Dakle, zašto učimo matematiku? U suštini, iz tri razloga: računanje, primjena, i posljednji, nažalost najmanje važan u smislu vremena koji mu posvetimo, je inspiracija.
So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Matematika je nauka o uzorcima i proučavamo je s ciljem da naučimo kako razmišljati logički, kritički i kreativno, ali matematika koju učimo u školi uglavnom neuspješno motiviše i kada naši učenici pitaju: "Zašto ovo učimo?" obično čuju da će im to zatrebati na narednom času matematike ili na budućem ispitu. Međutim, zar ne bi bilo divno kad bismo se s vremena na vrijeme bavili matematikom jednostavno zato što je zabavna i lijepa ili možda zato što je uspjela uzbuditi um? Znam da mnogi nisu uspjeli doživjeti to o čemu pričam, pa zato dopustite da vam dam jednostavan primjer koristeći moju omiljenu kolekciju brojeva, Fibonačijeve brojeve. (Aplauz)
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
Tako je! Vidim da ovdje imamo Fibonačijeve obožavatelje. To je divno.
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Značaj ovih brojeva se ogleda na više načina. Sa stanovišta računanja, jednostavno ih je razumjeti kao što je i to da je jedan i jedan jednako dva. Zatim, jedan i dva je tri, dva i tri je pet, tri i pet je osam, i tako dalje. Zaista, osoba koju zovemo Fibonači se ustvari zvala Leonardo od Pise, a ovi brojevi se spominju u njegovoj knjizi "Liber Abaci" ("Knjiga računanja"), koja je naučila zapadni svijet metodama aritmetike koje koristimo danas. U smislu primjene, Fibonačijevi brojevi se pojavljuju u prirodi iznenađujuće često. Broj latica na cvijetu je obično Fibonačijev broj, ili broj spirala na suncokretu ili ananasu također teži da bude Fibonačijev broj.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Ustvari, postoje mnoge druge primjene Fibonačijevih brojeva, ali ono sto smatram najinspirativnijim su divni šabloni brojeva koje predstavljaju. Sad ću vam pokazati jedan od mojih omiljenih. Pretpostavimo da volite kvadrirati brojeve, a realno, ko ne voli? (Smijeh)
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
Pogledajmo kvadrate prvih nekoliko Fibonačijevih brojeva. Dakle, kvadrat broja jedan je jedan, kvadrat broja dva je četiri, tri na kvadrat je devet, pet na kvadrat je 25, itd. Nije nikakvo iznenađenje da sabiranjem dva uzastopna Fibonačijeva broja, dobijemo sljedeći Fibonačijev broj, je li tako? Tako se oni i kreiraju. Međutim, ne biste očekivali nista posebno da se dogodi u slučaju sabiranja njihovih kvadrata. Ali, pogledajte ovo. Jedan i jedan je dva, a jedan i četiri je pet. Četiri i devet je 13, devet i 25 je 34, i da, šablon se nastavlja.
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Ustvari, evo jos jednog. Pretpostavimo da ste htjeli pokušati sabrati kvadrate prvih nekoliko Fibonačijevih brojeva. Pogledajmo šta smo dobili ovdje. Dakle, jedan plus jedan plus četiri je šest. Ako dodamo devet na to, dobit ćemo 15. Dodavanjem 25, dobijamo 40. Dodavanjem 64, dobijamo 104. Sada pogledajte ove brojeve. Ovo nisu Fibonačijevi brojevi, ali ako ih bolje pogledate, vidjet ćete Fibonačijeve brojeve unutar ovih brojeva.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Vidite li? Pokazat ću vam. Šest je dva pomnoženo sa tri, 15 je tri pomnoženo sa pet, 40 je pet pomnoženo sa osam, dva, tri, pet, osam, pogodi ko sam?
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
(Smijeh)
(Laughter)
Fibonači, naravno!
Fibonacci! Of course.
Koliko god da je zabavno otkriti ove šablone, još je bolje shvatiti zašto oni postoje. Pogledajmo posljednju jednačinu. Zašto bi zbir kvadrata od jedan, jedan, dva, tri, pet i osam bio jednak rezultatu proizvoda brojeva osam i 13? Pokazat ću vam pomoću jednostavne slike. Počet ćemo sa kvadratom "jedan sa jedan" i pored njega ćemo staviti isti takav kvadrat. Zajedno, oni formiraju "jedan sa dva" pravougaonik. Ispod njega, stavit ću "dva sa dva", pored njega "tri sa tri" kvadrat, ispod kvadrat "pet sa pet" , a zatim "osam sa osam", kreirajući jedan veliki pravougaonik, zar ne?
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Sada dopustite da vam postavim jednostavno pitanje: šta predstavlja površinu ovog pravougaonika? Pa, s jedne strane, to je zbir površina sadržanih kvadrata, je li tako? Baš kao što smo ih i kreirali. To je jedan na kvadrat plus jedan na kvadrat, sabrano sa kvadratom od dva i tri te kvadratom od pet i osam. Jesam li u pravu? To je tražena površina. S druge strane, s obzirom na to da se radi o pravougaoniku, površina je jednaka proizvodu dužine i širine, širina je očito jednaka osam, dok je dužina jednaka zbiru pet i osam, koji predstavlja sljedeći Fibonačijev broj, 13. Je li tako? Dakle, površina je jednaka i proizvodu 8 i 13. Pošto smo tačno izračunali površinu na dva različita načina, ona mora biti jednaka, i zato je zbir kvadrata od jedan, jedan, dva, tri, pet i osam jednak proizvodu 8 i 13.
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
Ukoliko nastavimo sa ovim postupkom, kreira ćemo pravougaonike dimenzija 13 sa 21, 21 sa 34, itd.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Pogledajte sada ovo. Ako podijelimo 13 sa osam, dobijemo 1,625. Međutim, što veći broj dijelimo sa manjim brojem ovaj se odnos sve više približava do otprilike 1,618, poznatog mnogima kao "zlatni rez", broja koji fascinira matematičare, naučnike i umjetnike već stoljećima.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Pokazao sam vam sve ovo, jer pored sve te matematike postoji i lijepa strana kojoj se ne pridaje mnogo pažnje u našim školama. Provodimo mnogo vremena baveći se računanjima, ali ne treba zaboraviti njihovu primjenu, uključujući najvažniju od svih, a to je da nas uče kako da razmišljamo.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Ako bih trebao sumirati sve navedeno u jednoj rečenici, to bi bila ova: Matematika nije samo rješavanje nepoznate x, nego i shvatanje njene svrhe.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Hvala vam.
Thank you very much.
(Aplauz)
(Applause)