So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
¿Por qué aprendemos matemáticas? Esencialmente, por tres razones: cálculo, aplicación, y por último y desafortunadamente no tan importante en función del poco tiempo que le dedicamos, inspiración.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
La matemática es la ciencia de las regularidades, y la estudiamos para aprender a pensar de manera lógica, crítica y creativa, pero mucho de lo que aprendemos sobre matemáticas en la escuela no nos motiva efectivamente, y cuando nuestros estudiantes preguntan "¿Por qué estamos aprendiendo esto?" a menudo escuchan que será necesario para alguna próxima clase de matemáticas o para alguna prueba futura. Pero ¿no sería genial si de vez en cuando hiciéramos matemáticas simplemente porque es divertido o hermoso o porque excita la mente? Ahora, sé que muchas personas no tuvieron la oportunidad de ver cómo esto puede suceder, así que les voy a dar un ejemplo rápido con mi colección favorita de números, los números de Fibonacci. (Aplausos)
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
¡Bien! Veo que tengo seguidores de Fibonacci aquí. Es genial.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Ahora bien, estos números pueden ser apreciados de diferentes maneras. Desde el punto de vista del cálculo, son tan fáciles de entender como que 1 más 1 es 2. Luego 1 más 2 es 3, 2 más 3 es 5, 3 más 5 es 8, y así sucesivamente. La persona que llamamos Fibonacci se llamaba en realidad Leonardo de Pisa, y estos números aparecen en su libro "Liber Abaci" el cual enseñó al mundo occidental la aritmética que utilizamos actualmente. En términos de aplicaciones, los números de Fibonacci aparecen en la naturaleza con sorprendente frecuencia. El número de pétalos de una flor es típicamente un número de Fibonacci, o el número de espirales en un girasol o en una piña tiende a ser un número de Fibonacci también.
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
De hecho, hay muchas más aplicaciones de los números de Fibonacci, pero lo que me parece más inspirador en ellos es los hermosos patrones de números que se despliegan. Quiero enseñarles uno de mis favoritos. Supongamos que les gusta elevar los números al cuadrado, y, francamente, ¿a quién no? (Risas)
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Echemos un vistazo a los cuadrados de los primeros números de Fibonacci. 1 al cuadrado es 1, 2 al cuadrado es 4, 3 al cuadrado es 9, 5 al cuadrado es 25, y así sucesivamente. Ahora, no es de extrañar que al sumar números de Fibonacci consecutivos, se obtenga el número de Fibonacci siguiente, ¿cierto? Esa es la forma en que se generan. Pero no se esperaría que ocurra algo especial cuando se sumen los cuadrados. Pero observen esto. 1 más 1 nos da 2, y 1 más 4 nos da 5. Y 4 más 9 es 13, 9 más 25 es 34, y sí, el patrón continúa.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
De hecho, aquí hay otro. Supongan que desean ver la suma de los cuadrados de los primeros números de Fibonacci. Vamos a ver lo que tenemos allí. 1 más 1 más 4 es 6. Sumando 9, obtenemos 15. Sumamos 25, obtenemos 40. Sumamos 64, obtenemos 104. Ahora observen esos números. Esos no son números de Fibonacci, pero si los vemos en detalle, veremos los números de Fibonacci inmersos en ellos.
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
¿Lo ven? Se los voy a mostrar. 6 es 2 por 3, 15 es 3 por 5, 40 es 5 por 8, 2, 3, 5, 8, ¿A quién le agradecemos?
(Laughter)
(Risas)
Fibonacci! Of course.
¡A Fibonacci, por supuesto!
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Ahora, tan divertido como es descubrir estos patrones, es aún más satisfactorio entender el por qué son verdad. Veamos la última ecuación. ¿Por qué la suma de los cuadrados de 1, 1, 2, 3, 5 y 8 debería dar 8 por 13? Se los mostraré haciendo un dibujo simple. Comenzaremos con un cuadrado de 1 por 1 y al lado colocamos otro cuadrado de 1 por 1. Juntos, forman un rectángulo de 1 por 2. Debajo colocaré un cuadrado de 2 por 2, y al lado, uno de 3 por 3. Por debajo, un cuadrado de 5 por 5, y luego un cuadrado de 8 por 8, resultando un rectángulo gigante, ¿cierto?
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Ahora quiero hacerles una pregunta sencilla: ¿cuál es el área del rectángulo? Bueno, por un lado, es la suma de las áreas de los cuadrados internos, ¿cierto? Así como lo creamos. Es 1 al cuadrado más 1 al cuadrado más 2 al cuadrado más 3 al cuadrado más 5 al cuadrado más 8 al cuadrado. ¿Cierto? Esta es el área. Por otro lado, debido a que es un rectángulo, el área es igual a la altura por la base, y la altura es claramente 8, y la base es 5 más 8, que es el siguiente número de Fibonacci, 13. ¿Cierto? Así que el área también es 8 por 13. Puesto que calculamos correctamente el área de dos maneras diferentes, tienen que ser el mismo número, y es por eso que los cuadrados de 1, 1, 2, 3, 5 y 8 suman 8 por 13.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Ahora, si seguimos este proceso, vamos a generar rectángulos de la forma 13 por 21, 21 por 34, y así sucesivamente.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Ahora observen esto. Si dividimos 13 por 8, se obtiene 1,625. Y si se divide el número mayor por el menor, entonces estas relaciones se acercan a 1,618, más conocido como el Número Áureo, un número que ha fascinado a los matemáticos, científicos y artistas durante siglos.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Les muestro todo esto porque, como sucede tanto en matemáticas, hay un lado hermoso que me temo que no recibe suficiente atención en nuestras escuelas. Pasamos mucho tiempo aprendiendo a calcular, pero no olvidemos la aplicación incluyendo, quizás, la aplicación más importante de todas, aprender a pensar.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Si pudiera resumir esto en una frase, sería ésta: Las matemáticas no son sólo resolver x, son también descubrir el porqué.
Thank you very much.
Muchas gracias.
(Applause)
(Aplausos)