After years of experiments, you’ve finally created the pets of the future– nano-rabbits! They’re tiny, they’re fuzzy… and they multiply faster than the eye can see.
אחרי שנים של ניסויים, יצרתם לבסוף את חיית המחמד של העתיד -- ננו ארנבים! הם זעירים, הם פאזיים... והם מתרבים מהר יותר משהעין יכולה לראות.
In your lab there are 36 habitat cells, arranged in an inverted pyramid, with 8 cells in the top row. The first has one rabbit, the second has two, and so on, with eight rabbits in the last one. The other rows of cells are empty… for now. The rabbits are hermaphroditic, and each rabbit in a given cell will breed once with every rabbit in the horizontally adjacent cells, producing exactly one offspring each time. The newborn rabbits will drop into the cell directly below the two cells of its parents, and within minutes will mature and reproduce in turn. Each cell can hold 10^80 nano-rabbits – that’s a 1 followed by 80 zeros – before they break free and overrun the world. Your calculations have given you a 46-digit number for the count of rabbits in the bottom cell– plenty of room to spare.
במעבדה שלכם יש 36 תאי מחיה, מאורגנים בפירמידה הפוכה, עם 8 תאים בשורה העליונה. בראשון יש ארנב אחד, בשני שניים, וכך הלאה, עם שמונה ארנבים באחרון. שורות התאים האחרות ריקות. בינתיים. הארנבים הרמפרודיטים, וכל ארנב בתא נתון יכול להתרבות פעם אחת עם כל ארנב בתא מקביל אופקית, כשהם מייצרים בדיוק צאצא אחד כל פעם. הארנבים שנולדו יפלו לתא ישירות מתחת לשני התאים של ההורים שלהם, ותוך דקות יתבגרו ויתרבו בתורם. כל תא יכול להחזיק 80^10 ננו ארנבים -- זה אחד ואחריו 80 אפסים -- לפני שהם יברחו וישתלטו על העולם. החישובים שלכם נתנו לכם מספר בן 46 ספרות למספר הארנבים בתא התחתון -- הרבה מקום פנוי.
But just as you pull the lever to start the experiment, your assistant runs in with terrible news. A rival lab has sabotaged your code so that all the zeros at the end of your results got cut off. That means you don’t actually know if the bottom cell will be able to hold all the rabbits – and the reproduction is already underway! To make matters worse, your devices and calculators are all malfunctioning, so you only have a few minutes to work it out by hand. How many trailing zeros should there be at the end of the count of rabbits in the bottom habitat? And do you need to pull the emergency shut-down lever?
אבל כשאתם מושכים בידית כדי להתחיל את הניסוי, העוזר שלכם רץ עם חדשות נוראיות. מעבדה מתחרה חיבלה בקוד שלכם כך שהאפסים בסוף התוצאה שלכם נחתכו. זה אומר שאתם לא יודעים למעשה אם התא התחתון יהיה מסוגל להחזיק את כל הארנבים -- וההתרבות כבר החלה! ויותר גרוע, המכשירים והמחשבונים שלכם כולם לא עובדים, אז יש לכם רק דקות כדי לחשב את זה ידנית. כמה אפסים עוקבים צריכים להיות שם בסוף ספירת הארנבים בתא התחתון? והאם אתם צריכים למשוך את ידית עצירת החרום?
Pause the video now if you want to figure it out for yourself.
עצרו את הסרטון פה אם אתם רוצים לגלות בעצמכם.
Answer in 3
תשובה עוד 3
Answer in 2
תשובה עוד 2
Answer in 1
תשובה עוד 1
There isn’t enough time to calculate the exact number of rabbits in the final cell. The good news is we don’t need to. All we need to figure out is how many trailing zeros it has.
אין מספיק זמן לחשב את המספר המדוייק של ארנבים בתא האחרון, החדשות הטובות הם שאנחנו לא צריכים. כל מה שאנחנו צריכים להבין זה כמה אפסים עוקבים יש לו.
