On their 20th birthday, identical twin astronauts volunteer for an experiment. Terra will remain on Earth, while Stella will board a spaceship. Stella’s ship will travel at 86.6% the speed of light to visit a star that is 10 light-years away, then return to Earth at the same speed.
ביום הולדתן ה 20, התאומות הזהות האסטרונאוטיות התנדבו לניסוי. טרה תשאר על כדור הארץ, בעוד סטלה תעלה על חללית. החללית של סטלה תנוע במהירות של 86.6% ממהירות האור כדי לבקר כוכב שנמצא במרחק 10 שנות אור, ואז תחזור לכדור הארץ באותה מהירות.
As they prepare to part ways, the twins wonder what will happen when they’re reunited. Since a light year is exactly the distance light can travel in a year, Stella’s journey should take 23 years. But from having studied special relativity, the twins know it’s not that simple. First of all, the faster an object moves through space, the slower it moves through time compared to an unmoving observer. This relationship can be quantified with something called the Lorentz factor, which is defined by this equation. And secondly, the length of a moving object as measured by an observer at rest will contract by the same factor.
כשהן מתכוננות להפרד, התאומות תוהות מה יקרה כשהן יתאחדו. מאחר ושנת אור היא המרחק המדויק שאור עובר בשנה, המסע של סטלה יקח 23 שנים. אבל מלמידת תורת היחסות הפרטית, התאומות יודעות שזה לא כזה פשוט. ראשית, ככל שעצם נע מהר יותר בחלל, הוא נע לאט יותר בזמן יחסית לצופה נייח. היחס הזה יכול להיות מכומת עם משהו שנקרא מקדם לורנץ, שמוגדר על ידי המשוואה הזו. ושנית, האורך של עצם נע כמו שהוא נמדד על ידי צופה במנוחה יתכווץ באותו מקדם.
At 86.6% of the speed of light the Lorentz factor is 2, meaning time will pass twice as slowly aboard the spaceship. Of course, Stella won’t notice time slowing down. That’s because all time-based processes in the ship will slow down as well– clocks and electrical devices; Stella’s biological activities including her rate of aging and her perception of time itself. The only people who could notice time on the moving spaceship passing slower for Stella would be observers in an inertial, or non-accelerating, reference frame– like Terra back on Earth. Thus, Terra concludes that when they meet back on Earth, she’ll be older than Stella.
ב 86.6% ממהירות האור מקדם לורנץ הוא 2, מה שאומר שהזמן יעבור פי שתיים יותר לאט על החללית. כמובן, סטלה לא תשים לב שהזמן מאט. זה בגלל שכלל התהליכים מבוססי הזמן בחללית יאטו גם הם -- שעונים ומכשירים חשמליים; הפעילויות הביולוגיות של סטלה כולל קצב הההזדקנות ותפיסת הזמן שלה עצמה. האנשים היחידים שיכולים לשים לב לזמן על חללית נעה שעובר לאט יותר עבור סטלה יהיו צופים במערכת יחוס אינרציאלית או לא מאיצה -- כמו טרה חזרה על כדור הארץ. לכן, טרה מגיעה למסקנה שכשהן יפגשו חזרה על כדור הארץ, היא תהיה מבוגרת מסטלה.
But that’s just one way of looking at things. Because all movement is relative, Stella argues it would be just as valid to say her spaceship will stand still while the rest of the universe, including Terra, moves around her. And in that case, time will pass twice as slowly for Terra, making Stella the older twin in the end. They can’t each be older than the other, so which one of them is right?
אבל זו רק דרך אחת להביט בדברים. בגלל שכל תנועה היא יחסית, סטלה טוענת שזה יהיה נכון באותה מידה לטעון שהחללית שלה עומדת בעוד שאר היקום, כולל טרה, נע סביבה. ובמקרה הזה, הזמן יעבור פי שתיים יותר לאט עבור טרה, מה שיעשה את סטלה מבוגרת יותר בסוף. הן לא יכולות להיות שתיהן מבוגרות יותר, אז מי מהן צודקת?
