И така, защо изучаваме математика? Основно поради три причини: изчисление, приложение, и накрая, и за нещастие най-малко, в смисъл, че не отделяме време, е за вдъхновение.
So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
Математиката е наука за модели, изследваме как да се научим да мислим логично, критично и изобретателно, но твърде много от математиката, която изучаваме в училище не е достатъчно мотивираща, и когато учениците попитат: "Защо учим това?" те често чуват, че ще имат нужда от нея в предстоящите часове или за бъдещи тестове. Но няма ли да бъде чудесно, ако понякога изучаваме математика само защото е забавно или красиво, или защото може да развълнува умовете? Разбирам, че не много хора имат възможността да видят как се случва това, така че нека ви дам бърз пример с моята любима колекция от числа, числата на Фибоначи.
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
Да! Тук вече има фенове на числата на Фибоначи. Това е чудесно.
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
Тези числа могат да бъдат оценени по много различни начини. От гледна точка на изчисленията, те са толкова лесни за разбиране, като едно и едно е равно на две. И после едно плюс две е три, две плюс три е пет, три плюс пет е осем, и така нататък. В действителност, човекът когото наричаме Фибоначи всъщност се казвал Леонардо от Пиза, и тези числа се виждат в неговата книга "Либер Абачи", която учи западният свят на аритметичните методи, които използваме днес. В приложната част, числата на Фибоначи се намират в природата изненадващо често. Броят на венчелистчетата на цветята обикновено е число на Фибоначи, или броят на спиралите на слънчогледа, или ананаса, също са числа на Фибоначи.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
Всъщност има много повече приложения на числата на Фибоначи, но това, което според мен е най-вдъхновяващо у тях са красивите числови модели, които те изобразяват. Нека ви покажа един от моите любими. Да кажем, че харесвате квадратни числа, и честно, кой не ги харесва?
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
Вижте тези квадрати на няколко от първите числа на Фибоначи. И така, едно на квадрат е едно, две на квадрат е четири пет на квадрат е 25, и така нататък. Не е изненада, че когато прибавите последователни числа на Фибоначи се получава следващо число на Фибоначи. Нали? Така се образуват. Но не бихте очаквали нищо особено да се случи, когато съберете заедно квадратите. Но вижте това. Едно плюс едно ни дава две, и едно плюс четири ни дава пет. И четири плюс девет ни дава тринадесет, 9 плюс 25 е 34, и да, този модел продължава.
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
Всъщност, ето още един модел. Да предположим, че искате да видите сумата на квадратите на първите няколко числа на Фибоначи. Да видим какво се получава. Едно плюс едно плюс четири е шест. Прибавете девет и получавате петнадесет. Прибавете 25 и получавате 40. Прибавете 64, получаваме 104. Погледнете тези числа. Това не са числа на Фибоначи, но ако ги разгледате внимателно, ще видите числата на Фибоначи измежду тях.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
Виждате ли? Ще ви покажа. Шест е два по три, 15 е три по пет, 40 е пет по осем, две, три, пет, осем, кого оценяваме?
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
(Смях)
(Laughter)
Фибоначи! Разбира се.
Fibonacci! Of course.
Колкото е забавно да откриваме тези модели, още по-задоволително е да опитаме да разберем защо те са вярни. Нека да погледнем това последно уравнение. Защо трябва сборът на квадратите на едно, едно, две, пет и осем да се равнява на 8 по 13? Ще ви покажа като нарисувам проста картинка. Ще започнем с 1x1 квадрат и до него ще сложим друг 1x1 квадрат. Заедно те образуват 1x2 правоъгълник. Под това ще сложа 2x2 квадрат, и до тях 3x3 квадрат, под това, 5x5 квадрат, и след това 8x8 квадрат, създавайки един огромен правоъгълник, нали така?
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
Нека ви задам един прост въпрос: Каква е площта на правоъгълника? От една страна е сумата от площите на всички квадрати вътре, нали? Точно както ги създадохме. И това е едно на квадрат плюс едно на квадрат, плюс две на квадрат, плюс три на квадрат, плюс пет на квадрат, плюс осем на квадрат. Нали така? Това е площта. От друга страна, защото е правоъгълник, площта е равна на височината по ширината, и е ясно, че височината е осем, и ширината е пет плюс осем, което е следващото число на Фибоначи, 13. Нали? Така че площта е също осем по тринадесет. И като изчислихме правилно площта по два различни начина, те трябва да са едно и също число, и затова квадратите на едно, две, три, пет и осем се сумират до 8 по 13.
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
И ако продължим този процес, ще създадем правоъгълници с височина и ширина 13 на 21, 21 на 34, и така нататък.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
Вижте това. Ако разделите 13 на 8 ще получите 1,625. И ако разделите по-голямото число на по-малкото, тогава тези пропорции стават все по-близки до около 1,618, което много хора познават като златно сечение, число, което очарова много математици, учени и творци от векове.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
Показвам ви това, защото като голяма част от математиката има красива част в нея, която, страхувам се, не получава нужното внимание в нашите училища. Ние прекарваме много време в изучаване на изчисленията, но нека не забравяме приложението ѝ, включително може би, най-важното ѝ приложение, да се учим как да мислим.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
Ако мога да обобщя, то би било така: Математиката не е просто намирането на "х", но и откриването защо.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
Много благодаря.
Thank you very much.
(Ръкопляскане)
(Applause)