So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
શા માટે આપણે ગણિત જાણવા માંગીએ છીએ? મૂળભૂત રીતે, ત્રણ કારણો માટે: ગણતરી, એપ્લિકેશન, અને છેલ્લું, અને કમનસીબે આખરી સમયની દ્રષ્ટિએ આપણે તેને આપી, અંતરસ્ફુરણા.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
દાખલાનું વિજ્ઞાન ગણિત છે, અને આપણે ભણીએ છીએ તાર્કિક રીતે કઈ રીતે વિચારવું, વિવેચનાત્મક અને સર્જનાત્મક, પરંતુ ઘણું બધું ગણિતશાસ્ત્ર જે આપણે નિશાળમાં ભણ્યા તે અસરકારક રીતે પ્રોત્સાહિત કરતા નથી, અને જયારે અમારા વિદ્યાર્થીઓ પૂછે છે, "શા માટે આ આપણે ભણીએ છીએ?" પછી તેઓ ઘણી વાર સાંભળે છે કે તેઓને કામ લાગશે આગામી ગણિતના વર્ગમાં અથવા તો આવનારી પરીક્ષામાં પણ તે મહત્વશીલ નથી જયારે એક વખત માં ગણિત કરતા હતા કારણ કે માત્ર તે વિનોદ કે તેની સુંદરતા માટે અથવા તો મનને ઉત્સાહિત કરવા? હવે, હું જાણું છુ ઘણા લોકોને આ કેવી રીતે થઇ શકે તે જોવાની તક મળી ન હોય, તેથી તમને હું એક ઝડપથી ઉદાહરણ આપું મારા પ્રિય આંકડાઓના સંગ્રહથી ફિબોનાકી આંકડાઓ. (અભિવાદન)
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
હા! પહલેથી જ અહી ફિબોનાકી ના ચાહકો છે. ખુબ સરસ.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
હવે આ આંકડાઓની પ્રશંસા ઘણી અલગ અલગ રીતે કરી શકાય છે. ગણતરીની દૃષ્ટિબિંદુ પ્રતિ, તેઓ સમજવામાં ખુબજ સરળ છે જેમ એક વત્તા એક, બે છે. પછી એક વત્તા બે, ત્રણ છે બે વત્તા ત્રણ, પાંચ, ત્રણ વત્તા પાંચ આઠ છે અને આમ જ. ખરેખર, જે માણસ ને આપણે ફિબોનાકી કહીએ છીએ એનું સાચું નામ રુસ્ટિશેલો ઓફ લિયોનાર્ડો હતું, અને આ આંકડાઓ તેના પુસ્તક "ચોપડે આબચી" માં જોવા મળે છે જે પશ્ચિમી દુનિયામાં શીખવવામાં આવે છે અને આજે આપણે અંકગણિત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. એપ્લિકેશન ના રૂપમાં, પ્રકૃતિમાં ફિબોનાકી આંકડાઓ દેખાય છે આશ્ચર્યજનક રીતે વારંવાર. એક ફૂલ પર પાંદડીઓ સંખ્યા ફિબોનાકી નંબર છે અથવા તો સુરજમુખીની સર્પાકાર સંખ્યા અથવા તો અનાનસમાં પણ ફિબોનાકી સંખ્યા હોય છે.
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
હકીકતમાં, ફિબોનાકી સંખ્યાની ઘણી બધી એપ્લીકેશન છે, પરંતુ મેં તેમાંથી સૌથી પ્રેરણાદાયી સંખ્યા જોવામાં ખુબજ સુંદર છે હું તમને એક મારુ મનપસંદ બતાવું છું. ધારો કે તમને વર્ગ સંખ્યા ગમે છે, અને પ્રમાણિકપણે, કોને ના ગમે? (હસવું)
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
ચાલો થોડા શરૂઆતના થોડાક ફિબોનાકી સંખ્યાના વર્ગ જોઈએ. તેથી એકનો વર્ગ એક, બેનો વર્ગ ચાર, ત્રણનો નવ, પાંચનો ૨૫, અને આમ જ. હવે, કોઈ જ નવાઈ નથી કે તમે ક્રમિક ફિબોનાકી સંખ્યાને ઉમેરો છો, અને તમે આગળની ફિબોનાકી સંખ્યા મેળવો છો. સાચું? એટલેકે એ રીતે જ બનાવવામાં આવે છે. પણ તમને તેમાં કઈ ખાસ અપેક્ષા નહિ હોય જયારે તમેં વર્ગ સાથે ઉમેરો. પણ આ ચકાસો. એક વત્તા એક આપણને બે આપે, અને એક વત્તા ચાર આપેને પાંચ આપે. અને ચાર વત્તા નવ એટલે ૧૩, નવ વત્તા ૨૫ એટલે ૩૪, અને હા, આ પેટર્ન ચાલુ રહે છે.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
અને હકીકતમાં, અહી બીજું પણ છે. ધારો કે તમે જોવા માગો છો થોડા શરૂઆતી ફિબોનાકી સંખ્યા ના વર્ગનો સરવાળો. ચાલો જોઈએ આપણને શું મળે છે ત્યાં. તેથી એક વત્તા એક વત્તા ચાર છ છે. અને નવ ઉમેરતા, આપણને ૧૫ મળે છે. ઉમેરો ૨૫, ૪૦ મળે છે. ઉમેરો ૬૪, મળે છે ૧૦૪. હવે તે સંખ્યાઓને જુઓ. તે ફિબોનાકી સંખ્યા નથી, પણ તેને ધ્યાનથી જુઓ, તમને ફિબોનાકી સંખ્યા દેખાશે તેમને અંદર દફનાવવામાં આવ્યા હતા.
