After years of experiments, you’ve finally created the pets of the future– nano-rabbits! They’re tiny, they’re fuzzy… and they multiply faster than the eye can see.
Dopo anni di esperimenti avete finalmente creato gli animali del futuro: i nano-conigli! Sono piccoli, pelosetti e si moltiplicano più velocemente di quanto l’occhio possa percepire.
In your lab there are 36 habitat cells, arranged in an inverted pyramid, with 8 cells in the top row. The first has one rabbit, the second has two, and so on, with eight rabbits in the last one. The other rows of cells are empty… for now. The rabbits are hermaphroditic, and each rabbit in a given cell will breed once with every rabbit in the horizontally adjacent cells, producing exactly one offspring each time. The newborn rabbits will drop into the cell directly below the two cells of its parents, and within minutes will mature and reproduce in turn. Each cell can hold 10^80 nano-rabbits – that’s a 1 followed by 80 zeros – before they break free and overrun the world. Your calculations have given you a 46-digit number for the count of rabbits in the bottom cell– plenty of room to spare.
Nel vostro laboratorio ci sono 36 habitat sistemati a piramide inversa con 8 celle nella parte alta. La prima ha un coniglio, la seconda due, e così via, con otto conigli nell’ultima. Le altre file sono vuote per ora. I conigli sono ermafroditi e ognuno di loro, in ogni cella, si accoppierà una volta con ogni coniglio delle celle orizzontali adiacenti, dando vita a un solo figlio ogni volta. I conigli appena nati verranno messi nella cella subito sotto alle due celle dei loro genitori ed entro alcuni minuti diventeranno adulti e si riprodurranno a loro volta. Ogni cella può contenere 10^80 nano-conigli, cioè un 1 seguito da 80 zeri, prima che questi si liberino e invadano il mondo. I vostri calcoli vi hanno portato a un numero da 46 cifre per il totale dei conigli nella cella inferiore, c’è ancora molto spazio libero.
But just as you pull the lever to start the experiment, your assistant runs in with terrible news. A rival lab has sabotaged your code so that all the zeros at the end of your results got cut off. That means you don’t actually know if the bottom cell will be able to hold all the rabbits – and the reproduction is already underway! To make matters worse, your devices and calculators are all malfunctioning, so you only have a few minutes to work it out by hand. How many trailing zeros should there be at the end of the count of rabbits in the bottom habitat? And do you need to pull the emergency shut-down lever?
Ma appena si tira la leva per iniziare l’esperimento l’assistente irrompe nella stanza con notizie terribili. Un laboratorio rivale ha manomesso il codice e tutti gli zeri alla fine dei risultati sono stati cancellati. Ciò significa che non si sa con certezza se la cella inferiore è in grado di contenere tutti i conigli e la riproduzione è già in corso! A peggiorare le cose, i dispositivi e i calcolatori non funzionano molto bene quindi si hanno pochi minuti per cavarsela con le proprie mani. Quanti zeri finali dovrebbero esserci alla fine del numero di conigli nell’habitat inferiore? Bisogna tirare la leva di emergenza che causa lo spegnimento della macchina?
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Mettete in pausa il video per trovare la risposta da soli.
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There isn’t enough time to calculate the exact number of rabbits in the final cell. The good news is we don’t need to. All we need to figure out is how many trailing zeros it has.
Non c’è abbastanza tempo per calcolare l’esatto numero di conigli della cella. La buona notizia è che non dobbiamo farlo. Tutto ciò che ci serve è il numero di zeri finali.
But how can we know how many trailing zeros a number has without calculating the number itself? What we do know is that we arrive at the number of rabbits in the bottom cell through a process of multiplication – literally. The number of rabbits in each cell is the product of the number of rabbits in each of the two cells above it. And there are only two ways to get numbers with trailing zeros through multiplication: either multiplying a number ending in 5 by any even number, or by multiplying numbers that have trailing zeroes themselves.
Ma come possiamo scoprire quanti ne ha senza calcolare il numero stesso? Ciò che sappiamo è che arriviamo al numero di conigli nella cella inferiore attraverso un processo di moltiplicazione, letteralmente. Il numero di conigli di ogni cella è il prodotto del numero di conigli in ognuna delle due celle sopra di essa. E ci sono solo due modi per ottenere numeri con zeri finali attraverso la moltiplicazione: o moltiplicando un numero che finisce per 5 con qualunque numero pari o moltiplicando dei numeri che abbiano proprio degli zeri finali.
Let’s calculate the number of rabbits in the second row and see what patterns emerge. Two of the numbers have trailing zeros – 20 rabbits in the fourth cell and 30 in the fifth cell. But there are no numbers ending in 5. And since the only way to get a number ending in 5 through multiplication is by starting with a number ending in 5, there won’t be any more down the line either. That means we only need to worry about the numbers that have trailing zeros themselves. And a neat trick to figure out the amount of trailing zeros in a product is to count and add the trailing zeros in each of the factors – for example, 10 x 100 = 1,000.
Calcoliamo il numero di conigli nella seconda riga e vediamo che schema emerge. Due numeri hanno degli zero finali, 20 conigli nella quarta cella e 30 nella quinta. Ma non ci sono numeri che finiscono per 5. Dato che l’unico modo per avere un numero che finisce con 5 con la moltiplicazione è iniziare con un numero che finisce con 5, non ce ne saranno più neanche più in basso. Ciò significa che bisogna pensare solo ai numeri che hanno degli zero finali. E un trucchetto per scoprire quanti zero finali ha un prodotto è contare e aggiungere gli zero finali di ognuno dei fattori, per esempio, 10 x 100 = 1.000.
So let’s take the numbers in the fourth and fifth cells and multiply down from there. 20 and 30 each have one zero, so the product of both cells will have two trailing zeros, while the product of either cell and an adjacent non-zero-ending cell will have only one. When we continue all the way down, we end up with 35 zeros in the bottom cell. And if you’re not too stressed about the potential nano-rabbit apocalypse, you might notice that counting the zeros this way forms part of Pascal’s triangle.
Prendiamo i numeri della quarta e della quinta cella e moltiplichiamo per difetto a partire da lì. 20 e 30 hanno uno zero ognuno, quindi il prodotto di entrambe le celle avrà due zero finali, mentre il prodotto di una delle due celle con quello di una adiacente senza zeri ne avrà solo uno. Continuando fino in fondo, finiamo con 35 zeri nell’ultima cella. E se non siete troppo stressati da una potenziale apocalisse di nano-conigli, potreste notare che contare gli zeri in questo modo forma parte del triangolo di Pascal.
Adding those 35 zeros to the 46 digit number we had before yields an 81 digit number – too big for the habitat to contain! You rush over and pull the emergency switch just as the seventh generation of rabbits was about to mature – hare-raisingly close to disaster.
Aggiungendo questi 35 zeri al numero da 46 cifre di prima otteniamo un numero da 81 cifre, troppo grande per l’ultimo habitat! Vi precipitate alla leva e la tirate proprio quando la settima generazione di conigli stava per diventare adulta, ecco come allevare lepri con destinazione disastro.