrat dari satu, satu, dua, tiga, lima, dan delapan jika dijumlahkan sama dengan 8 dikali 13? Saya akan menjelaskan dengan menggambar lukisan sederhana. Kita mulai dari persegi 1 X 1, lalu saya membuat persegi 1 X 1 di sebelahnya. Kini, ada segiempat 1 X 2. Di bawahnya, saya akan membuat persegi 2 X 2, dan di sebelahnya, persegi 3 X 3, di bawahnya, persegi 5 X 5, lalu persegi 8 X 8, kini ada satu segiempat besar, bukan?
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Lalu saya memiliki satu pertanyaan sederhana: berapa luas dari segiempat ini? Di satu sisi itu adalah jumlah luas dari persegi yang ada di dalamnya, bukan? Sama seperti kite membuat bilangan itu. Satu kuadrat ditambah satu kuadrat ditambah dua kuadrat ditambah tiga kuadrat ditambah lima kuadrat ditambah delapan kuadrat, betul? Itulah luasnya. Di sisi lain, karena bentuknya segiempat, luasnya sama dengan panjang dikali lebar, dan panjangnya adalah delapan dan lebarnya adalah lima ditambah delapan yang merupakan Bilangan Fibonacci berikutnya, 13. Jadi luasnya juga adalah 8 dikali 13. Karena kita menghitung luasnya dengan benar melalui dua cara berbeda, hasil dari keduanya haruslah angka yang sama, dan karena itulah penjumlahan kuadrat dari satu, satu, dua, tiga, lima, dan delapan adalah 8 dikali 13.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Kini jika kita melanjutkan proses ini, kita akan membuat segiempat berukuran 13 kali 21, 21 kali 34 dan seterusnya.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Kini lihat yang ini. Jika Anda membagi 13 dengan 8 hasilnya 1,625. Dan jika Anda membagi bilangan yang lebih besar dengan yang lebih kecil hasilnya akan menjadi semakin kecil hingga 1.618, yang dikenal oleh banyak orang sebagai "Rasio Emas," angka yang telah membuat kagum para matematikawan, ilmuwan, dan seniman selama berabad-abad.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Kini, saya menunjukkan semua hal ini karena, seperti kebanyakan dari ilmu matematika, ada bagian sisi indahnya yang saya khawatir tidak mendapat perhatian yang cukup di sekolah-sekolah kita. Kita menghabiskan banyak waktu mempelajari perhitungan, namun kita jangan lupa tentang penerapannya, termasuk, mungkin penerapan yang paling penting, pembelajaran untuk berpikir.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Jika saya dapat merangkum hal ini dalam sebuah kalimat kalimat itu adalah: Matematika bukan sekedar mencari nilai x, namun juga mencari tahu mengapa (y, dibaca "why").
Thank you very much.
Terima kasih banyak.
(Applause)
(Tepuk tangan)