لماذا نتعلم الرياضيات؟ لثلاثة أسباب رئيسية: الحساب، التطبيق، وأخيرا، وللأسف، السبب الأقل أهمية وفقا لما نعطيه له من وقت، هو الإلهام.
So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
الرياضيات هى علم الأنماط، و نقوم بدراستها لنتعلم أن نفكر بطريقة منطقية، بتحليل و ابداع، ولكن الكثير من الرياضيات التي نتعلمها في المدرسة ليست محفزة على ذلك بشكل كاف، وعندما يطرح طلبتنا سؤالهم، "لماذا ندرس هذه الأشياء؟" غالبا ما يسمعون ردا بأنهم سيحتاجونها في حصة رياضيات قادمة أو في اختبار ما في المستقبل ولكن، ألن يكون عظيما أن نقوم بحل بعض المسائل الرياضية كل فترة لأنها وببساطة ممتعة وجميلة، أو لأنها تنشط العقل؟ الآن، أنا أعلم أن الكثيرين لم تكن لديهم الفرصة ليروا كيف من الممكن أن تصبح الرياضيات هكذا، لذلك، دعني أوضح لك ذلك بمثال بمجموعتي المفضلة من الأرقام، أرقام فيبوناتشي. (تصفيق)
Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)
مرحى! لدي هنا معجبين بـ فيبوناتشي بالفعل. هذا عظيم.
Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.
الآن هذه الأرقام من الممكن النظر إليها بطرق مختلفة وعديدة. من وجهة نظر الحساب، فأرقام فيبوناتشي سهلة الفهم كـ واحد زائد واحد يساوي اثنان. ثم واحد زائد اثنان يساوي ثلاثة، و ثلاثة زائد خمسة يساوي ثمانية، و هكذا. بالتأكيد، الشخص الذي نسميه فيبوناتشي كان في الواقع يسمى ليوناردو اوف بيزا، وتلك الأرقام ظهرت في كتابه "ليبر أباتشي،" والتي علمت العالم الغربي الطرق الحسابية التي نستخدمها اليوم. بالنسبة للتطبيق، أرقام فيبوناتشي تظهر في الطبيعة بشكل متكرر مثير الدهشة. عدد البتلات لزهرة ينطبق بشكل نموذجي على أرقام فيبوناتشي، عدد لولبيات لزهرة الشمس أو الأناناس تميل للتوافق مع أرقام فيبوناتشي ايضا.
Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.
في الواقع، هناك العديد من التطبيقات لأرقام فيبوناتشي، ولكن الأكثر إلهاما الذي وجدته هو الأنماط الجميلة للأرقام التي تتجلى بها. دعني أريك واحدا من أكثر ما أفضله. فلنفترض أنك تحب أن تربع الأرقام، وبصراحة، من الذي لا يحب هذا؟ (ضحك)
In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)
دعنا نلقى نظرة على تربيعات الأرقام الأولى لـ فيبوناتشي. فتربيع واحد هو واحد، مربع اثنان: أربعة، ومربع ثلاثة: تسعة، ومربع خمسة: 25، وهكذا. الآن، لا توجد مفاجئة أنه عند جمع رقمين متتابعين لأرقام فيبوناتشي، تحصل على الرقم التالي لـ فيبوناتشي، أليس كذلك؟ فهكذا وُجدت. ولكنك لن تتوقع أي شيء مميز أن يحدث بجمع تربيعات الأرقام معا. ولكن، فلتجرب هذا. واحد زائد واحد يساوي اثنان، وواحد زائد أربعة يعطينا خمسة. و أربعة زائد تسعة يساوي 13، و تسعة زائد 25 يساوي 34، و نعم، النمط يستمر في التتابع.
Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
في الواقع، هاك نمط آخر. افرض أنك أردت النظر إلى جمع مربعات أرقام فيبوناتشي القليلة الأولى. دعنا نرى ماذا سيقودنا هذا. إذن، واحد زائد واحد زائد أربعة يساوي ستة. بإضافة تسعة، يصبح لدينا 15. أضف 25، نحصل على 40. أضف 64، يصبح لدينا 104، الآن، انظر لهذه الأرقام. هذه ليست أرقام فيبوناتشي، ولكن إذا أمعنت النظر، ستجد أن أرقام فيبوناتشي قابعة هناك.