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
તમને દેખાણું? હું બતાવું છુ. બે વખત ત્રણ છ છે, ત્રણ વખત પાંચ ૧૫ છે, પાંચ વખત આંઠ ૪૦ છે, બે, ત્રણ, પાંચ, આંઠ, શું તમને આની કદર છે?
(Laughter)
(હસવું)
Fibonacci! Of course.
ફિબોનાકી! ખરેખર.
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
હવે, મજા તો આ પેટર્નઓ શોધવામાં છે, અને વધુ સંતોષ તેને સમજવામાં છે. શામાટે તેઓ સાચા છે. ચાલો જુઓ છેલ્લા સમીકરણને. શા માટે એક નો વર્ગ એક, બે, ત્રણ, પાંચ અને આંઠ આઠ વખત 13 સુધી ઉમેરો? હું તમને એક સરળ ચિત્ર દોરીને બતાવું છુ. આપને શરૂઆત એક પછી એક વર્ગથી અને પછી તેના પછી બીજા એક પછી એક વર્ગ. સાથે સાથે, તેઓ એક પછી બે લંબચોરસ આકાર આપે છે. કે તકતીને, હું બે પછી બે નો વર્ગ મુકું છુ, અને તે પછી, એક ત્રણ પછી ત્રણનો વર્ગ, કે તકતીને, એક પાંચ પછી પાંચનો વર્ગ, અને પછી એક આંઠ પછી આંઠનો વર્ગ, બનાવીએ છીએ મોટું ચોરસ, સાચું?
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
હવે હું તમને એક સરળ પ્રશ્ન પૂછું છું: ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શું છે? સારું, પ્રશ્નની એક બાજુએ, તે ક્ષેત્રફળો નો સરવાળો છે અંદર ના ચોરસનો, સાચું? આપને તેને બનાવી એ રીતે. તે એકનો વર્ગ વત્તા એકનો વર્ગ છે વત્તા બેનો વર્ગ વત્તા ત્રણનો વર્ગ વત્તા પાંચનો વર્ગ વત્તા આંઠનો વર્ગ. સાચું? એ ક્ષેત્રફળ છે. અને બીજી બાજુએ, કારણકે તે એક ચોરસ છે. ક્ષેત્રફળમાં તેની ઉંચાઈ અને આધાર સરખા હોય છે, અને ઉંચાઈ ચોખ્ખી આંઠ છે, અને આધાર પાંચ વત્તા આંઠ છે, અને એ આગામી ફિબોનાકી સંખ્યા છે, ૧૩. સાચું? તેથી ક્ષેત્રફળ પણ આંઠ વખત ૧૩ છે. આપણે સાચી રીતે ક્ષેત્રફળ ગણ્યું છે બે જુદા રસ્તાથી, એ બંને સરખી સંખ્યા હોવી જોઈએ, અને તેથી જ એક નો વર્ગ એક, બે, ત્રણ, પાંચ અને આંઠ આંઠ વખત ૧૩ સુધી ઉમેરો.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
હવે, આપણે આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીએ, આપણે બનાવીશું ૧૩ પછી ૨૧ ના ચોરસ, ૨૧ પછી ૩૪ ના અને આમ જ.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
હવે આ તપાસો. જો તમે ૧૩ પછી આંઠ નો ભાગાકાર કરો, તમને મળશે ૧.૬૨૫ અને જો તમે મોટી સંખ્યા નો ભાગાકાર નાની સંખ્યા થી કરો, તો આ પ્રમાણ નજીક આવતું જશે જે લગભગ ૧.૬૧૮ તેને ગોલ્ડન રેશિયો તરીકે ઘણા લોકો જાણે છે આ સંખ્યા સદીઓ સુધી મંત્રમુગ્ધ ગણિતશાસ્ત્રીઓ, વિજ્ઞાનીઓ અને કલાકારો છે.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
હવે, મેં તમને આ બધું દેખાડ્યું કારણકે, ગણિત ખૂબ જ ગમે છે, તે એક સુંદર બાજુ છે, કે હું પુરતું ધ્યાન ના આપી શક્યો અમારી શાળાઓમાં. આપણે ગણતરી વિષે શીખવા ઘણો સમય ખર્ચ કર્યો, પણ આપને ભૂલીએ નહિ એપ્લિકેશન, કદાચ, સૌથી જરૂરી બધાની એપ્લિકેશન, શીખવા કેવી રીતે વિચારવું.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
જો હું એક વાક્યમાં સારાંશ કરું, તે આ હશે: x ના ઉકેલ માટે જ ગણિતશાસ્ત્ર નથી, પણ કેવી રીતે એ ઉકેલવામાં છે.
Thank you very much.
ખૂબ ખૂબ આભાર.
(Applause)
(અભિવાદન)