This apparent contradiction is known as the “Twin Paradox.” But it’s not really a paradox– just an example of how special relativity can be easily misunderstood.
הניגוד הזה ידוע כ"פרדוקס התאומים." אבל זה לא באמת פרדוקס -- רק דוגמה לאיך תורת היחסות הפרטית יכולה בקלות להיות לא מובנת.
To test their theories in real-time, each of the twins agrees to send a burst of light to the other every time a year has passed for them. Unlike other objects, the speed of light is always constant regardless of an observer’s reference frame. A light burst sent from Earth will be measured at the same speed as a light burst sent from the spaceship, regardless of whether it’s on its outbound or return trip. So when one twin observes a burst of light, they’re measuring how long it took the other twin to experience a year passing, plus how long it took for light to travel between them.
כדי לבחון את התאוריות שלהן בזמן אמת, כל אחת מהתאומות מסכימה לשלוח פרץ של אור לשניה על כל שנה שעברה להן. בניגוד לעצמים אחרים, מהירות האור תמיד קבועה ללא קשר לתבנית היחוס של המתבונן. פרץ קצר שנשלח מכדור הארץ ימדד באותה מהירות כמו פרץ אור שנשלח מהחללית, ללא קשר אם הוא משוגר לשם או חזרה. אז כשתאומה אחת צופה בפרץ האור. הן מודדות כמה זמן לקח לתאומה השניה לחוות שנה, ועוד כמה זמן לקח לאור לנוע ביניהן.
We can track what’s happening on a graph. The X axis marks distance from Earth, and the Y axis tracks the passage of time. From Terra’s perspective, her path will simply be a vertical line, with distance equal to zero and each tick on the line equivalent to a year as she perceives it. Stella’s path will stretch from the same origin to a point 11.5 years in time and 10 light-years in distance from Terra… before converging again at zero distance and 23 years’ time.
אנחנו יכולים לעקוב אחרי מה שקורה על גרף. ציר ה X מסמן את המרחק מכדור הארץ, וציר ה Y עוקב אחרי הזמן העובר. מנקודת המבט של טרה, המסלול שלה יהיה פשוט קו אנכי, עם מרחק שווה לאפס וכל סימן על הקו יהיה שווה לשנה כמו שהיא קולטת אותה. המסלול של סטלה ימתח מאותו מקור לנקודה במרחק 11.5 שנים בזמן ובמרחק של 10 שנות אור מטרה... לפני שיתמזגו שוב במרחק אפס וזמן של 23 שנים.
At her first one-year mark, Terra will send a pulse of light from Earth towards Stella’s spaceship. Since light takes a year to travel one light-year, its path will be a 45-degree diagonal line. And because Stella is traveling away from it, by the time the light catches up to her, over 7 total years will have passed for Terra, and over 4 for Stella. By the time Stella observes Terra’s second burst, she will already be on her return journey. But now, since she’s moving towards the source of the light, it will take less time to reach her, and she’ll observe the bursts more frequently. This means that Stella observes Terra aging slowly for the first half of her journey, but aging rapidly during the return half.
בסמן השנה הראשון שלה, טרה תשלח פולס של אור מכדור הארץ לכיוון החללית של סטלה. מאחר ולאור לוקח שנה לנוע שנת אור אחת, המסלול שלו יהיה קו אלכסוני בזוית 45 מעלות. ובלל שסטלה מתרחקת ממנו, כשהאור יגיע אליה, יותר מ 7 שנים סך הכל יעברו לטרה, ויותר מ 4 לסטלה. עד שסטלה תבחין בפרץ השני של טרה, היא כבר תהיה בדרך חזרה. אבל עכשיו, מאחר והיא נעה כלפי מקור האור, יקח לו פחות זמן להגיע אליה, והיא תבחין בפרצים יותר בתכיפות. זה אומר שסטלה תבחין בטרה מזדקנת לאט יותר בחצי הראשון של המסע שלה, אבל מזדקנת במהירות גדולה יותר בחצי השני.
