Γιατί λοιπόν μαθαίνουμε μαθηματικά; Ουσιαστικά, για τρεις λόγους: υπολογισμό, εφαρμογή και τέλος, και δυστυχώς λιγότερο συγκριτικά με το χρόνο που του δίνουμε, έμπνευση.
So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη των μοτίβων και τα μελετάμε για να μάθουμε πώς να σκεφτόμαστε λογικά, κριτικά και δημιουργικά, αλλά πολλά από τα μαθηματικά που μάθαμε στο σχολείο δεν έχουν αποτελεσματικά κίνητρα και όταν οι μαθητές μας ρωτούν, «Γιατί το μαθαίνουμε αυτό;» στη συνέχεια ακούνε συχνά ότι θα τα χρειαστούν σε κάποιο επόμενο μάθημα μαθηματικών ή σ' ένα μελλοντικό διαγώνισμα. Αλλά δεν θα ήταν υπέροχο αν πού και πού κάναμε μαθηματικά απλά και μόνο επειδή ήταν διασκεδαστικό ή όμορφο ή επειδή διέγειρε το μυαλό; Τώρα, ξέρω ότι πολλοί άνθρωποι δεν είχαν την ευκαιρία να δουν πώς μπορεί να συμβεί αυτό, οπότε επιτρέψτε μου να σας δώσω ένα γρήγορο παράδειγμα με την αγαπημένη μου συλλογή αριθμών, την ακολουθία Φιμπονάτσι. (Χειροκρότημα)
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
Ναι! Έχω ήδη θαυμαστές του Φιμπονάτσι εδώ. Αυτό είναι υπέροχο.
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Τώρα, αυτοί οι αριθμοί μπορούν να ερμηνευτούν με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Από τη σκοπιά του υπολογισμού, είναι τόσο εύκολοι στην κατανόηση όσο το ένα συν ένα, που κάνουν δύο. Μετά ένα συν δύο κάνουν τρία, δύο συν τρία κάνουν πέντε, τρία συν πέντε κάνουν οκτώ, και ούτω καθεξής. Μάλιστα, το πρόσωπο που λέμε Φιμπονάτσι στην πραγματικότητα ονομαζόταν Λεονάρντο της Πίζας και αυτοί οι αριθμοί εμφανίζονται στο βιβλίο του «Το βιβλίο του Άβακος», που δίδαξε στον Δυτικό κόσμο τις μεθόδους της αριθμητικής που χρησιμοποιούμε σήμερα. Όσον αφορά τις εφαρμογές, η ακολουθία Φιμπονάτσι εμφανίζεται στη φύση εκπληκτικά συχνά. Ο αριθμός των πετάλων σε ένα λουλούδι συνήθως είναι μία ακολουθία Φιμπονάτσι ή ο αριθμός των σπειρών σε ένα ηλιοτρόπιο ή έναν ανανά τείνει να είναι και αυτός μία ακολουθία Φιμπονάτσι.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Πράγματι, υπάρχουν πολλές περισσότερες εφαρμογές των ακολουθιών Φιμπονάτσι, αλλά αυτό που με εμπνέει περισσότερο σε αυτήν είναι τα υπέροχα αριθμητικά μοτίβα που εμφανίζονται. Επιτρέψτε μου να σας δείξω ένα από τα αγαπημένα μου. Ας υποθέσουμε ότι σας αρέσει να υψώνετε αριθμούς στο τετράγωνο, και ειλικρινά, σε ποιον δεν αρέσει; (Γέλια)
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
Ας δούμε τα τετράγωνα των πρώτων αριθμών της ακολουθίας Φιμπονάτσι. Έτσι, ένα στο τετράγωνο κάνει ένα, δύο στο τετράγωνο κάνει τέσσερα, τρία στο τετράγωνο κάνει εννέα, πέντε στο τετράγωνο κάνει 25, και ούτω καθεξής. Τώρα, δεν αποτελεί έκπληξη ότι όταν προσθέσετε συνεχόμενους αριθμούς Φιμπονάτσι, θα έχετε τον επόμενο αριθμό Φιμπονάτσι. Σωστά; Έτσι δημιουργήθηκαν. Αλλά δεν θα περιμένατε κάτι ιδιαίτερο να συμβεί όταν προσθέσετε τα τετράγωνα μαζί. Αλλά για κοιτάξτε αυτό. Ένα συν ένα μας δίνει δύο και ένα συν τέσσερα μας δίνει πέντε. Και τέσσερα συν εννέα κάνει 13, εννέα συν 25 κάνει 34 και ναι, το μοτίβο συνεχίζεται.
