Στα 20α γενέθλιά τους, δύο δίδυμες αστροναύτισσες
On their 20th birthday, identical twin astronauts volunteer for an experiment.
προσφέρθηκαν να συμμετάσχουν σε ένα πείραμα. Η Τέρρα θα έμενε στη Γη, ενώ η Στέλλα θα ταξίδευε με διαστημόπλοιο. Το διαστημόπλοιο της Στέλλας θα ταξίδευε με το 86,6% της ταχύτητας του φωτός, για να επισκεφθεί ένα άστρο, 10 έτη φωτός μακριά. Ύστερα, θα επέστρεφε στη Γη με την ίδια ταχύτητα. Καθώς αποχαιρετούν η μία την άλλη, αναρωτιούνται θα έχει συμβεί όταν θα ξαναβρεθούν. Εφόσον ένα έτος φωτός είναι η απόσταση που διανύει το φως σε ένα χρόνο, το ταξίδι της Στέλλας θα πρέπει να διαρκέσει 23 χρόνια. Όμως, σύμφωνα με τη θεωρία της ειδικής σχετικότητας, οι δίδυμες ξέρουν πως δεν είναι τόσο απλό. Πρώτον, όσο πιο γρήγορα κινείται ένα αντικείμενο στο χώρο, τόσο πιο αργά κινείται στο χρόνο, συγκριτικά με έναν ακίνητο παρατηρητή. Η σχέση αυτή μπορεί να μετρηθεί με τον λεγόμενο Παράγοντα Λόρεντζ, ο οποίος βρίσκεται από αυτήν την εξίσωση. Δεύτερον, το μήκος ενός κινούμενου αντικειμένου, όπως μετριέται από έναν ακίνητο παρατηρητή θα συρρικνωθεί, σύμφωνα με τον ίδιο παράγοντα. Στο 88,6% της ταχύτητας του φωτός ο Παράγοντας Λόρεντζ είναι 2, που σημαίνει πως ο χρόνος θα περνάει δύο φορές πιο αργά στο διαστημόπλοιο. Φυσικά, η Στέλλα δεν θα παρατηρήσει πως ο χρόνος επιβραδύνεται, επειδή στο διαστημόπλοιο οτιδήποτε σχετίζεται με το χρόνο θα επιβραδύνεται, επίσης. Ρολόγια, ηλεκτρικές συσκευές, οι βιολογικές λειτουργίες της Στέλλας, ο ρυθμός γήρανσής της, καθώς και η αντίλληψη που θα έχει για το χρόνο. Οι μόνοι που θα μπορούσαν να δουν ότι στο διαστημόπλοιο ο χρόνος επιβραδύνεται για τη Στέλλα θα ήταν παρατηρητές σε αδράνεια, ή σε μη-επιταχυνόμενο πλαίσιο αναφοράς, όπως η Τέρρα στη Γη. Έτσι, η Τέρρα συμπεραίνει πως όταν ξανασυναντηθούν στη Γη, θα είναι μεγαλύτερη από τη Στέλλα. Αλλά αυτός είναι ένας μόνο τρόπος για να το δει κανείς. Επειδή όλες οι κινήσεις είναι σχετικές, η Στέλλα ισχυρίζεται πως θα ήταν είναι εξίσου έγκυρο να πούμε ότι το διαστημόπλοιό της ήταν ακίνητο και πως το υπόλοιπο σύμπαν, μαζί με την Τέρρα, περιστρέφονται γύρω της. Σε αυτή την περίπτωση, ο χρόνος επιβραδύνεται δύο φορές για την Τέρρα, και καταλήγει η Στέλλα να είναι μεγαλύτερη. Μία μόνο μπορεί να είναι μεγαλύτερη, άρα ποια έχει δίκιο; Αυτή η φαινομενική αντίφαση είναι γνωστή ως «Το Παράδοξο των Διδύμων». Όμως, στην ουσία δεν είναι παράδοξο. Είναι, απλώς, ένα παράδειγμα για το πώς μπορεί να παρερμηνευθεί η ειδική θεωρία της σχετικότητας. Για να ελέγξουν τις θεωρίες τους, σε πραγματικό χρόνο, οι δίδυμες συμφώνησαν να στέλνουν σήμα φωτός η μία στην άλλη, κάθε φορά που περνάει ένας χρόνος για την καθεμία. Σε αντίθεση με τα άλλα αντικείμενα, η ταχύτητα του φωτός είναι σταθερή, ανεξάρτητα από το πλαίσιο αναφοράς ενός παρατηρητή. Ένα σήμα φωτός από τη Γη, θα έχει την ίδια ταχύτητα με ένα σήμα φωτός από το διαστημόπλοιο, ανεξαρτήτως του εάν φεύγει ή έρχεται. Οπότε όταν η μία βλέπει το σήμα φωτός της άλλης, υπολογίζουν πόσο χρόνο πήρε στην άλλη να ζήσει έναν χρόνο, συν τον χρόνο που χρειάστηκε το φως να ταξιδέψει ανάμεσά τους. Μπορούμε να το