Per què aprenem matemàtiques? Essencialment, per tres raons: pel càlcul, per l'aplicació, i per últim, i, per desgràcia, menys important, des del punt de vista del temps que hi dediquem, per la inspiració.
So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Les matemàtiques són la ciència dels patrons, i l'estudiem per aprendre a pensar amb lògica, crítica i creativament, però gran part de les matemàtiques que aprenem a l'escola no ens motiven eficaçment, i quan els alumnes pregunten "Per què fem això?" solem explicar-los que ho necessitaran per les properes classes, o per algun examen. Però no seria genial si alguna vegada féssim matemàtiques tan sols perquè són divertides, o boniques, o perquè ens estimulen la ment? Ja sé que molta gent no ha tingut la oportunitat de veure com això és possible, així que us en donaré un exemple ràpid amb la meva col·lecció de nombres preferida: la Successió de Fibonacci. (Aplaudiment)
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
Bé! Ja hi ha fans de Fibonacci, aquí! Fantàstic!
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Podem apreciar aquests nombres de moltes maneres diferents. Des del punt de vista del càlcul, són tan fàcils d'entendre com un més un, que fan dos, un més dos fan tres, dos més tren fan cinc, tres més cinc fan vuit, etcètera. La persona a qui anomenem Fibonacci es deia Leonardo da Pisa, i aquests nombres apareixen al seu llibre "Liber Abaci", que va descobrir al món occidental els mètodes aritmètics que s'usen avui en dia. Pel que fa a les aplicacions, els nombres de Fibonacci es troben a la natura sorprenentment sovint. El nombre de pètals d'una flor sol ser un nombre de Fibonacci, i també el nombre d'espirals d'un girasol, o d'una pinya acostumen a ser nombres de Fibonacci.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
De fet, hi ha moltes més aplicacions dels nombres de Fibonacci, però el que em sembla més interessant d'aquests nombres són els preciosos patrons que descriuen. Us n'ensenyaré un dels meus preferits. Suposo que gaudiu elevant nombres al quadrat, de fet, a qui no li agrada? (Riure)
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
Què passa si elevem al quadrat els primers nombres de Fibonacci? U elevat al quadrat és u, dos elevat al quadrat és quatre, tres és nou cinc és vint-i-cinc, etcètera. No ens ve pas de nou que si sumem dos nombres consecutius de la successió el resultat és el nombre següent. Oi? Així és com es creen. Però no ens esperem que passi res especial quan sumem els nombres elevats al quadrat. Però pareu atenció: Un i un fan dos, i un més quatre fan cinc. Quatre més nou fan tretze, nou més 25 fan 34 i sí, el patró segueix.
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Aquí en teniu un altre: Diguem que volem sumar els primers nombres de Fibonacci elevats al quadrat. A veure què passa. Un i un i quatre fan sis. Si hi sumem nou, fan quinze. Més 25, 40. Més 64, 104. Ara mireu bé aquests nombres. No són pas nombres de Fibonacci, però si us hi fixeu bé, hi veureu els nombres de Fibonacci enterrats dins seu.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Ho veieu? Us ho ensenyo: Sis és dues vegades tres; 15 és tres cops cinc, 40 és cinc vegades vuit, dos, tres, cinc, vuit; recordeu el que us he dit?
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
(Riure)
(Laughter)
Fibonacci! És clar.
Fibonacci! Of course.
Per molt divertit que sigui descobrir aquests patrons, és encara més satisfactori entendre per què són veritat. Mirem l'última equació: Per què els quadrats d'un, un, dos, tres, cinc i vuit sumen vuit vegades tretze? Us ho ensenyaré amb un dibuix senzill: Començarem amb un quadrat d'un per un, i n'hi posarem un altre al costat. Junts, formen un rectangle d'un per dos. A sota, hi posem un quadrat de dos per dos, i, al costat, un de tres per tres, sota, un de cinc per cinc, i després un de vuit per vuit, i creem un rectacle enorme, veieu?
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Ara us preguntaré una cosa ben simple: quina és l'àrea d'aquest rectangle? Bé, d'una banda, és la suma de les àrees dels quadrats que hi ha dins, oi? Exactament com l'hem fet. És u al quadrat més u al quadrat més dos al quadrat més tres al quadrat més cinc al quadrat més vuit al quadrat. Oi? Aquesta és l'àrea. D'altra banda, com que és un rectangle, l'àrea és igual a l'alçada multiplicada per la base, i l'alçada és clarament vuit, i la base és cinc més vuit, que és el següent nombre de Fibonacci, 13, oi? Per tant, l'àrea també és vuit vegades tretze. Com que hem calculat l'àrea correctament de dues maneres diferents, el resultat ha de ser el mateix, i és per això que u, u, dos, tres, cinc i vuit al quadrat sumen vuit vegades tretze.
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Si continuem el procés, generarem rectangles de 13x21, 21x24, etcètera.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Ara escoleu bé això: Si dividim tretze entre vuit, fan 1,625. I si divideixes el nombre més gran pel nombre més petit, les proporcions s'acosten cada cop més a 1,618, un nombre conegut també com a Secció Àuria, un nombre que ha fascinat matemàtics, científics i artistes durant segles.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Tot això, us ho ensenyo perquè, com passa molt en matemàtiques, això té un cantó molt bonic però em temo que no s'hi dóna prou importància, a les escoles. Passem molt temps aprenent càlcul, però no ens oblidem de l'aplicació, incloent-hi, potser, l'aplicació més important de totes: aprendre a pensar.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Si ho pogués resumir en una sola frase, seria aquesta: Les matemàtiques no són només buscar la X, sinó també pensar per què.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Moltes gràcies.
Thank you very much.
(Aplaudiment)
(Applause)