But how can we know how many trailing zeros a number has without calculating the number itself? What we do know is that we arrive at the number of rabbits in the bottom cell through a process of multiplication – literally. The number of rabbits in each cell is the product of the number of rabbits in each of the two cells above it. And there are only two ways to get numbers with trailing zeros through multiplication: either multiplying a number ending in 5 by any even number, or by multiplying numbers that have trailing zeroes themselves.
אבל איך אנחנו יכולים לדעת כמה אפסים עוקבים יש למספר בלי לחשב את המספר עצמו? מה שאנחנו יודעים זה שהגענו למספר הארנבים בתא התחתון דרך תהליך של כפל -- באופן מילולי. מספר הארנבים בכל תא הוא התוצאה של מספר הארנבים בכל שני תאים מעליו. ויש רק שתי דרכים לקבל מספרים עם אפסים עוקבים דרך כפל: או בהכפלת מספר שמסתיים ב 5 בכל מספר זוגי, או בהכפלת מספרים שיש להם אפסים עוקבים בעצמם.
Let’s calculate the number of rabbits in the second row and see what patterns emerge. Two of the numbers have trailing zeros – 20 rabbits in the fourth cell and 30 in the fifth cell. But there are no numbers ending in 5. And since the only way to get a number ending in 5 through multiplication is by starting with a number ending in 5, there won’t be any more down the line either. That means we only need to worry about the numbers that have trailing zeros themselves. And a neat trick to figure out the amount of trailing zeros in a product is to count and add the trailing zeros in each of the factors – for example, 10 x 100 = 1,000.
הבה נחשב את מספר הארנבים בשורה השניה ונראה איזה תבניות עולות. לשניים מהמספרים יש אפסים עוקבים -- 20 ארנבים בתא הרביעי ו 30 בחמישי. אבל אין מספרים שמסתיימים ב 5. ומאחר ששתי הדרכים היחידות לקבל מספר שמסתיים ב 5 דרך כפל הן להתחיל עם מספר שמסתיים ב 5, לא יהיו יותר כאלה במורד הדרך. זה אומר שאנחנו צריכים רק לדאוג למספרים שיש להם אפסים עוקבים בעצמם. וטריק נחמד להבין את כמות האפסים העוקבים בתוצאה היא לספור ולחבר את האפסים העוקבים בכל אחד מהגורמים -- לדוגמה, 10 * 100 = 1000.
So let’s take the numbers in the fourth and fifth cells and multiply down from there. 20 and 30 each have one zero, so the product of both cells will have two trailing zeros, while the product of either cell and an adjacent non-zero-ending cell will have only one. When we continue all the way down, we end up with 35 zeros in the bottom cell. And if you’re not too stressed about the potential nano-rabbit apocalypse, you might notice that counting the zeros this way forms part of Pascal’s triangle.
אז הבה נביט במספרים בתאים הרביעי והחמישי ונכפיל למטה משם. 20 ו 30 לכל אחד יש אפס אחד, אז לתוצאה של שני התאים יהיו שני אפסים עוקבים, בעוד התוצאה של כל תא והתאים הסמוכים ללא אפסים עוקבים יהיה רק אחד. כשנמשיך כל הדרך למטה, אנחנו מגיעים ל 35 אפסים בתא התחתון. ואם אתם לא לחוצים מדי בנוגע לאפוקליפסת ננו ארנבים פוטנציאלית, אולי תשימו לב שספירת האפסים בדרך זו יוצרת חלק ממשולש פסקל.
Adding those 35 zeros to the 46 digit number we had before yields an 81 digit number – too big for the habitat to contain! You rush over and pull the emergency switch just as the seventh generation of rabbits was about to mature – hare-raisingly close to disaster.
הוספת 35 האפסים למספר בן 46 הספרות מקודם יתן מספר בן 81 ספרות -- גדול מדי מכפי שאזור המחיה של הארנבים יכול להכיל! אתם ממהרים ומושכים את ידית החרום בדיוק כשהדור השביעי של הארנבים עומד להתבגר -- קרוב באופן מסמר שיער לאסון.