On their 20th birthday, identical twin astronauts volunteer for an experiment. Terra will remain on Earth, while Stella will board a spaceship. Stella’s ship will travel at 86.6% the speed of light to visit a star that is 10 light-years away, then return to Earth at the same speed.
No seu vigésimo aniversário, duas gémeas astronautas voluntariam-se para uma experiência. A Terra permanecerá no planeta Terra, enquanto a Stella viajará numa nave espacial. A nave da Stella viajará a 86,6% da velocidade da luz para visitar uma estrela a 10 anos-luz de distância,
As they prepare to part ways, the twins wonder what will happen when they’re reunited. Since a light year is exactly the distance light can travel in a year, Stella’s journey should take 23 years. But from having studied special relativity, the twins know it’s not that simple. First of all, the faster an object moves through space, the slower it moves through time compared to an unmoving observer. This relationship can be quantified with something called the Lorentz factor, which is defined by this equation. And secondly, the length of a moving object as measured by an observer at rest will contract by the same factor.
voltando para a Terra à mesma velocidade. Enquanto se preparam para se separar, as gémeas imaginam o que acontecerá quando se reunirem. Dado que um ano-luz é exatamente a distância que a luz viaja num ano, a viagem da Stella deverá demorar 23 anos. Porém, como tinham estudado a relatividade restrita, as gémeas sabem que não é assim tão simples. Em primeiro lugar, quanto mais rápido um objeto se move no espaço, mais lentamente se move no tempo, quando comparado com um observador imóvel. Esta relação pode ser quantificada através de uma coisa chamada o fator de Lorentz, que é definido por esta equação. Segundo, o comprimento de um objeto em movimento, medido por um observador em repouso, contrair-se-á pelo mesmo fator.
At 86.6% of the speed of light the Lorentz factor is 2, meaning time will pass twice as slowly aboard the spaceship. Of course, Stella won’t notice time slowing down. That’s because all time-based processes in the ship will slow down as well– clocks and electrical devices; Stella’s biological activities including her rate of aging and her perception of time itself. The only people who could notice time on the moving spaceship passing slower for Stella would be observers in an inertial, or non-accelerating, reference frame– like Terra back on Earth. Thus, Terra concludes that when they meet back on Earth, she’ll be older than Stella.
A 86,6% da velocidade da luz, o fator de Lorentz é 2, ou seja, o tempo passa duas vezes mais lentamente a bordo da nave espacial. Obviamente, a Stella não se irá aperceber da desaceleração do tempo. Isto porque todos os processos da nave, com base no tempo, irão desacelerar também: os relógios e dispositivos elétricos; as atividades biológicas da Stella, incluindo o seu ritmo de envelhecimento, e a sua perceção do próprio tempo. As únicas pessoas capazes de notar que na nave espacial, em movimento, o tempo passa mais lentamente para Stella seriam observadores numa posição de inércia, sem aceleração, como a gémea Terra, no planeta Terra. Assim, a gémea Terra conclui que, quando se encontrarem na Terra, ela será mais velha do que a Stella.
But that’s just one way of looking at things. Because all movement is relative, Stella argues it would be just as valid to say her spaceship will stand still while the rest of the universe, including Terra, moves around her. And in that case, time will pass twice as slowly for Terra, making Stella the older twin in the end. They can’t each be older than the other, so which one of them is right?
Contudo, esta é apenas uma perspetiva. Uma vez que o movimento é relativo, a Stella contra-argumenta que é igualmente válido dizer que a sua nave se mantém imóvel enquanto o Universo, incluindo a Terra, se move à volta dela. E, nesse caso, o tempo passará duas vezes mais lentamente para a Terra, acabando por fazer da Stella a gémea mais velha. Mas não podem ser ambas mais velhas uma que a outra, então qual delas terá razão?
This apparent contradiction is known as the “Twin Paradox.” But it’s not really a paradox– just an example of how special relativity can be easily misunderstood.
Esta contradição aparente é conhecida como "O Paradoxo dos Gémeos". Mas não é realmente um paradoxo, é apenas um exemplo de como a relatividade restrita pode ser mal compreendida.
To test their theories in real-time, each of the twins agrees to send a burst of light to the other every time a year has passed for them. Unlike other objects, the speed of light is always constant regardless of an observer’s reference frame. A light burst sent from Earth will be measured at the same speed as a light burst sent from the spaceship, regardless of whether it’s on its outbound or return trip. So when one twin observes a burst of light, they’re measuring how long it took the other twin to experience a year passing, plus how long it took for light to travel between them.
A fim de testar as suas teorias, em tempo real, as gémeas combinam mandar um feixe de luz uma à outra sempre que, para elas, passar um ano. Ao contrário dos outros objetos, a velocidade da luz é sempre constante, independentemente da posição do observador. Um feixe de luz enviado da Terra será medido com a mesma velocidade que um feixe de luz enviado da nave espacial, qualquer que seja o caminho que a luz esteja a fazer. Assim, quando uma das gémeas observar um feixe de luz, medir-se-á quanto tempo demorou a passar um ano para a outra gémea, mais quanto tempo demorou a luz a viajar entre elas.
We can track what’s happening on a graph. The X axis marks distance from Earth, and the Y axis tracks the passage of time. From Terra’s perspective, her path will simply be a vertical line, with distance equal to zero and each tick on the line equivalent to a year as she perceives it. Stella’s path will stretch from the same origin to a point 11.5 years in time and 10 light-years in distance from Terra… before converging again at zero distance and 23 years’ time.
