So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
מדוע אנו לומדים מתמטיקה? עקרונית, משלוש סיבות: לחישובים, ליישומים, ואחרון, ולמרבה הצער, לא חביב, מבחינת הזמן שאנו מקדישים לו, לשם השראה.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
המתמטיקה היא מדע התבניות, ואנו חוקרים אותה כדי ללמוד לחשוב באופן לוגי, ביקורתי ויצירתי, אבל יותר מדי מהמתמטיקה שאנו לומדים בביה"ס אינה נלמדת מתוך תמריץ יעיל, וכשתלמידינו שואלים, "מדוע אנו לומדים את זה?" הם לעתים קרובות שומעים, שהם יזדקקו לזה בשיעורי המתמטיקה הבאים או באיזו בחינה בעתיד. האם לא היה נפלא אילו מידי פעם בפעם הייו עוסקים במתמטיקה פשוט משום שהיא כייפית או יפה, או משום שהיא מלהיבה את המוח? אני יודע שאנשים רבים לא זכו להזדמנות לראות איך זה ייתכן, אז הבה ואתן לכם דוגמה זריזה בעזרת אוסף המספרים האהוב עלי, מספרי פיבונאצ'י. [מחיאות כפיים]
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
כן! כבר יש לי כאן אוהדים של פיבונאצ'י. מעולה!
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
את המספרים האלה אפשר להעריך בדרכים רבות. מההיבט החישובי, הם קלים להבנה כמו 1 ועוד 1 שזה 2, ,1+2=3 ,2+3=5 ,3+5=8 וכן הלאה. למען האמת, האדם שאנו מכנים פיבונאצ'י שמו היה למעשה לאונרדו מפיזה, והמספרים האלה מופיעים בספרו "ליבר אבאצ'י", שלימד את העולם המערבי את השיטות החשבוניות בהן אנו משתמשים כיום. מבחינה יישומית, מספרי פיבונאצ'י מופיעים בטבע לעתים תכופות עד להפתיע. מספר עלי הכותרת בפרח הם מספר פיבונאצ'י אופייני, או מספר הספירלות בחמניה או באננס נוטים גם הם להיות מספרי פיבונאצ'י.
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
למעשה, יש עוד יישומים רבים למספרי פיבונאצ'י, אבל מה שבעיני הכי מעורר השראה בהם הוא התבניות המספריות היפהפיות שהם מפגינים. הבה ואראה לכם אחת מהאהובות עלי. נניח שאתם אוהבים להכפיל מספרים בריבוע, ולמען האמת, מי לא? [צחוק]
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
הבה נראה את החזקות השניות של מספרי פיבונאצ'י הראשונים. אחד בריבוע הוא אחד, שתיים בריבוע שווה ארבע, שלוש בריבוע שווה תשע, חמש בריבוע שווה 25, וכן הלאה. אז לא מפתיע שכאשר מחברים מספרי פיבונאצ'י רציפים, מקבלים את מספרי פיבונאצ'י הבאים בסדרה, נכון? כך הם נוצרים. אבל לא הייתם מצפים שיקרה משהו מיוחד כשתחברו את הריבועים. אבל תראו מה זה: 1+1=2 1+4=5 4+9=13 9+25=34 כן, הדפוס הזה נמשך.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
בעצם, הנה עוד אחד. נניח שרוצים לבדוק את חיבור הריבועים של מספרי פיבונאצ'י הראשונים. הבה ונראה מה נקבל. 1 + 1 + 4 = 6. תוסיפו לזה 9, ונקבל 15. תוסיפו 25, ונקבל 40. תוסיפו 64, ונקבל 104. כעת הביטו במספרים האלה. אלה אינם מספרי פיבונאצ'י, אך אם תבחנו אותם היטב, תגלו שמספרי פיבונאצ'י טמונים בתוכם.
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
רואים אותם? הבה ואראה לכם אותם. 6 שווה 2X3, 15 שווה 3X5, 40 שווה 5X8, "שתיים, שלוש, חמש, שמונה מי אוהב את זה כמוני?"
(Laughter)
[צחוק]
Fibonacci! Of course.
פיבונאצ'י! כמובן.
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
ככל שזה כיף לגלות את התבניות האלה, הרי שעוד יותר מספק להבין מדוע הן אמיתיות. נביט במשוואה האחרונה הזו. מדוע הריבועים של 1, 1, 2, 3, 5 ו-8 מסתכמים ב8X13? אדגים לכם בעזרת ציור פשוט. נתחיל עם ריבוע של 1 על 1 ולידו נציב ריבוע נוסף של 1 על 1. ביחד הם מהווים מלבן של 1 על 2. מתחתיו אציב ריבוע של 2 על 2, ולידו - ריבוע של 3 על 3, מלמטה, ריבוע של 5 על 5, ועוד ריבוע של 8 על 8, וקיבלנו מלבן ענקי אחד, נכון?
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
כעת אשאל אתכם שאלה פשוטה: מהו שטח המלבן? מצד אחד, זהו סכום השטחים של הריבועים שבתוכו, נכון? בדיוק כפי ששרטטנו אותם. 1 בריבוע ועוד 1 בריבוע ועוד 2 בריבוע ועוד 3 בריבוע ועוד 5 בריבוע ועוד 8 בריבוע, נכון? זהו השטח. מצד שני, היות שזה מלבן, השטח שווה לבסיס כפול הגובה, והגובה הוא בבירור 8, והבסיס הוא 5 + 8, וזהו מספר פיבונאצ'י הבא: 13, נכון? אז השטח הוא גם 13X8. היות שחישבנו נכון את השטח בשתי דרכים שונות, מן הסתם זה צריך להיות אותו המספר, וזו הסיבה שהריבועים של 1, 1, 2, 3, 5 ו-8, מסתכמים ב-13X8.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
כעת, אם נמשיך בתהליך זה, נייצר מלבנים בצורת 13 על 21, 21 על 34, וכו'.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
כעת הביטו בזה. אם מחלקים 13 ב-8, מקבלים 1.625. ואם מחלקים את המספר הגדול במספר הקטן יותר, היחסים האלה נעשים קרובים יותר ויותר ל-1.618 בערך, המוכר לרבים כ"חיתוך הזהב", מספר שריתק את דמיון המתמטיקאים, המדענים והאמנים במשך מאות בשנים.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
והסיבה שאני מראה לכם את כל זה היא, שכמו בתחומי מתמטיקה רבים, יש לכך צד יפה שחוששני שאינו זוכה לתשומת-לב מספקת בבתי הספר שלנו. אנו מקדישים המון זמן ללימוד החישוב, אבל הבה לא נשכח את היישום, כולל, אולי, היישום החשוב מכל, ללמוד לחשוב.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
אם אוכל לסכם זאת במשפט אחד, הרי זה: המתמטיקה היא לא רק לפתור כדי למצוא את "איקס" אלא גם להבין את "וואי" (למה).
Thank you very much.
תודה רבה לכם.
(Applause)
[מחיאות כפיים]