You and nine other individuals have been captured by super intelligent alien overlords. The aliens think humans look quite tasty, but their civilization forbids eating highly logical and cooperative beings. Unfortunately, they're not sure whether you qualify, so they decide to give you all a test. Through its universal translator, the alien guarding you tells you the following: You will be placed in a single-file line facing forward in size order so that each of you can see everyone lined up ahead of you. You will not be able to look behind you or step out of line. Each of you will have either a black or a white hat on your head assigned randomly, and I won't tell you how many of each color there are. When I say to begin, each of you must guess the color of your hat starting with the person in the back and moving up the line. And don't even try saying words other than black or white or signaling some other way, like intonation or volume; you'll all be eaten immediately. If at least nine of you guess correctly, you'll all be spared. You have five minutes to discuss and come up with a plan, and then I'll line you up, assign your hats, and we'll begin. Can you think of a strategy guaranteed to save everyone? Pause the video now to figure it out for yourself. Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1 The key is that the person at the back of the line who can see everyone else's hats can use the words "black" or "white" to communicate some coded information. So what meaning can be assigned to those words that will allow everyone else to deduce their hat colors? It can't be the total number of black or white hats. There are more than two possible values, but what does have two possible values is that number's parity, that is whether it's odd or even. So the solution is to agree that whoever goes first will, for example, say "black" if he sees an odd number of black hats and "white" if he sees an even number of black hats. Let's see how it would play out if the hats were distributed like this. The tallest captive sees three black hats in front of him, so he says "black," telling everyone else he sees an odd number of black hats. He gets his own hat color wrong, but that's okay since you're collectively allowed to have one wrong answer. Prisoner two also sees an odd number of black hats, so she knows hers is white, and answers correctly. Prisoner three sees an even number of black hats, so he knows that his must be one of the black hats the first two prisoners saw. Prisoner four hears that and knows that she should be looking for an even number of black hats since one was behind her. But she only sees one, so she deduces that her hat is also black. Prisoners five through nine are each looking for an odd number of black hats, which they see, so they figure out that their hats are white. Now it all comes down to you at the front of the line. If the ninth prisoner saw an odd number of black hats, that can only mean one thing. You'll find that this strategy works for any possible arrangement of the hats. The first prisoner has a 50% chance of giving a wrong answer about his own hat, but the parity information he conveys allows everyone else to guess theirs with absolute certainty. Each begins by expecting to see an odd or even number of hats of the specified color. If what they count doesn't match, that means their own hat is that color. And everytime this happens, the next person in line will switch the parity they expect to see. So that's it, you're free to go. It looks like these aliens will have to go hungry, or find some less logical organisms to abduct.
Tú y 9 personas han sido capturados por superinteligentes alienígenas supremos, que creen que los humanos se ven apetecibles, pero su civilización les prohíbe comer seres sumamente lógicos y cooperativos. Desafortunadamente, dudan si Uds. califican, así que deciden hacerles una prueba. Mediante su traductor universal, los alienígenas que los retienen les dicen: "Serán formados en una sola fila viendo al frente por orden de estatura, tal que cada uno en la fila pueda ver al frente. No podrán ver para atrás o salirse de la fila. Cada uno tendrá puesto un sombrero blanco o negro, asignado aleatoriamente y no les diré cuántos de cada color. Cuando diga que empiecen, cada uno debe adivinar el color de su sombrero comenzando con la persona que está atrás y hacia adelante en la fila. Ni siquiera intenten decir otra palabra que no sea blanco o negro o señalizar de otra forma con la entonación o el volumen; de inmediato serán devorados. Si al menos 9 de Uds. aciertan, se salvarán. Tienen 5 minutos para discutir y concebir un plan, luego serán formados en fila, se les asignarán sombreros y comenzarán. ¿Pueden pensar en una estrategia que garantice la salvación de todos? Pon pausa al video ahora y resuélvelo tú mismo. Respuesta en: 3 Respuesta en: 2 Respuesta en: 1 La clave está en la persona al final de la fila, que puede ver todos los sombreros y usar las palabras "blanco" o "negro" para comunicar información codificada. Así, ¿qué significado se puede asignar a esas palabras que permitan que todos deduzcan los colores de sus sombreros? No puede ser el número total de sombreros blancos o negros. Existen más de dos posibles valores, pero lo que tiene dos posibles valores es la paridad del número, es decir si es par o impar. Así la solución es acordar que quien vaya primero, por ejemplo, diga "negro" si ve un número impar de sombreros negros y "blanco" si ve un número par de sombreros blancos. Veamos cómo saldría si el número de sombreros estuviera distribuido así. El preso más alto ve tres sombreros negros frente a él, así que dice "negro", para decirle a todos los demás que ve un número impar. Se equivoca con el color de su propio sombrero, pero está bien, dado que en conjunto se permite que tengan una respuesta mal. La preso dos también ve un número impar de sombreros negros, así que sabe que el suyo es blanco y responde correctamente. El prisionero tres ve un número par de sombreros negros, así que sabe que su sombrero es uno de los negros, que los dos primeros presos vieron. La presa cuatro oye eso y sabe que debería buscar un número impar de sombreros negros, puesto que uno está detrás de ella. Pero sólo ve uno, así que deduce que su sombrero es negro. Los presos del cinco al nueve cada uno busca un número impar de sombreros negros lo que ven, entonces deducen que sus sombreros son blancos. Ahora todo se reduce a ti que estás al frente de la fila. Si el noveno preso vio un número impar de sombreros negros, eso significa una sola cosa. Verás que esta estrategia funciona para cualquier posible arreglo de sombreros. El primer preso tiene una posibilidad del 50 % de contestar mal sobre su sombrero, pero la información de paridad que trasmite permite que todos los demás adivinen con absoluta certeza. Cada uno comienza esperando ver un número par o impar de sombreros del color específico. Si lo que cuentan no coincide, significa que su propio sombrero es de ese color. Cada vez que esto ocurre, la siguiente persona en la fila cambiará la paridad que espera ver. Eso es todo y son libres de irse. Parece que estos alienígenas pasarán hambre o tendrán que buscar organismos menos lógicos que raptar.