In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
هل تراهم؟ سأوضحهم لك. ستة هي حاصل ضرب 2x3، و15 حاصل ضرب 3x5، 40 اصل ضرب 5x8، اثنان، ثلاثة، خمسة، ثمانية، لمن يعود الفضل؟
Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?
(ضحك)
(Laughter)
فيبوناتشي! بالطبع.
Fibonacci! Of course.
الآن، والذي بنفس القدر من المتعة هو أن نكتشف تلك الأنماط، إنه غاية في الرضا أن نفهم لماذا هى صحيحة. دعنا نجد اجابة على هذا السؤال الأخير. لماذا يجب أن أن تكون تربيعات الأرقام واحد، وواحد، و اثنان، وخمسة، وثمانية تساوي حاصل ضرب 8x13؟ سأوضح لك برسم صورة بسيطة. سنبدأ بمربع يمثل 1x1 والمربع التالي سيكون ايضا لـ 1x1. معا، يمثلان مستطيلا 1x2. تحته، سأضع مربعا 2x2، وبجانبه، مربعا 3x3، أسفل منه، مربعا 5x5، ثم مربعا 8x8 مكوناً بذلك مستطيلا عملاقا، صحيح؟
Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
الآن دعني أسألك سؤالا بسيطا: ما مساحة المستطيل؟ حسنا، من جانب، انها مجموع مساحات المربعات بداخله، أليس كذلك؟ تماما كما صنعناه، انه مجموع مربع واحد في واحد زائد مجموع مربع اثنان وثلاثة زائد مربع خمسة زائد مربع ثمانية، صحيح؟ فتكون هذه هي المساحة. على الجانب الآخر، ولأنه مستطيل، فمساحته هى حاصل ضرب القاعدة في الإرتفاع، والارتفاع من الواضح أنه ثمانية، والقاعدة تكون خمسة زائد ثمانية، والذي مجموعهما هو رقم فيبوناتشي التالي، 13، أليس كذلك؟ فالمساحة ايضا هى حاصل ضرب ثمانية في 13، وبما اننا حسبنا المساحة بشكل صحيح بطريقتين مختلفتين، فلابد أن يعطيا نفس الرقم، ولهذا السبب مربعات واحد، وواحد، واثنين، وثلاثة، وخمسة، ثمانية تساوي حاصل ضرب ثمانية في 13.
Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
الآن اذا تابعنا هذه العملية، سيتولد مستطيلات من حاصل ضرب 13 في 21، و21 في 34 وهكذا.
Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and so on.
الآن فلتجرب هذه. لو قسمت 13 على ثمانية، ستحصل على 1,625. ولو قسمت أكبر رقم بأصغرهم، ستتقارب تلك النسب أكثر فأكثر لحوالي 1.618، والتي معروفة لدى العديد بالنسبة الذهبية، الرقم الذي سلب لب الرياضيون، والعلماء والفنانون ولعقود.
Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.
الآن، أنا أريك كل هذا لأن، مثل أمورا كثيرة جدا في الرياضيات، هناك جانب جميل لها والذي أخشى أنه لا يحظى بالإنتباه الكافي في مدارسنا. نحن نقضي أوقاتا كبيرة نتعلم كيفية اجراء العمليات الحسابية، ولكن دعنا لا ننسى أمر التطبيق، والذي يتضمن أكثر التطبيقات أهمية، وهو أن نتعلم كيف نفكر.
Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.
ولو يمكنني تلخيص ذلك في عبارة واحدة، ستكون: الرياضيات ليست فقط إيجاد حلا لمشكلة س ، إنها ايضا معرفة السبب وراء الحل.
If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.
أشكركم شكرا جزيلا.
Thank you very much.
(تصفيق)
(Applause)