Meanwhile for Stella, it seems as though Terra, the destination star, and the whole universe are moving around her. And because of length contraction, Stella observes the distance between them shrinking by a factor of 2. This means each leg of the trip will only take about six years from Stella’s perspective. When she sends the first signal to Earth, two years will have passed for Terra. Stella will send four more light bursts during her outbound journey, each one from farther away. By the time Terra observes the first pulse from Stella's inbound journey, over 21 years will have passed for her. For the rest of Stella's return home, Terra receives multiple light bursts each year. Thus, Terra observes Stella aging slowly for about 90% of their 23 years apart, and aging rapidly during the last 10%.
בינתיים עבור סטלה, נראה כאילו טרה, כוכב המטרה, וכל היקום נעים סביבה. ובגלל התכווצות האורך, סטלה מבחינה במרחק בינהן מתכווץ במקדם של 2. זה אומר שכל חלק מסע שלה יקח רק בערך שש שנים מנקודת המבט של סטלה. כשהיא תשלח את האות הראשון לכדור הארץ, שנתיים יעברו עבור טרה. סטלה תשלח עוד ארבעה פרצי אור במהלך המסע היוצא שלה, כל אחד ממרחק גדול יותר. עד שטרה תבחין בפולס הראשון מהמסע של סטלה חזרה, יותר מ 21 שנים יעבור בשבילה. למשך שאר המסע חזרה של סטלה הביתה, טרה תקבל מספר פרצי אור בשנה. לכן, טרה צופה בסטלה מזדקנת לאט במשך 90% מ 23 השנים שלהן בנפרד, ומזדקנת במהירות בשאר 10 האחוזים.
This asymmetry accounts for why the paradox isn’t really a paradox. Although each twin witnesses time both speeding up and slowing down for the other, Stella sees an even split, while Terra sees Stella aging slowly for most of the time they’re apart. This is consistent with each twin’s measurement of the space voyage, which takes 23 Earth years, but only 11.5 as experienced aboard the ship. When the twins are reunited, Terra will be 43 years old, while Stella will be 31.
חוסר הסימטריה הזה מסביר למה הפרדוקס הזה הוא לא בדיוק פרדוקס. למרות ששתי התאומות צופות בזמן גם מאיץ וגם מאט לאחרת, סטלה רואה חלוקה שווה, בעוד טרה רואה את סטלה מזדקנת באיטיות רוב הזמן שהן בנפרד. זה עקבי עם המדידות של שתי התאומות של המסע בחלל, שלוקח 23 שנים על כדור הארץ, אבל רק 11.5 שנים כמו שהוא נחווה על החללית. כשהתאומות מתאחדות, טרה תהיה בת 43, בעוד סטלה בת 31.
Where Stella went wrong was her assumption that she and Terra had equal claim to being inertial observers. To be an inertial observer, one has to maintain a constant speed and direction relative to the rest of the universe. Terra was at rest the entire time, so her velocity was a constant zero. But when Stella changed her direction for the return journey, she entered a different reference frame from the one she’d started in.
איפה שסטלה טעתה היה ההנחה שהטענות שה ושל טרה זהות לגבי היותן צופות אינרציאליות. כדי להיות צופה אינרציאלי, היא צריכה לשמור על מהירות וכיוון זהים יחסית לשאר היקום. טרה היתה במנוחה כל הזמן, אז המהירות שלה היתה אפס עקבי. אבל כשסטלה שינתה את הכיוון שלה למסע חזרה, היא נכנסה למערכת יחוס שונה מזו שממנה יצאה.
Terra and Stella now both have a better understanding of how spacetime works. And as twins who are eleven years apart in age, they’re a perfect example of special relativity.
לטרה ולסטלה יש עכשיו הבנה טובה יותר של איך החלל-זמן עובד. וכתאומות בהפרש גיל של 11 שנים, הן דוגמה מושלמת ליחסות הפרטית.