Warum lernen wir eigentlich Mathematik? Eigentlich aus drei Gründen: Berechnungen, Anwendung und zuletzt, und leider am wenigsten – hinsichtlich der von uns investierten Zeit – Inspiration.
So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Mathematik ist die Wissenschaft von Mustern, und wir erlernen sie, um zu lernen, logisch, kritisch und kreativ zu denken, aber ein Großteil der Mathematik, die wir in der Schule lernen, ist nicht effektiv motiviert, und wenn unsere Schüler fragen: "Warum lernen wir das?", dann bekommen sie oft zu hören, dass sie es in einer weiterführenden Klasse oder einem Test brauchen werden. Aber wäre es nicht großartig, wenn wir Mathematik hin und wieder einfach machen würden, weil es Spaß macht oder schön ist oder weil es den Verstand stimuliert? Ich weiß, dass viele Menschen nicht die Gelegenheit hatten, das selbst zu erleben, also lassen Sie mich Ihnen ein kurzes Beispiel geben mit meiner bevorzugten Zahlenfolge, den Fibonacci-Zahlen. (Applaus)
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
Ja! Es gibt schon Fibonacci-Fans hier. Das ist großartig.
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Nun diese Zahlen können auf ganz unterschiedliche Weise gewürdigt werden. Vom Standpunkt der Berechnung sind sie so einfach zu verstehen wie eins und eins, gibt zwei. Dann macht 1 und 2 drei 2 plus 3 ist 5, 3 plus 5 ist 8, usw. Die Person, die wir Fibonacci nennen, hieß tatsächlich Leonardo von Pisa und diese Zahlen tauchen in seinem Buch "Liber Abaci" auf, das der westlichen Welt die arithmetischen Methoden beibrachte, die wir heutzutage nutzen. Hinsichtlich der Anwendungen finden wir Fibonacci-Zahlen in der Natur erstaunlich oft. Die Anzahl der Blütenblätter ist eine typische Fibonacci-Zahl, oder die Anzahl von Spiralen auf einer Sonnenblume, oder einer Ananas sind häufig ebenfalls Fibonacci-Zahlen.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Tatsächlich gibt es viel mehr Anwendungsbereiche der Fibonacci-Folge, aber am meisten inspirieren mich an ihnen die schönen Zahlenmuster, die sie aufweisen. Lassen Sie mich Ihnen einen meiner Favoriten zeigen. Angenommen Sie mögen Quadratzahlen, und ehrlich, wer mag sie nicht? (Lachen)
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
Betrachten wir die Quadratzahlen der ersten paar Fibonacci-Zahlen. Eins zum Quadrat ist also eins, 2 zum Quadrat ist 4, 3 zum Quadrat ist 9, 5 zum Quadrat ist 25, und so weiter. Es ist also keine Überraschung, dass wenn man aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen addiert, die nächste Fibonacci-Zahl erhält. Stimmt's? So entstehen sie. Aber man erwartet nicht, dass etwas Besonderes passiert, wenn man die Quadratzahlen addiert. Aber schauen Sie sich das an. 1 und 1 gibt 2, und 1 plus 4 gibt 5. Und 4 plus 9 macht 13, 9 plus 25 gibt 34, und das Muster setzt sich fort.
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Es gibt auch noch ein weiteres. Angenommen man würde gerne die Quadratzahlen der ersten paar Fibonacci-Zahlen addieren. Schauen wir uns an, was wir erhalten. Also ergibt 1 plus 1 plus 4 ist 6, und plus 9 ergibt 15. Addieren wir 25, erhalten wir 40. Addieren wir 64, erhalten wir 104. Schauen Sie nun diese Zahlen an. Das sind keine Fibonacci-Zahlen, aber wenn man sie genau betrachtet, sehen sie die Fibonacci-Zahlen in ihnen enthalten.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Sehen sie es? Ich zeige es Ihnen. 6 ist zweimal 3, 15 ist dreimal 5, 40 ist fünfmal 8, 2, 3, 5, 8, wem verdanken wir das?
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
(Gelächter)
(Laughter)
Fibonacci! Natürlich.
Fibonacci! Of course.
So viel Spaß es auch macht, diese Muster zu entdecken, ist es sogar noch befriedigender zu verstehen, warum sie wahr sind. Schauen wir uns die letzte Gleichung an. Warum sollten die Potenzen von 1, 1, 2, 3, 5 und 8 sich zu 8 mal 13 addieren? Ich zeige Ihnen das mit einem einfachen Bild. Wir beginnen mit einem 1x1-Quadrat und dann stellen wir ein weiteres 1x1-Quadrat daneben. Zusammen bilden sie ein 1x2-Rechteck. Darunter setzen wir ein 2x2-Quadrat, und daneben ein 3x3-Quadrat, darunter ein 5x5-Quadrat, und dann ein 8x8-Quadrat, erschaffen ein riesiges Rechteck. Stimmt's?
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Lassen Sie mich Ihnen eine einfache Frage stellen: Was ist die Fläche des Rechtecks? Einerseits ist sie die Summe der Flächen der Quadrate im Inneren. Stimmt's? So wie wir sie gebildet haben. Das ist 1² plus 1² plus 2² plus 3² plus 5² plus 8². Stimmt's? Das ist die Fläche. Da es ein Quadrat ist, ist die Fläche einerseits gleich Länge mal Breite, und die Breite ist eindeutig 8, und die Länge ist 5 plus 8, welches die nächste Fibonacci-Zahl 13 ist. Stimmt's? Die Fläche ist also auch 8 mal 13. Da wir die Fläche auf zwei verschiedene Arten korrekt berechnet haben, müssen sie die gleiche Größe haben, und daher addieren sich die Quadrate von 1, 2, 3, 5 und 8 zu 8 mal 13.
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Wenn man diesen Prozess fortsetzt, erhält man Rechtecke von 13 mal 21, 21 mal 34, und so weiter.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Schauen Sie sich das an. Wenn man 13 durch 8 teilt, erhält man 1,625. Wenn man die größere Zahl durch die kleinere teilt, nähert sich das Verhältnis an ungefähr 1,618 an, vielen Menschen als Goldener Schnitt bekannt, eine Zahl, die viele Mathematiker, Wissenschaftler und Künstler jahrhundertelang faszinierte.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Ich zeige Ihnen das alles, denn wie bei vielem in der Mathematik gibt es eine wunderschöne Seite, die in unseren Schulen nicht genug beachtet wird. Wir verwenden viel Zeit damit, etwas über Berechnungen zu lernen, aber lassen Sie uns die Anwendung nicht vergessen, einschließlich der wichtigsten Anwendungen von allen: Zu lernen wie man denkt.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Könnte ich das in einem Satz zusammenfassen, wäre es dieser: Mathematik bedeutet nicht nur nach X aufzulösen, es geht auch darum, herauszufinden warum.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Vielen Dank.
Thank you very much.
(Applaus)
(Applause)