So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Zašto mi, zapravo, učimo matematiku? Tri su bitna razloga: računanje, primjena, i posljednje, a nažalost i najmanje važno u smislu vremena koje joj posvećujemo, nadahnuće.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
Matematika je znanost o obrascima, i proučavamo je kako bismo naučili misliti logički, kritički i stvaralački, ali suviše matematike koju u školi učimo nije pravilno motivirana, i kad nas naši učenici pitaju, "Zašto ovo učimo?" često čuju da će im to trebati na sljedećem satu matematike, ili u nekom testu sljedećeg mjeseca. Ali, ne bi li bilo sjajno kad bismo se s vremena na vrijeme matematikom bavili jednostavno zato što je ona zabavna, prelijepa ili intelektualno uzbudljiva? Znam da mnogi ljudi nisu nikad imali prigodu vidjeti kako bi to izgledalo, pa mi dopustite da vam dam jednostavan primjer, primjer mojeg omiljenog skupa brojeva, Fibonaccijevih brojeva. (Pljesak)
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Odlično! I ovdje ima ljubitelja Fibonaccijeviih brojeva. To je odlično.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Vrijednost tih brojeva moguće je cijeniti na mnogo različitih načina. Promotrimo li ih iz kuta računanja, lako ih je razumjeti kao i kao jedan plus jedan, što je dva.. Potom, jedan plus dva je tri, dva plus tri je pet, tri plus pet je osam, i tako dalje. Doista, osoba koju nazivamo Fibonacci zvao se, zapravo, Leonardo od Pise, a ovi se brojevi pojavljuju u njegovoj knjizi "Liber Abaci", iz koje je Zapadni svijet naučio aritmetičke metode koje danas koristimo. Što se primjene tiče, Fibonaccijevi brojevi se u prirodi pojavljuju iznenađujuće često. Broj latica na cvijetu obično je neki Fibonaccijev broj, ili broj spirala na suncokretovom cvijetu, ili na ananasovom plodu također teži jednom od Fibonaccijevih brojeva.
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
Ustvari, u mnogo drugih slučajeva nalazimo Fibonaccijeve brojeve, ali ono što ja u njima smatram najviše nadahnjujućim jesu prelijepi brojevni obrasci koje prikazuju. Pokazat ću vam jedan od svojih omiljenih. Pretpostavimo da volite kvadrirati brojeve, i, iskreno, tko ne voli? (Smijeh)
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Pogledajmo kvadrate prvih nekoliko Fibonaccijevih brojeva. Dakle, jedan na kvadrat je jedan, dva na kvadrat je četiri, tri na kvadrat je devet, pet na kvadrat je dvadeset i pet, i tako dalje. Naravno, nije iznenađujuće kad pribrajanjem uzastopnih Fibonaccijevih brojeva dobijemo sljedeći Fibonaccijev broj. Zar ne? Tako su i stvoreni. Međutim, ne biste očekivali ništa osobito krenete li zbrajati kvadrate. Ali, pogledajte ovo. Jedan plus jedan daje dva, a jedan plus četiri daje pet. A četiri plus devet daju trinaest, a devet plus 25 je 34, i da, obrazac se nastavlja.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Zapravo, evo vam još jednog. Pretpostavimo da ste poželjeli sagledati zbrajanje kvadrata prvih nekoliko Fibonaccijevih brojeva. Pogledajmo što ćemo dobiti. Dakle jedan plus jedan plus četiri je šest. Dodamo li tome devet, dobit ćemo 15. Dodajmo 25 i dobivamo 40. Dodajmo 64 i dobivamo 104. Razmotrimo te brojeve. To nisu Fiboonaccijevi brojevi, ali promotrite li ih pažljivije, uočit ćete Fibonaccijeve brojeve skrivene u njima.
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
Vidite li ih? Pokazat ću vam. Šest je dva puta tri, a 15 je tri puta pet, 40 je pet puta osam, dva, tri, pet, osam, volite me takvog tko sam?
(Laughter)
(Smijeh)
Fibonacci! Of course.
Fibonacci! Naravno.
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Koliko god bilo zabavno otkrivati ovakve obrasce, još je više ispunjavajuće uvidjeti zašto je tome tako. Pogledajmo posljednju jednadžbu. Zašto bi kvadrati brojeva jedan, jedan, dva, tri, pet i osam u zbroju bili jednaki umnošku osam i 13? Objasnit ću vam ovim jednostavnim prikazom. Započnimo s kvadratom dimenzija jedan puta jedan i do njega stavimo još jedan kvadrat dimenzija jedan puta jedan. Zajedno, oni čine pravokutnik dimenzija jedan puta dva. Ispod njih, nacrtat ću kvadrat dimenzija dva puta dva, a do njih, kvadrat tri puta tri,. Ispod njih, kvadrat pet puta pet, a potom kvadrat osam puta osam, kreirajući tako jedan ogroman pravokutnik, zar ne?
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Postavit ću vam jednostavno pitanje: Kolika je površina pravokutnika? S jedne strane, ona je suma površina ucrtanih kvadrata, zar ne? Tako je pravokutnik i nastao. Dakle, jedan na kvadrat plus jedan na kvadrat, plus dva na kvadrat, plus tri na kvadrat, plus pet na kvadrat, plus osam na kvadrat. To je površina. S druge strane, budući da se radi o pravokutniku, površina je jednaka umnošku njegove visine i njegove baze, pri čemu je visina očito osam a baza je pet plus osam, što je sljedeći Fibonaccijev broj, 13.Zar ne? Prema tome, površina je osam puta 13. Budući da smo ispravno izračunali površinu na dva različita načina, to trebaju biti isti brojevi, i etto zašto kvadrati brojeva jedan, jedan, dva, tri, pet i osam zbrojeni daju osam puta 13.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Nastavimo li ovaj postupak, stvorit ćemo pravokutnike oblika 13 puta 21, 21 puta 34, i tako dalje.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
A razmotrimo ovo. Podijelimo li 13 sa osam, dobit ćemo 1,625. I dijelimo li veći broj s manjim brojem, primijetit ćemo da se količnici sve više približavaju broju 1,618, mnogim ljudima znanom kao Zlatni omjer, broj koji je stoljećima očaravao matematičare, znanstvenike i umjetnike stoljećima.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Sve vam ovo pokazujem zato što, kao toliko toga u matematici, ovo posjeduje osobitu ljepotu kojoj, bojim se, ne poklanjamo dovoljno pozornosti u našim školama. Mnogo vremena provodimo učeći o računanju, ali ne zaboravimo na primjenu, uključujući, možda, i najvažniju od svih mogućih primjena, učiti kako misliti.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Kad bih ovo mogao sažeti u jednoj rečenici, bila bi to ova: Matematika ne služi samo za rješavanje x-a, već i razotkrivanje onoga zašto.
Thank you very much.
Hvala vam puno.
(Applause)
(Pljesak)