After years of experiments, you’ve finally created the pets of the future– nano-rabbits! They’re tiny, they’re fuzzy… and they multiply faster than the eye can see.
Após anos de experiências, conseguiste criar finalmente os animais de estimação do futuro — nano-coelhos! São minúsculos, são peludos... e multiplicam-se mais depressa do que os olhos conseguem ver.
In your lab there are 36 habitat cells, arranged in an inverted pyramid, with 8 cells in the top row. The first has one rabbit, the second has two, and so on, with eight rabbits in the last one. The other rows of cells are empty… for now. The rabbits are hermaphroditic, and each rabbit in a given cell will breed once with every rabbit in the horizontally adjacent cells, producing exactly one offspring each time. The newborn rabbits will drop into the cell directly below the two cells of its parents, and within minutes will mature and reproduce in turn. Each cell can hold 10^80 nano-rabbits – that’s a 1 followed by 80 zeros – before they break free and overrun the world. Your calculations have given you a 46-digit number for the count of rabbits in the bottom cell– plenty of room to spare.
No teu laboratório há 36 células "habitat", dispostas segundo uma pirâmide invertida, com oito células na fila do topo. A primeira célula tem um coelho, a segunda tem dois, e assim sucessivamente, com oito coelhos na última célula. As outras filas de células estão vazias, por enquanto. Os coelhos são hermafroditas, e cada coelho numa determinada célula acasalará uma vez com cada coelho nas células horizontais adjacentes, produzindo exatamente um rebento de cada vez. Os coelhos recém-nascidos cairão na célula diretamente abaixo das duas células dos seus pais e, em minutos, tornar-se-ão adultos e reproduzir-se-ão, por sua vez. Cada célula pode conter 10^80 nano-coelhos — ou seja, um 1 seguido de 80 zeros — antes de se libertarem e de se espalharem pelo mundo. Os teus cálculos deram-te um número com 46 algarismos para a contagem de coelhos na célula de baixo. Ainda fica muito espaço disponível.
But just as you pull the lever to start the experiment, your assistant runs in with terrible news. A rival lab has sabotaged your code so that all the zeros at the end of your results got cut off. That means you don’t actually know if the bottom cell will be able to hold all the rabbits – and the reproduction is already underway! To make matters worse, your devices and calculators are all malfunctioning, so you only have a few minutes to work it out by hand. How many trailing zeros should there be at the end of the count of rabbits in the bottom habitat? And do you need to pull the emergency shut-down lever?
Mas, quando acionas a alavanca para iniciar a experiência, o teu assistente aparece com notícias terríveis. Um laboratório rival sabotou o teu código para desaparecerem todos os zeros no final dos resultados. Isso significa que, afinal, não sabes se a célula de baixo poderá conter todos os coelhos e a reprodução já está em marcha. Para piorar as coisas, os teus aparelhos e calculadoras estão a funcionar mal e só tens uns minutos para fazer os cálculos à mão. Quantos zeros à direita poderá haver no final da contagem de coelhos no "habitat" de baixo? Precisarás de acionar a alavanca de emergência para pôr fim a tudo?
Pause the video now if you want to figure it out for yourself.
[Suspende aqui o vídeo se quiseres resolver sozinho]
Answer in 3
[Resposta em: 3
Answer in 2
[Resposta em: 2
Answer in 1
[Resposta em: 1]
There isn’t enough time to calculate the exact number of rabbits in the final cell. The good news is we don’t need to. All we need to figure out is how many trailing zeros it has.
Não há tempo para calcular o número exato de coelhos na célula final. Felizmente, não será preciso. Só precisamos de imaginar quantos zeros à direita ela tem.
But how can we know how many trailing zeros a number has without calculating the number itself? What we do know is that we arrive at the number of rabbits in the bottom cell through a process of multiplication – literally. The number of rabbits in each cell is the product of the number of rabbits in each of the two cells above it. And there are only two ways to get numbers with trailing zeros through multiplication: either multiplying a number ending in 5 by any even number, or by multiplying numbers that have trailing zeroes themselves.
Mas como saber quantos zeros à direita tem um número sem calcular esse número? Só sabemos que chegamos ao número de coelhos na célula de baixo através de um processo de multiplicação — literalmente. O número de coelhos em cada célula é o produto do número de coelhos em cada duas células acima dela. E só há duas formas de obter números com zeros à direita através da multiplicação: ou multiplicando um número acabado em 5 por um número par, ou multiplicando números que têm zeros à direita
Let’s calculate the number of rabbits in the second row and see what patterns emerge. Two of the numbers have trailing zeros – 20 rabbits in the fourth cell and 30 in the fifth cell. But there are no numbers ending in 5. And since the only way to get a number ending in 5 through multiplication is by starting with a number ending in 5, there won’t be any more down the line either. That means we only need to worry about the numbers that have trailing zeros themselves. And a neat trick to figure out the amount of trailing zeros in a product is to count and add the trailing zeros in each of the factors – for example, 10 x 100 = 1,000.
Calculemos o número de coelhos na segunda fila e vejamos qual é o padrão que surge. Dois dos números têm zeros à direita — 20 coelhos na quarta cela e 30 coelhos na quinta cela. Mas não há números terminados em 5. Como a única maneira de obter um número terminado em 5, através da multiplicação, é começar com um número terminado em 5, não haverá nenhum na linha seguinte. Por isso, só precisamos de nos preocupar com os números que têm zeros à direita. Um bom truque para ver a quantidade de zeros à direita num produto é contar e somar os zeros à direita em cada um dos fatores — por exemplo, 10 x 100 = 1000.
So let’s take the numbers in the fourth and fifth cells and multiply down from there. 20 and 30 each have one zero, so the product of both cells will have two trailing zeros, while the product of either cell and an adjacent non-zero-ending cell will have only one. When we continue all the way down, we end up with 35 zeros in the bottom cell. And if you’re not too stressed about the potential nano-rabbit apocalypse, you might notice that counting the zeros this way forms part of Pascal’s triangle.
Então, vejamos os números da quarta e da quinta células e multipliquemos a partir daí. 20 e 30 têm um zero, cada um, portanto o produto de ambas as células terão dois zeros à direita, enquanto o produto de cada célula por uma célula adjacente que não acabe num zero terá só um zero. Quando continuamos por ali abaixo, acabamos com 35 zeros na célula de baixo. E, se não estiveres muito nervoso com o possível apocalipse dos nano-coelhos, talvez repares que contar os zeros deste modo faz parte do triângulo de Pascal.
Adding those 35 zeros to the 46 digit number we had before yields an 81 digit number – too big for the habitat to contain! You rush over and pull the emergency switch just as the seventh generation of rabbits was about to mature – hare-raisingly close to disaster.
Se acrescentarmos 35 zeros ao número de 46 algarismos que já tínhamos resulta um número de 81 algarismos — demasiado grande para caber no "habitat". Apressas-te a acionar a alavanca de emergência mesmo quando a sétima geração de coelhos está a tornar-se adulta, evitando assim o desastre.