παρακολουθήσουμε σε αυτό το γράφημα. Ο άξονας Χ δείχνει την απόσταση από τη Γη και ο Υ το πέρασμα του χρόνου. Από την πλευρά της Τέρρας, η πορεία της είναι μια κάθετη γραμμή, και η απόσταση ίση με το μηδέν, κάθε σημείο στη γραμμή ισούται με ένα έτος όπως το αντιλαμβάνεται η ίδια. Η πορεία της Στέλλας με ίδια αφετηρία εκτείνεται προς 11,5 έτη στον άξονα χρόνου και 10 έτη φωτός απόσταση από την Τέρρα, πριν συγκλίνει ξανά σε απόσταση μηδέν και 23 έτη στον άξονα χρόνου. Όταν περάσει ένας χρόνος για την Τέρρα, θα στείλει ένα σήμα φωτός από τη Γη προς το διαστημόπλοιο της Στέλλας. Αφού το φως θέλει ένα χρόνο για να ταξιδέψει ένα έτος φωτός, η πορεία του θα είναι μια διαγώνιος 45 μοιρών. Επειδή η Στέλλα απομακρύνεται από αυτό, μέχρι να τη φτάσει το φως, θα έχουν περάσει πάνω από 7 για την Τέρρα και πάνω από 4 χρόνια για τη Στέλλα. Μέχρι να δει η Στέλλα το δεύτερο σήμα της Τέρρας, θα βρίσκεται, ήδη, στην επιστροφή. Ωστόσο, αφού κατευθύνεται προς την πηγή του φωτός, θα χρειαστεί λιγότερο χρόνο το σήμα να τη φτάσει, και θα βλέπει τα σήματα συχνότερα. Αυτό σημαίνει ότι η Στέλλα θα βλέπει την Τέρρα να μεγαλώνει πιο αργά στο πρώτο μισό του ταξιδιού της, αλλά ραγδαία στην επιστροφή. Ταυτοχρόνως για τη Στέλλα θα φαίνεται ότι η Τέρρα, το άστρο και όλο το σύμπαν θα γυρίζουν γύρω της. Και λόγω της συστολής του μήκους η Στέλλα βλέπει την απόσταση μεταξύ τους να συρρικνώνεται με Παράγοντα 2. Πράγμα που σημαίνει πως κάθε διαδρομή θα διαρκεί, σχεδόν, έξι χρόνια, όπως το βλέπει η Στέλλα. Όταν θα στείλει το πρώτο σήμα στη Γη, θα έχουν περάσει δύο χρόνια για την Τέρρα. Η Στέλλα θα στείλει τέσσερα ακόμη σήματα καθώς θα πηγαίνει, το κάθε ένα από όλο και πιο μακριά. Μέχρι να δει η Τέρρα το πρώτο σήμα από την αναχώρηση της Στέλλας, θα έχουν περάσει πάνω από 21 χρόνια γι′ αυτήν. Κατά το ταξίδι επιστροφής της Στέλλας, η Τέρρα θα λαμβάνει πολλά σήματα κάθε χρόνο. Έτσι, θα δει τη Στέλλα να μεγαλώνει αργά κατά το 90% των 23 χρόνων που είναι χώρια. και να μεγαλώνει ταχύτατα κατά το υπόλοιπο 10%. Αυτή η ασυμμετρία είναι ο λόγος που το παράδοξο δεν είναι παράδοξο. Αν και η κάθε δίδυμη βλέπει τον χρόνο και να επιταχύνεται και να επιβραδύνεται για την άλλη, η Στέλλα βλέπει έναν ίσο χωρισμό, ενώ η Τέρρα βλέπει τον περισσότερο καιρό τη Στέλλα να μεγαλώνει αργά. Αυτό συνάδει με κάθε μέτρηση των διδύμων για το διαστημικό ταξίδι, που θα είναι 23 γήινα χρόνια, αλλά μόνο 11,5 όπως θα έχουμε την αίσθηση μέσα στο διαστημόπλοιο. Όταν ξαναβρεθούν, η Τέρρα θα είναι 43, ενώ η Στέλλα 31 ετών. Το λάθος της Στέλλας ήταν ότι υπέθεσε πως και οι δύο ήταν παρατηρήτριες σε αδράνεια. Για να ήταν αδρανείς παρατηρήτριες θα έπρεπε να έχουν σταθερή ταχύτητα και κατεύθυνση σε σχέση με το υπόλοιπο σύμπαν. Η Τέρρα ήταν αδρανής σε όλη τη διάρκεια, οπότε η ταχύτητά της ήταν, συνεχώς, 0. Όμως όταν η Στέλλα άλλαξε κατεύθυνση για να επιστρέψει, άλλαξε πλαίσιο αναφοράς από αυτό που είχε όταν ξεκίνησε. Και οι δύο τώρα καταλαβαίνουν καλύτερα πώς λειτουργεί ο χωρο-χρόνος. Ως δίδυμες με έντεκα χρόνια διαφορά, αποτελούν το τέλειο παράδειγμα της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας.