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Στην πραγματικότητα, δείτε άλλο ένα. Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να εξετάσετε την πρόσθεση των τετραγώνων των πρώτων αριθμών Φιμπονάτσι. Ας δούμε τι έχουμε εκεί. Έτσι, ένα συν ένα συν τέσσερα κάνει έξι. Προσθέσετε εννέα σε αυτό και έχουμε 15. Προσθέστε 25, έχουμε 40. Προσθέστε 64, έχουμε 104. Τώρα κοιτάξτε αυτούς τους αριθμούς. Αυτοί δεν είναι αριθμοί Φιμπονάτσι, αλλά αν τους κοιτάξετε προσεκτικά, θα δείτε τους αριθμούς Φιμπονάτσι που κρύβονται μέσα τους.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Το βλέπετε; Θα σας το δείξω. Το έξι είναι δύο φορές το τρία, το 15 είναι τρεις φορές το πέντε, το 40 είναι πέντε φορές το οκτώ, δύο, τρία, πέντε, οκτώ, ποιον εκτιμούμε;
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
(Γέλια)
(Laughter)
Τον Φιμπονάτσι! Φυσικά.
Fibonacci! Of course.
Τώρα, όσο διασκεδαστική κι αν είναι η ανακάλυψη αυτών των μοτίβων, είναι ακόμη πιο ικανοποιητική η κατανόηση του γιατί είναι αληθή. Ας δούμε αυτή την τελευταία εξίσωση. Γιατί πρέπει τα τετράγωνα του ένα, ένα, δύο, τρία, πέντε και οκτώ είναι συνολικά οκτώ επί 13; Θα σας δείξω σχεδιάζοντας μια απλή εικόνα. Θα αρχίσουμε με ένα τετράγωνο ένα επί ένα και δίπλα σε αυτό βάζουμε ακόμη ένα τετράγωνο ένα επί ένα. Μαζί, σχηματίζουν ένα ορθογώνιο ένα επί δύο. Κάτω από αυτό, θα βάλω ένα τετράγωνο δύο επί δύο και δίπλα του ένα τετράγωνο τρία επί τρία, κάτω από αυτό, ένα τετράγωνο πέντε επί πέντε και στη συνέχεια ένα τετράγωνο οχτώ επί οχτώ, δημιουργώντας ένα γιγαντιαίο ορθογώνιο, σωστά;
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Τώρα, επιτρέψτε μου να σας θέσω ένα απλό ερώτημα: Ποιο είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου; Λοιπόν, από τη μία πλευρά, είναι το άθροισμα από τα εμβαδά των τετραγώνων μέσα σ' αυτό, σωστά; Ακριβώς όπως το δημιουργήσαμε. Είναι ένα στο τετράγωνο συν ένα στο τετράγωνο συν δύο στο τετράγωνο συν τρία στο τετράγωνο συν πέντε στο τετράγωνο συν οκτώ στο τετράγωνο. Σωστά; Αυτό είναι το εμβαδόν. Από την άλλη πλευρά, επειδή είναι ένα ορθογώνιο, το εμβαδόν είναι ίσο με το ύψος επί τη βάση και το ύψος είναι σαφώς οκτώ και η βάση είναι πέντε συν οκτώ, ο οποίος είναι ο επόμενος αριθμός Φιμπονάτσι, το 13. Σωστά; Έτσι, το εμβαδόν είναι επίσης οκτώ φορές το 13. Αφού έχουμε υπολογίσει σωστά το εμβαδόν με δύο διαφορετικούς τρόπους, πρέπει να είναι ο ίδιος αριθμός και γι' αυτό το λόγο τα τετράγωνα του ένα, ένα, δύο, τρία, πέντε και οκτώ είναι συνολικά οκτώ επί 13.
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Τώρα, αν συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία, θα παράγουμε ορθογώνια της μορφής 13 επί 21, 21 επί 34 και ούτω καθεξής.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Τώρα κοιτάξτε αυτό. Εάν διαιρέσετε το 13 με το οκτώ, θα έχετε το 1,625. Και εάν διαιρέσετε τον μεγαλύτερο αριθμό με το μικρότερο αριθμό, τότε αυτά τα ποσοστά πάνε όλο και πιο κοντά περίπου στο 1,618, γνωστό σε πολλούς ως η Χρυσή Τομή, ένας αριθμός που έχει συναρπάσει τους μαθηματικούς, τους επιστήμονες και τους καλλιτέχνες για αιώνες.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Τώρα, σας τα δείχνω όλα αυτά επειδή, όπως και τόσα πολλά στα μαθηματικά, υπάρχει μια όμορφη πλευρά σε αυτό που φοβάμαι ότι δεν της δίνουν επαρκή προσοχή στα σχολεία μας. Ξοδεύουμε πολύ χρόνο μαθαίνοντας για τον υπολογισμό, αλλά ας μην ξεχνάμε την εφαρμογή, συμπεριλαμβανομένων, ενδεχομένως, την πιο σημαντική εφαρμογή απ' όλες, να μαθαίνουμε πώς να σκεφτόμαστε.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Αν μπορούσα να το συνοψίσω σε μια φράση, θα ήταν η εξής: Τα μαθηματικά δεν είναι απλώς η επίλυση ως προς το x, είναι και η κατανόηση του γιατί. (Λογοπαίγνιο)
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Σας ευχαριστώ πολύ.
Thank you very much.
(Χειροκρότημα)
(Applause)