Podemos ver o que se passa através de um gráfico. O eixo X marca a distância da Terra e o Y marca a passagem do tempo. Na perspetiva da gémea Terra, a trajetória é apenas uma linha vertical, com uma distância igual a zero e cada marca na linha é equivalente à passagem de um ano, segundo ela. A trajetória da Stella partirá da mesma origem até a um ponto à distância de 11,5 anos, e a 10 anos-luz de distância da Terra, antes de convergir de novo para a distância zero e ao fim de 23 anos, no tempo.
At her first one-year mark, Terra will send a pulse of light from Earth towards Stella’s spaceship. Since light takes a year to travel one light-year, its path will be a 45-degree diagonal line. And because Stella is traveling away from it, by the time the light catches up to her, over 7 total years will have passed for Terra, and over 4 for Stella. By the time Stella observes Terra’s second burst, she will already be on her return journey. But now, since she’s moving towards the source of the light, it will take less time to reach her, and she’ll observe the bursts more frequently. This means that Stella observes Terra aging slowly for the first half of her journey, but aging rapidly during the return half.
Na marca do primeiro ano, a gémea Terra enviará um raio de luz da Terra para a nave da Stella. Como a luz leva um ano para viajar um ano-luz, o seu caminho será uma reta diagonal de 45 graus. E como a Stella se está a afastar, na altura em que a luz lhe chega, terão passado 7 anos para a Terra e 4 anos para a Stella. No momento em que a Stella observa o segundo raio emitido pela Terra, ela já estará já a fazer o caminho de volta. Mas agora, como a Stella está a mover-se em direção à fonte de luz, a luz demorará menos tempo a chegar até ela, e ela verá os feixes de luz com maior frequência. Assim, a Stella observa a Terra a envelhecer lentamente na primeira metade da sua viagem e a envelhecer rapidamente na metade do regresso.
Meanwhile for Stella, it seems as though Terra, the destination star, and the whole universe are moving around her. And because of length contraction, Stella observes the distance between them shrinking by a factor of 2. This means each leg of the trip will only take about six years from Stella’s perspective. When she sends the first signal to Earth, two years will have passed for Terra. Stella will send four more light bursts during her outbound journey, each one from farther away. By the time Terra observes the first pulse from Stella's inbound journey, over 21 years will have passed for her. For the rest of Stella's return home, Terra receives multiple light bursts each year. Thus, Terra observes Stella aging slowly for about 90% of their 23 years apart, and aging rapidly during the last 10%.
Entretanto, a Stella tem a impressão de que a Terra, a estrela de destino, e o universo inteiro estão-se a mover ao seu redor. E devido à contração do comprimento, a Stella observa a distância entre elas a reduzir-se por um fator de 2. Isto significa que cada metade da viagem demorará apenas 6 anos na perspetiva da Stella. Quando ela envia o primeiro sinal de luz já terão passado dois anos para a irmã. A Stella emitirá mais quatro feixes de luz na sua viagem de ida, cada um mais longínquo. Quado a irmã Terra observar o primeiro feixe da viagem de regresso da Stella, terão passado mais de 21 anos. Durante o resto da viagem de regresso da Stella, a irmã Terra irá receber múltiplos feixes de luz, por ano. Assim, a Terra observará a Stella a envelhecer lentamente durante 90% dos 23 anos, e a envelhecer rapidamente nos últimos 10%.
This asymmetry accounts for why the paradox isn’t really a paradox. Although each twin witnesses time both speeding up and slowing down for the other, Stella sees an even split, while Terra sees Stella aging slowly for most of the time they’re apart. This is consistent with each twin’s measurement of the space voyage, which takes 23 Earth years, but only 11.5 as experienced aboard the ship. When the twins are reunited, Terra will be 43 years old, while Stella will be 31.
Esta assimetria é a razão pela qual este paradoxo não é realmente um paradoxo. Embora cada gémea veja o tempo a passar, a acelerar e a abrandar, em relação uma à outra, a Stella vê uma separação equilibrada enquanto a Terra vê a Stella a envelhecer lentamente a maior parte do tempo. Isto é consistente com as medições feitas por cada gémea durante a viagem espacial, que leva 23 anos na Terra, mas apenas 11,5 anos na nave espacial. Quando as gémeas se reencontrarem, a Terra terá 43 anos, enquanto a Stella terá 31.
Where Stella went wrong was her assumption that she and Terra had equal claim to being inertial observers. To be an inertial observer, one has to maintain a constant speed and direction relative to the rest of the universe. Terra was at rest the entire time, so her velocity was a constant zero. But when Stella changed her direction for the return journey, she entered a different reference frame from the one she’d started in.
O erro da Stella era a sua suposição de que ambas eram observadoras inertes. Para ser um observador inerte, é preciso manter uma velocidade e direção constantes em relação ao resto do universo. A gémea Terra esteve sempre em repouso, a sua velocidade foi um zero constante. Mas quando a Stella alterou a direção na sua viagem de regresso, mudou a posição de referência com que iniciara.
Terra and Stella now both have a better understanding of how spacetime works. And as twins who are eleven years apart in age, they’re a perfect example of special relativity.
A Terra e a Stella têm agora uma melhor perceção de como o espaço-tempo funciona. E, sendo gémeas com 11 anos de diferença, são o perfeito exemplo da relatividade restrita.