Okay, hvorfor lærer vi matematik? I bund og grund, af 3 årsager: beregning, anvendelse, og sidst, samt desværre også mindst i form af den tid vi giver den, inspiration.
So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Matematik er videnskaben, der ligger bag mønstre og vi studerer det, for at lære at tænke logisk, kritisk og kreativt. Men for meget af den matematik, vi lærer i skolen, motiverer ikke effektivt nok og når vores elever spørger; "Hvorfor bliver vi undervist i dette?", får de tit af vide, at de skal bruge det til et kommende modul, eller en prøve ude i fremtiden. Men ville det ikke være skønt, hvis vi til tider kastede os over matematikken, udelukkende fordi det var sjovt eller smukt, eller fordi det stimulerede sindet? Jeg ved, at mange folk ikke har haft muligheden for at se, hvordan dette kan udfolde sig - så lad mig give jer et hurtigt eksempel, med de tal jeg holder allermest af, Fibonacci-tallene. (Klapsalve)
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
Sådan! Der er Fibonacci-fans iblandt os, allerede. Det er skønt.
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Disse numre kan værdsættes på mange forskellige måder. Med udgangspunkt i beregning, er de lige så nemme at forstå som at 1 plus 1 giver 2. Efterfølgende 1 plus 2 giver 3, 2 plus 3 giver 5, 3 plus 5 giver 8 og så videre. Faktisk, ham vi kalder Fibonacci, hed reelt set, Leonardo af Pisa, og disse tal dukkede op i hans bog; "Liber Abaci", som lærte den vestlige verden aritmetikkens metoder - læren om tal - som vi bruger i dag. Hvad angår anvendelsesmuligheder, ser vi Fibonacci-tal dukke op i naturen overraskende ofte. Antallet af blade på en blomst, er typisk et Fibonacci-tal eller antallet af spiraler på en solsikke, eller en ananas har det med også at være et Fibonacci-tal.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Der er faktisk mange andre anvendelsesmuligheder, for Fibonacci-tal, men det jeg finder mest inspirerende ved dem, er, de smukke talmønstre, der følger med. Lad mig vise dig en af mine favoritter. Vi antager, at du nyder at kvadrere tal, og ærlig talt, hvem gør ikke det? (Latter)
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
Lad os kigge på kvadraterne, af de første par Fibonacci-tal. Så, kvadratet af 1 giver 1 kvadratet af 2 giver 4, 3 er lig med 9 5 er lig med 25 og så videre. Det er ikke nogen overraskelse, at når du ligger to på hinanden efterfølgende Fibonacci-tal sammen, får du det næste Fibonacci-tal. Enig? Det er grundreglen, for opbygningen. Men du ville ikke tro, at der ville ske noget specielt, når du ligger kvadraterne sammen. Men, kig her engang. 1 plus 1 giver 2 og 1 plus 4 giver 5. 4 plus 9 giver 13, 9 plus 25 giver 34 og ja, mønstret fortsætter.
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Der er faktisk et mere her. Antag at du gerne vil ligge et par, af Fibonaccis første kvadrater sammen. Lad os se hvad vi ville få ud af det. 1 + 1 + 4 = 6. Tilføj 9 til det og vi får 15. Tilføj 25 yderligere og vi får 40. 64 oveni det og vi får 104. Kig engang på de tal. Det er ikke Fibonacci-tal, men hvis du ser godt efter, vil du se Fibonacci-tallene, begravet dybt i dem.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Ser du dem? Lad mig vise dem for dig. 6 er 2 gange 3, 15 er 3 gange 5, 40 er 5 gange 8, 1, 2, 3, 5, hvem er altid velkommen i vores hjem?
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
(Latter)
(Laughter)
Fibonacci! Selvfølgelig, da.
Fibonacci! Of course.
Hvor sjovt det end lyder, at støde på disse mønstre, så er det faktisk endnu mere tilfredsstillende, at forstå, hvorfor de går op. Lad os kigge på den sidste ligning. Hvorfor skulle kvadratet af 1, 1, 2, 3, 5 og 8, tilsammen, give 8 gange 13? Jeg vil illustrere det, med denne simple tegning. Vi starter med en kvadrat på 1*1. Ved siden af den, også en kvadrat på 1*1. Sammen udgør de en 1*2 rektangel. Under den, placerer jeg en 2*2 kvadrat, ved siden af den en 3*3 kvadrat, under den, en 5*5 kvadrat, efterfulgt af en 8*8 kvadrat, hvor vi derved, skaber én stor rektangel, ikke?
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Lad mig nu stille dig ét simpelt spørgsmål: Hvad er områdestørrelsen, af denne rektangel? Ja, på den ene side, er det summen af alle firkanterne, de kvadrater inden for området, okay? Nøjagtig, som vi lavede den. Det er kvadratet af 1, plus kvadratet af 1, plus kvadratet af 2, plus kvadratet af 3, plus kvadratet af 5, plus kvadratet af 8. Du er med? Det er områdestørrelsen. På den anden side, grundet den rektangulære form, er områdestørrelsen lig med, højden gange bunden. Højden er tydeligvis 8 og bunden er lig med 5 plus 8, som er det næste Fibonacci-tal, 13. I er med? Områdestørrelsen er altså 8 gange 13. Nu vi har udregnet størrelsen korrekt, på 2 forskellige måder, må tallene være ens. Det er derfor kvadratet af 1, 1, 2, 3, 5 og 8 giver det samme som 8 gange 13?
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Hvis vi fortsætter med denne metode, vil vi danne en rektangel på 13 gange 21, herefter 21 gange 34 og så videre.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Kig så her engang. Hvis du dividerer 13 med 8, får du 1,625. Hvis du fortsat dividerer det store tal med det lille, vil forholdet mellem disse, komme tættere og tættere på omkring 1,618. Kendt af mange som, Det Gyldne Snit, et tal, der har fascineret matematikere, forskere og kunstnere, gennem århundreder.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Grunden til, at jeg viser alt dette til jer, som så meget af matematikken, er der en smuk side af det hele, som jeg frygter, IKKE får nok opmærksomhed, i vores skoler. Vi bruger meget tid på at lære om beregning, men lad os ikke glemme anvendelsesmulighederne, inklusiv den måske, vigtigste af dem alle, at lære hvordan man tænker.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Hvis jeg må opsummere dette i en sætning, ville det være følgende: Matematik handler ikke blot om, at beregne x, det handler også om at finde ud af, hvorfor.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Mange tak.
Thank you very much.
(Klapsalver)
(Applause)