You and nine other individuals have been captured by super intelligent alien overlords. The aliens think humans look quite tasty, but their civilization forbids eating highly logical and cooperative beings. Unfortunately, they're not sure whether you qualify, so they decide to give you all a test. Through its universal translator, the alien guarding you tells you the following: You will be placed in a single-file line facing forward in size order so that each of you can see everyone lined up ahead of you. You will not be able to look behind you or step out of line. Each of you will have either a black or a white hat on your head assigned randomly, and I won't tell you how many of each color there are. When I say to begin, each of you must guess the color of your hat starting with the person in the back and moving up the line. And don't even try saying words other than black or white or signaling some other way, like intonation or volume; you'll all be eaten immediately. If at least nine of you guess correctly, you'll all be spared. You have five minutes to discuss and come up with a plan, and then I'll line you up, assign your hats, and we'll begin. Can you think of a strategy guaranteed to save everyone? Pause the video now to figure it out for yourself. Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1 The key is that the person at the back of the line who can see everyone else's hats can use the words "black" or "white" to communicate some coded information. So what meaning can be assigned to those words that will allow everyone else to deduce their hat colors? It can't be the total number of black or white hats. There are more than two possible values, but what does have two possible values is that number's parity, that is whether it's odd or even. So the solution is to agree that whoever goes first will, for example, say "black" if he sees an odd number of black hats and "white" if he sees an even number of black hats. Let's see how it would play out if the hats were distributed like this. The tallest captive sees three black hats in front of him, so he says "black," telling everyone else he sees an odd number of black hats. He gets his own hat color wrong, but that's okay since you're collectively allowed to have one wrong answer. Prisoner two also sees an odd number of black hats, so she knows hers is white, and answers correctly. Prisoner three sees an even number of black hats, so he knows that his must be one of the black hats the first two prisoners saw. Prisoner four hears that and knows that she should be looking for an even number of black hats since one was behind her. But she only sees one, so she deduces that her hat is also black. Prisoners five through nine are each looking for an odd number of black hats, which they see, so they figure out that their hats are white. Now it all comes down to you at the front of the line. If the ninth prisoner saw an odd number of black hats, that can only mean one thing. You'll find that this strategy works for any possible arrangement of the hats. The first prisoner has a 50% chance of giving a wrong answer about his own hat, but the parity information he conveys allows everyone else to guess theirs with absolute certainty. Each begins by expecting to see an odd or even number of hats of the specified color. If what they count doesn't match, that means their own hat is that color. And everytime this happens, the next person in line will switch the parity they expect to see. So that's it, you're free to go. It looks like these aliens will have to go hungry, or find some less logical organisms to abduct.
Tu e altre nove persone siete stati catturati da governatori alieni ultra-intelligenti, a cui gli esseri umani sembrano piuttosto appetitosi. La loro civiltà, però, vieta di mangiare creature collaborative e razionali. Purtroppo, non sono certi che corrispondiate alla descrizione, così decidono di sottoporvi a un test. Con il suo traduttore universale, l'alieno che vi sorveglia vi dice quanto segue: Sarete disposti su un'unica fila, uno dietro l'altro, in ordine di altezza, cosicché ognuno di voi possa vedere tutti quelli che ha davanti. Non potrete guardare dietro di voi o uscire dalla fila. Ognuno di voi avrà in testa un cappello bianco o nero assegnato a caso, e non vi dirò quanti cappelli ci sono di ciascun colore. Al mio via, ognuno di voi deve indovinare il colore del proprio cappello. Inizierà l'ultima persona della fila, seguita da tutte le altre. Non provate nemmeno a dire parole che non siano "bianco" o "nero" o a mandarvi segnali in altri modi, con l'intonazione o il volume della voce: verrete tutti divorati immediatamente. Se almeno nove di voi riescono ad indovinare, sarete risparmiati. Avete cinque minuti per discutere ed elaborare un piano, poi vi metterò in fila, vi darò i cappelli e inizieremo. Riuscite a pensare a una strategia che garantisca la salvezza di tutti? Mettete in pausa il video e pensateci anche voi. 3 2 1 La soluzione è che l'ultima persona della fila, che può vedere i cappelli di tutti gli altri, può usare le parole "bianco" e "nero" per comunicare informazioni cifrate. Quale significato si può dare a queste due parole che permetta a tutti gli altri di dedurre il colore dei propri cappelli? Non può essere il numero totale dei cappelli bianchi o neri, per cui due valori non basterebbero. Bastano però per indicare la parità del numero, ovvero se il numero è pari o dispari. La chiave è stabilire che chiunque vada per primo, ad esempio, dica "nero" se vede un numero dispari di cappelli neri e "bianco" se vede un numero pari di cappelli neri. Vediamo che cosa succederebbe se i cappelli fossero assegnati così. Il prigioniero più alto vede tre cappelli neri davanti a sé, perciò dice "nero", comunicando che vede un numero dispari di cappelli neri. Sbaglia il colore del suo cappello, ma va bene lo stesso, dato che vi è concesso di dare una risposta sbagliata. Anche la seconda prigioniera vede un numero dispari di cappelli neri, perciò sa che il suo è bianco e risponde correttamente. Il terzo prigioniero vede un numero pari di cappelli neri, quindi sa che il suo cappello dev'essere uno di quelli neri visti dai primi due prigionieri. La quarta prigioniera lo sente e sa di dover cercare un numero pari di cappelli neri, dal momento che ne ha uno dietro. Ma ne vede solo uno, perciò deduce che l'altro sia il suo. I prigionieri dal quinto al nono cercano tutti un numero dispari di cappelli neri che vedono, e quindi capiscono che i propri cappelli sono bianchi. Ora dipende tutto da voi, che siete all'inizio della fila. Se il nono prigioniero ha visto un numero dispari di cappelli neri, significa solo una cosa. Questa strategia funziona per ogni possibile distribuzione dei cappelli. Il primo prigioniero ha il 50% di possibilità di sbagliare il colore del suo cappello, ma dà informazioni sulla parità che permettono a tutti gli altri di indovinare con assoluta certezza. Ognuno inizia aspettandosi di vedere un numero pari o dispari di cappelli del colore specificato. Se i conti non quadrano, il loro cappello è di quel colore. Ogni volta che ciò accade, la persona successiva invertirà la parità che si aspetta di vedere. Ecco, siete liberi. Pare che questi alieni si terranno la fame, a meno che non trovino esseri meno razionali da rapire.