So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Nos, miért tanulunk matematikát? Alapvetően három oka van: számolás, alkalmazás, és végül, és sajnos utolsó sorban az erre szentelt idő tekintetében, inspiráció.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
A matematika a minták tudománya, és azért tanuljuk, hogy megtanuljunk logikusan, kritikusan és kreatívan gondolkozni, de túlnyomó része az iskolában tanult matematikának nem eléggé motiváló, és amikor a diák megkérdezi: "Miért tanuljuk ezt?" akkor gyakran azt a választ kapja, hogy a következő matek órára tudni kell, vagy a vizsgán tudni kell. De nem lenne nagyszerű, ha minden egyes pillanatban azért tanulnánk, mert egyszerűen élvezetes lenne, és szép, vagy mert izgalmas? Tudom, sok embernek nem adatott meg a lehetőség, hogy lássák, ez működhet, szóval engedjék meg, hogy megmutassam egy példával, kedvenc számsorozatommal, a Fibonacci számokkal. (Taps)
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Igeen. Máris vannak itt Fibonacci rajongók. Nagyszerű.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Ezek a számok többféle szempontból is figyelemre méltóak. Számolási szempontból olyan könnyen megérthetők, mint hogy egy meg egy az kettő. Aztán egy meg kettő az három, kettő meg három az öt, három meg öt az nyolc, és így tovább. Egyébként, akit Fibonacci-ként ismerünk, valójában Pisai Leonardónak hívták, és ezek a számok a "Liber Abaci" című könyvében tűntek fel, mely megtanította a nyugati társadalmakat arra a számtantudományra, amit mai napig alkalmazunk. Az alkalmazás tekintetében a Fibonacci számok meglepően sokszor előfordulnak a természetben. Egy virág szirmainak száma tipikus Fibonacci szám, vagy a spirálok száma a napraforgón vagy az ananászon ugyancsak hajlamos Fibonacci szám lenni.
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
Valójában rengeteg megjelenési formája van a Fibonacci számoknak, de számomra a legelgondoltatóbbak a gyönyörű, szabályos minták, amiket ezek a számok kiadnak. Had mutassam meg az egyik kedvencemet. Felteszem szeretnek négyzetre emelni, most őszintén, ki nem szeret? (Nevetés)
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Nézzük az első pár Fibonacci szám négyzetét. Egy négyzete az egy, Kettő négyzete az négy, három négyzete kilenc, öt négyzete 25, és így tovább. Abban nincs semmi meglepő, hogy ha összeadjuk az egymás melletti Fibonacci számokat, akkor a következő Fibonacci számot kapjuk, igaz? Hisz így kell képezni a sort. De nem számítanának semmi érdekesre, ha az egymás melletti négyzeteiket adjuk össze. De nézzék csak. Egy meg egy kettöt ad, és egy meg négy ötöt. Négy meg kilenc az 13, kilenc meg 25 az 34, és igen, a szabály folytatódik.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Valójában, itt egy másik. Gondolom most meg akarják nézni az első pár Fibonacci szám négyzetösszegeit. Lássuk, mit kapunk. Egy meg egy meg négy az hat. Adjuk hozzá a kilencet, az 15. Adjuk hozzá a 25-öt, az 40. Adjuk hozzá a 64-et, 104-et kapunk. Most nézzük ezeket a számokat. Ezek nem Fibonacci számok, de ha közelebbről megnézzük öket, akkor felfedezhetjük bennük a Fibonacci számokat elrejtve.
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
Látják? Megmutatom. Hat az kétszer három, 15 az háromszor öt. 40 az ötször nyolc, kettő, három, öt, nyolc, na most kire gondolsz?
(Laughter)
(Nevetès)
Fibonacci! Of course.
Fibonacci! Hát persze.
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Amennyire jó móka felfedezni ezeket az ismétlődő mintákat, még annál is jobb megérteni, hogy ezek miért igazak. Nézzük az utolsó egyenletet. Miért szükségszerű, hogy az egy, egy, kettő, három, öt és kilenc négyzetösszege pontosan 8x13 ? Megmutatom egy egyszerű rajzocskával. Kezdjük egy 1x1-es négyzettel majd tegyünk mégegy 1x1-es négyzetet mellé. Együtt egy 1x2-es téglalapot alkotnak. Teszek alájuk egy 2x2-es négyzetet, majd melléjük egy 3x3-as négyzetet, majd mindezek alá egy 5x5-ös négyzetet, majd ezután egy 8x8-as négyzet jön, létrehozva egy nagy téglalapot, igaz?
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Had tegyek fel egy egyszerű kérdést: Mekkora a területe ennek a nagy téglalapnak? Nos, egyfelől az összege a kis részterületeknek, azaz a négyzetek összege, igaz? Ezekből raktuk össze. Egy a négyzeten plusz egy a négyzeten plusz kettő a négyzeten plusz három a négyzeten plusz öt a négyzeten plusz nyolc a négyzeten, igaz? Ez a területe. Másfelől, mivel ez egy téglalap, a területe egyenlő a két oldal szorzatával, és az egyik oldal nyilván 8, a másik oldal pedig 5 plusz 8, ami 13, azaz a következő Fibonacci szám. Igaz? Tehát a területet felírhatjuk úgy is, hogy 8x13. Mivel kétféle módon felírtuk ugyanazt a területet, így ezek szükségképpen egyenlőek, ezért van az, hogy az 1, 1, 2, 3, 5 és 8 négyzetösszege egyenő 8x13-mal.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Most ha folytatjuk az eljárást, kapunk egy 13x21-es nagy téglalapot, majd egy 21x34-es téglalapot, és így tovább.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Most ezt nézzék csak! Ha elosztjuk 8-cal a 13-at, 1.625-öt kapunk. És ha elosztjuk a nagyobb számot a kisebbel, a hányados egyre közelít az 1.618-hoz, ami nem más, mint az aranymetszés, a szám, mely elbűvölte a matematikusokat, tudósokat, művészeket századokon át.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Most, ezt az egészet azért mutatom meg önöknek, mert mint annyi másnak a matematikában, ennek is rengeteg szépsége van, és félek nem kap elég figyelmet az iskolai oktatásban. Rengeteg időt töltünk számolással, de ne feledkezzünk meg az alkalmazásáról se, ideértve talán a legfontosabb alkalmazását, a gondolkodni tanítást.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Egy mondatban úgy tudnám összefoglalni mindezt: A matematika nem csak az, hogy mennyi az x, hanem azt is megmondja, miért annyi.
Thank you very much.
Köszönöm szépen.
(Applause)
(Taps)