After years of experiments, you’ve finally created the pets of the future– nano-rabbits! They’re tiny, they’re fuzzy… and they multiply faster than the eye can see.
Спустя годы экспериментов вы наконец создали домашних питомцев будущего — это нанокролики! Они маленькие, пушистые и размножаются с невероятной скоростью.
In your lab there are 36 habitat cells, arranged in an inverted pyramid, with 8 cells in the top row. The first has one rabbit, the second has two, and so on, with eight rabbits in the last one. The other rows of cells are empty… for now. The rabbits are hermaphroditic, and each rabbit in a given cell will breed once with every rabbit in the horizontally adjacent cells, producing exactly one offspring each time. The newborn rabbits will drop into the cell directly below the two cells of its parents, and within minutes will mature and reproduce in turn. Each cell can hold 10^80 nano-rabbits – that’s a 1 followed by 80 zeros – before they break free and overrun the world. Your calculations have given you a 46-digit number for the count of rabbits in the bottom cell– plenty of room to spare.
В вашей лаборатории 36 клеток, собранных в виде перевёрнутой пирамиды, в верхнем ряду которой восемь клеток. В первой клетке сидит один кролик, во второй — два, и так далее. В последней клетке находятся восемь кроликов. Следующий ряд клеток пуст, по крайней мере, пока. Эти кролики двуполые, и каждый кролик спарится один раз с каждым кроликом в соседней клетке по горизонтали. В каждом помёте будет один крольчонок. Крольчата попадут в клетки, расположенные под клетками их родителей, за несколько минут вырастут и тоже дадут потомство. Каждая клетка может вместить не более 10^80 нанокроликов — это единица с 80 нулями, — затем кролики вырвутся на свободу и наводнят мир. В результате вычислений вы получили 46-значное число, отражающее количество кроликов в нижней клетке — остаётся ещё много свободного места.
But just as you pull the lever to start the experiment, your assistant runs in with terrible news. A rival lab has sabotaged your code so that all the zeros at the end of your results got cut off. That means you don’t actually know if the bottom cell will be able to hold all the rabbits – and the reproduction is already underway! To make matters worse, your devices and calculators are all malfunctioning, so you only have a few minutes to work it out by hand. How many trailing zeros should there be at the end of the count of rabbits in the bottom habitat? And do you need to pull the emergency shut-down lever?
Но как только вы нажимаете на рычаг и начинаете эксперимент, прибегает ваш ассистент с ужасными новостями: конкурирующая лаборатория повредила ваш код, поэтому все нули в конце получившегося числа исчезли. Это значит, что вы точно не знаете, сможет ли нижняя клетка вместить всех кроликов, а они вот-вот начнут размножаться! Проблему усугубляет поломка всех устройств и калькуляторов. У вас есть несколько минут, чтобы решить задачу в уме. Сколько нулей в конце числа, отражающего количество кроликов в нижней клетке, и нужно ли тянуть рычаг экстренного отключения?
Pause the video now if you want to figure it out for yourself.
Нажмите на паузу, чтобы решить задачу самостоятельно.
Answer in 3
[Ответ через: 3]
Answer in 2
[Ответ через: 2]
Answer in 1
[Ответ через: 1]
There isn’t enough time to calculate the exact number of rabbits in the final cell. The good news is we don’t need to. All we need to figure out is how many trailing zeros it has.
Вы не успеете вычислить точное количество кроликов в нижней клетке. Хорошая новость: вам это и не нужно. Достаточно выяснить, сколько нулей в конце этого числа.
But how can we know how many trailing zeros a number has without calculating the number itself? What we do know is that we arrive at the number of rabbits in the bottom cell through a process of multiplication – literally. The number of rabbits in each cell is the product of the number of rabbits in each of the two cells above it. And there are only two ways to get numbers with trailing zeros through multiplication: either multiplying a number ending in 5 by any even number, or by multiplying numbers that have trailing zeroes themselves.
Как же узнать количество нулей в конце числа без вычисления самого числа? Нам известно, что количество кроликов в нижней клетке определяется размножением, а вернее умножением. Количество кроликов в каждой клетке — это результат умножения количества кроликов в двух клетках над ней. Есть всего два способа получить числа, которые дадут ноль в результате умножения: умножить число, оканчивающееся на пять, на любое чётное число или перемножить любые числа, которые сами оканчиваются на ноль.
Let’s calculate the number of rabbits in the second row and see what patterns emerge. Two of the numbers have trailing zeros – 20 rabbits in the fourth cell and 30 in the fifth cell. But there are no numbers ending in 5. And since the only way to get a number ending in 5 through multiplication is by starting with a number ending in 5, there won’t be any more down the line either. That means we only need to worry about the numbers that have trailing zeros themselves. And a neat trick to figure out the amount of trailing zeros in a product is to count and add the trailing zeros in each of the factors – for example, 10 x 100 = 1,000.
Подсчитаем количество кроликов во втором ряду и посмотрим, что получилось. Два числа заканчиваются на ноль: 20 кроликов в четвёртой клетке и 30 — в пятой. Чисел с цифрой пять на конце здесь нет. Чтобы получить при умножении число, оканчивающееся на пять, один из множителей тоже должен иметь пятёрку на конце. Следовательно, цифр, оканчивающихся на пять, у нас не будет. Значит, рассматриваем только те числа, которые оканчиваются на ноль. Есть удобный способ подсчитать количество нулей на конце числа — суммировать все нули на концах множителей. Например, 10 x 100 = 1 000.
So let’s take the numbers in the fourth and fifth cells and multiply down from there. 20 and 30 each have one zero, so the product of both cells will have two trailing zeros, while the product of either cell and an adjacent non-zero-ending cell will have only one. When we continue all the way down, we end up with 35 zeros in the bottom cell. And if you’re not too stressed about the potential nano-rabbit apocalypse, you might notice that counting the zeros this way forms part of Pascal’s triangle.
Возьмём числа в четвёртой и пятой клетках и умножим их друг на друга. 20 и 30 имеют по одному нулю, поэтому в результате умножения получится число с двумя нулями на конце. Если же ноль есть только в одном из множителей, мы получим число с одним нулём в конце. В результате всех расчётов мы получим число с 35 нулями в нижней клетке. И если вы не слишком обеспокоены возможным нанокроликовым апокалипсисом, вы, вероятно, заметите, что подобный подсчёт нулей создаёт часть треугольника Паскаля.
Adding those 35 zeros to the 46 digit number we had before yields an 81 digit number – too big for the habitat to contain! You rush over and pull the emergency switch just as the seventh generation of rabbits was about to mature – hare-raisingly close to disaster.
Прибавив эти 35 нулей к вычисленному ранее 46-значному числу, мы получим 81-значное число — слишком большое для нашей клетки! Вы тянете рычаг экстренного отключения как раз в тот момент, когда седьмое поколение кроликов почти достигло зрелости, — кроличье нашествие удалось предотвратить в последний момент.