Terra will remain on Earth, while Stella will board a spaceship. Stella’s ship will travel at 86.6% the speed of light to visit a star that is 10 light-years away, then return to Earth at the same speed. As they prepare to part ways, the twins wonder what will happen when they’re reunited. Since a light year is exactly the distance light can travel in a year, Stella’s journey should take 23 years. But from having studied special relativity, the twins know it’s not that simple. First of all, the faster an object moves through space, the slower it moves through time compared to an unmoving observer. This relationship can be quantified with something called the Lorentz factor, which is defined by this equation. And secondly, the length of a moving object as measured by an observer at rest will contract by the same factor. At 86.6% of the speed of light the Lorentz factor is 2, meaning time will pass twice as slowly aboard the spaceship. Of course, Stella won’t notice time slowing down. That’s because all time-based processes in the ship will slow down as well– clocks and electrical devices; Stella’s biological activities including her rate of aging and her perception of time itself. The only people who could notice time on the moving spaceship passing slower for Stella would be observers in an inertial, or non-accelerating, reference frame– like Terra back on Earth. Thus, Terra concludes that when they meet back on Earth, she’ll be older than Stella. But that’s just one way of looking at things. Because all movement is relative, Stella argues it would be just as valid to say her spaceship will stand still while the rest of the universe, including Terra, moves around her. And in that case, time will pass twice as slowly for Terra, making Stella the older twin in the end. They can’t each be older than the other, so which one of them is right? This apparent contradiction is known as the “Twin Paradox.” But it’s not really a paradox– just an example of how special relativity can be easily misunderstood. To test their theories in real-time, each of the twins agrees to send a burst of light to the other every time a year has passed for them. Unlike other objects, the speed of light is always constant regardless of an observer’s reference frame. A light burst sent from Earth will be measured at the same speed as a light burst sent from the spaceship, regardless of whether it’s on its outbound or return trip. So when one twin observes a burst of light, they’re measuring how long it took the other twin to experience a year passing, plus how long it took for light to travel between them. We can track what’s happening on a graph. The X axis marks distance from Earth, and the Y axis tracks the passage of time. From Terra’s perspective, her path will simply be a vertical line, with distance equal to zero and each tick on the line equivalent to a year as she perceives it. Stella’s path will stretch from the same origin to a point 11.5 years in time and 10 light-years in distance from Terra… before converging again at zero distance and 23 years’ time. At her first one-year mark, Terra will send a pulse of light from Earth towards Stella’s spaceship. Since light takes a year to travel one light-year, its path will be a 45-degree diagonal line. And because Stella is traveling away from it, by the time the light catches up to her, over 7 total years will have passed for Terra, and over 4 for Stella. By the time Stella observes Terra’s second burst, she will already be on her return journey. But now, since she’s moving towards the source of the light, it will take less time to reach her, and she’ll observe the bursts more frequently. This means that Stella observes Terra aging slowly for the first half of her journey, but aging rapidly during the return half. Meanwhile for Stella, it seems as though Terra, the destination star, and the whole universe are moving around her. And because of length contraction, Stella observes the distance between them shrinking by a factor of 2. This means each leg of the trip will only take about six years from Stella’s perspective. When she sends the first signal to Earth, two years will have passed for Terra. Stella will send four more light bursts during her outbound journey, each one from farther away. By the time Terra observes the first pulse from Stella's inbound journey, over 21 years will have passed for her. For the rest of Stella's return home, Terra receives multiple light bursts each year. Thus, Terra observes Stella aging slowly for about 90% of their 23 years apart, and aging rapidly during the last 10%. This asymmetry accounts for why the paradox isn’t really a paradox. Although each twin witnesses time both speeding up and slowing down for the other, Stella sees an even split, while Terra sees Stella aging slowly for most of the time they’re apart. This is consistent with each twin’s measurement of the space voyage, which takes 23 Earth years, but only 11.5 as experienced aboard the ship. When the twins are reunited, Terra will be 43 years old, while Stella will be 31. Where Stella went wrong was her assumption that she and Terra had equal claim to being inertial observers. To be an inertial observer, one has to maintain a constant speed and direction relative to the rest of the universe. Terra was at rest the entire time, so her velocity was a constant zero. But when Stella changed her direction for the return journey, she entered a different reference frame from the one she’d started in. Terra and Stella now both have a better understanding of how spacetime works. And as twins who are eleven years apart in age, they’re a perfect example of special relativity.