Created by logician Raymond Smullyan and popularized by his colleague George Boolos, this riddle has been called the hardest logic puzzle ever. You and your team have crash-landed on an ancient planet. The only way off is to appease its three alien overlords, Tee, Eff, and Arr, by giving them the correct artifacts. Unfortunately, you don't know who is who. From an inscription, you learn that you may ask three yes or no questions, each addressed to any one lord. Tee's answers are always true, Eff's are always false, and Arr's answer is random each time. But there's a problem. You've deciphered the language enough to ask any question, but you don't know which of the two words 'ozo' and 'ulu' means yes and which means no. How can you still figure out which alien is which? Pause here if you want to figure it out for yourself! Answer in: 3 2 1 At first, this puzzle seems not just hard, but downright impossible. What good is asking a question if you can neither understand the answer nor know if it's true? But it can be done. The key is to carefully formulate our questions so that any answer yields useful information. First of all, we can get around to not knowing what 'ozo' and 'ulu' mean by including the words themselves in the questions, and secondly, if we load each question with a hypothetical condition, whether an alien is lying or not won't actually matter. To see how that could work, imagine our question is whether two plus two is four. Instead of posing it directly, we say, "If I asked you whether two plus two is four, would you answer 'ozo'?" If 'ozo' means yes and the overlord is Tee, it truthfully replies, "ozo." But what if we ask Eff? Well, it would answer "ulu," or no to the embedded question, so it lies and replies 'ozo' instead. And if 'ozo' actually means no, then the answer to our embedded question is 'ulu,' and both Tee and Eff still reply 'ozo,' each for their own reasons. If you're confused about why this works, the reason involves logical structure. A double positive and a double negative both result in a positive. Now, we can be sure that asking either Tee or Eff a question put this way will yield 'ozo' if the hypothetical question is true and 'ulu' if it's false regardless of what each word actually means. Unfortunately, this doesn't help us with Arr. But don't worry, we can use our first question to identify one alien lord that definitely isn't Arr. Then we can use the second to find out whether its Tee or Eff. And once we know that, we can ask it to identify one of the others. So let's begin. Ask the alien in the middle, "If I asked you whether the overlord on my left is Arr, would you answer 'ozo'?" If the reply is 'ozo,' there are two possibilities. You could already be talking to Arr, in which case the answer is meaningless. But otherwise, you're talking to either Tee or Eff, and as we know, getting 'ozo' from either one means your hypothetical question was correct, and the left overlord is indeed Arr. Either way, you can be sure the alien on the right is not Arr. Similarly, if the answer is 'ulu,' then you know the alien on the left can't be Arr. Now go to the overlord you've determined isn't Arr and ask, "If I asked 'are you Eff?' would you answer 'ozo'?" Since you don't have to worry about the random possibility, either answer will establish its identity. Now that you know whether its answers are true or false, ask the same alien whether the center overlord is Arr. The process of elimination will identify the remaining one. The satisfied overlords help you repair your ship and you prepare for takeoff. Allowed one final question, you ask Tee if it's a long way to Earth, and he answers "ozo." Too bad you still don't know what that means.
Criado pelo lógico Raymond Smullyan e popularizado pelo seu colega George Boolos, este enigma já foi considerado o quebra-cabeças mais difícil de sempre. Tu e a tua equipa despenharam-se num planeta antigo. A única forma de saírem de lá é apaziguarem os três senhores extraterrestres, Tee, Eff e Arr, dando-lhes os artefactos corretos. Infelizmente, vocês não sabem quem é quem. Numa inscrição, ficam a saber que podem fazer-lhes três perguntas de resposta "sim" ou "não", cada uma dirigida a qualquer dos senhores. As respostas de Tee são sempre verdadeiras. As de Eff são sempre falsas. e a resposta de Arr é sempre ao acaso. Mas há um problema. Vocês decifraram a língua o bastante para fazer qualquer pergunta, mas não sabem qual das duas palavras "ozo" ou "ulu" significa "sim" e qual delas significa "não". Como conseguem descobrir quem são os extraterrestres? [Faz aqui uma pausa se quiseres descobrir sozinho.] Resposta em: 3 2 1 À primeira vista, o quebra-cabeças não parece difícil, parece impossível. Para que serve fazer uma pergunta se não percebemos a resposta nem sabemos se ela é verdadeira? Mas pode fazer-se. A chave é formular cuidadosamente as nossas perguntas para que qualquer resposta contenha informações úteis. Primeiro, podemos resolver o problema de não sabermos o significado de "ozo" e "ulu" incluindo essas mesmas palavras nas perguntas, e depois, se colocarmos em cada pergunta uma situação hipotética, não interessa se os extraterrestres estão a mentir ou não. Para vermos como isso funciona, imagina que a pergunta é se dois mais dois são quatro. Em vez de a colocar diretamente, diríamos: "Se te perguntar se dois mais dois são quatro, "responderás 'ozo'?" Se "ozo" significa "sim" e o senhor for Tee, ele responde, triunfante: "ozo". Mas e se perguntarmos a Eff? Ele devia responder "ulu", ou seja, "não", à pergunta sub-reptícia mas mentirá e responderá "ozo". E se "ozo" significar não, a resposta à pergunta sub-reptícia será "ulu", Tanto Tee como Eff responderão "ozo", cada um pelas suas próprias razões. Se estão confusos sobre porque é que isto funciona, a razão envolve uma estrutura lógica. Uma dupla positiva e uma dupla negativa resultam ambas numa positive. Assim, podemos ter a certeza de que fazendo uma pergunta assim a Tee ou a Eff resultará num "ozo" se a pergunta hipotética for verdade e resultará num "ulu" se for falsa independentemente do que significa cada palavra. Infelizmente, isso não resulta com Arr. Mas não te preocupes, podemos usar a primeira pergunta para identificar um senhor extraterrestre que não é Arr, de certeza. Depois, podemos usar a segunda para descobrir se é Tee ou Eff. Depois de sabermos isso, podemos pedir-lhe para identificar um dos outros, Então, vamos começar. Pergunta ao extraterrestre do meio: "Se eu te perguntasse se o senhor à minha esquerda é Arr, "responderias 'ozo'?" Se a resposta é "ozo", há duas possibilidades. Podes já estar a falar com Arr e, nesse caso, a resposta não tem sentido. Caso contrário, estás a falar com Tee ou com Eff, e, como sabemos, receber um "ozo" de qualquer um deles significa que a nossa pergunta hipotética estava certa e o senhor da esquerda é Arr, de facto. De qualquer modo, ficas com a certeza de que o extraterrestre da direita não é Arr. Do mesmo modo, se a resposta é "ulu", ficas a saber que o extraterrestre da esquerda não pode ser Arr. Depois, vais ter com o senhor que já sabes que não é Arr e perguntas: "Se eu perguntasse se és Eff, responderias 'ozo'?" Como já não precisas de te preocupar com a possibilidade ao acaso, qualquer das respostas vai estabelecer a sua identidade. Agora que já sabes se as respostas são verdade ou mentira, pergunta ao mesmo extraterrestre se o senhor do centro é Arr. O processo de eliminação identificará o restante. Os senhores, satisfeitos, ajudarão a reparar a nave e preparas-te para a partida. Com direito a uma pergunta final, perguntas a Tee se a Terra fica muito distante e ele responde "ozo". É uma pena se ainda não sabes o que é que isso significa.