After years of experiments, you’ve finally created the pets of the future– nano-rabbits! They’re tiny, they’re fuzzy… and they multiply faster than the eye can see.
Après des années de recherche, vous venez de créer l'animal domestique de l'avenir : le nano-lapin. Il est tout petit, tout doux... et se multiplie plus vite que son ombre.
In your lab there are 36 habitat cells, arranged in an inverted pyramid, with 8 cells in the top row. The first has one rabbit, the second has two, and so on, with eight rabbits in the last one. The other rows of cells are empty… for now. The rabbits are hermaphroditic, and each rabbit in a given cell will breed once with every rabbit in the horizontally adjacent cells, producing exactly one offspring each time. The newborn rabbits will drop into the cell directly below the two cells of its parents, and within minutes will mature and reproduce in turn. Each cell can hold 10^80 nano-rabbits – that’s a 1 followed by 80 zeros – before they break free and overrun the world. Your calculations have given you a 46-digit number for the count of rabbits in the bottom cell– plenty of room to spare.
Votre labo est équipé de 36 cages, positionnées en pyramide inversée. Il y a huit cages sur la rangée du haut. Dans la première cage, il y a un lapin. Dans la deuxième, deux lapins et ainsi de suite. Il y a donc huit lapins dans la dernière cage. Toutes les autres rangées sont vides, pour l'instant. Les lapins sont hermaphrodites et chacun d'eux dans une cellule donnée se reproduira une fois avec chaque lapin dans les cellules adjacentes sur le plan horizontal. Il procréera précisément un rejeton à chaque fois. Les lapins nouveaux-nés seront logés dans une cage directement en dessous de celles de leurs parents. En quelques instants, il deviendra pubère et pourra se reproduire aussi. Chaque cage peut contenir un nombre de lapins de 10 puissance 80, soit, 1 suivi par 80 zéros, avant qu'ils ne s'échappent et envahissent le monde. Selon vos estimations, on obtient un nombre de 46 chiffres de lapins dans la cellule du bas. Il reste encore plein d'espace.
But just as you pull the lever to start the experiment, your assistant runs in with terrible news. A rival lab has sabotaged your code so that all the zeros at the end of your results got cut off. That means you don’t actually know if the bottom cell will be able to hold all the rabbits – and the reproduction is already underway! To make matters worse, your devices and calculators are all malfunctioning, so you only have a few minutes to work it out by hand. How many trailing zeros should there be at the end of the count of rabbits in the bottom habitat? And do you need to pull the emergency shut-down lever?
Alors que vous allez ouvrir les cages pour commencer votre expérience, votre technicien accourt avec une terrible nouvelle. Un laboratoire concurrent vient de saboter le code et le système efface tous les zéros à la fin des résultats obtenus. Bref, vous ne savez pas exactement si la cellule dans le bas de la pyramide, pourra contenir tous les lapins. Mais la reproduction a déjà commencé. Pour ne rien arranger, vos équipements et systèmes analytiques ne fonctionnent plus bien. Il ne vous reste plus qu'à faire le calcul à la main. Combien de zéros devrait-il y avoir à droite du nombre final de lapin dans la dernière cellule du bas ? Devriez-vous interrompre l'expérience en urgence ?
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Answer in 3
Solution dans 3 secondes.
Answer in 2
Solution dans 2 secondes.
Answer in 1
Solution dans 1 seconde.
There isn’t enough time to calculate the exact number of rabbits in the final cell. The good news is we don’t need to. All we need to figure out is how many trailing zeros it has.
On n'a pas le temps de calculer le nombre exact de lapins dans la dernière cage. Bonne nouvelle : ce n'est pas nécessaire. Nous devons simplement estimer le nombre de zéros à droite. Mais comment faire pour déterminer ça
But how can we know how many trailing zeros a number has without calculating the number itself? What we do know is that we arrive at the number of rabbits in the bottom cell through a process of multiplication – literally. The number of rabbits in each cell is the product of the number of rabbits in each of the two cells above it. And there are only two ways to get numbers with trailing zeros through multiplication: either multiplying a number ending in 5 by any even number, or by multiplying numbers that have trailing zeroes themselves.
sans calculer le nombre lui-même ? Nous savons que nous obtenons un nombre de lapins dans la dernière cage par un processus de multiplication, littéralement. Le nombre de lapins dans chaque cage est le produit du nombre de lapins dans les deux cages au-dessus de celle-ci. Or il n'y a que deux manières d'obtenir des zéros à droite dans les multiplications. Soit on multiplie par un nombre pair un nombre qui se termine par 5, soit on multiplie des nombres qui se terminent avec des zéros. Calculons le nombre de lapins dans la deuxième rangée.
Let’s calculate the number of rabbits in the second row and see what patterns emerge. Two of the numbers have trailing zeros – 20 rabbits in the fourth cell and 30 in the fifth cell. But there are no numbers ending in 5. And since the only way to get a number ending in 5 through multiplication is by starting with a number ending in 5, there won’t be any more down the line either. That means we only need to worry about the numbers that have trailing zeros themselves. And a neat trick to figure out the amount of trailing zeros in a product is to count and add the trailing zeros in each of the factors – for example, 10 x 100 = 1,000.
Il y a une règle qui émerge. Deux des nombres ont des zéros à droite. Il y a respectivement 20 et 30 lapins dans les 4ème et 5ème cages. Mais aucun nombre ne se termine par 5. Sachant qu'une multiplication qui a comme résultat en un nombre qui se termine par 5 doit contenir un 5 dans ses facteurs, cette option est éliminée. Nous devons donc nous concentrer sur les nombres avec des zéros à droite. L'astuce pour déterminer dans un produit le nombre de zéros à droite consiste à compter le nombre de zéros dans chaque facteur. Par exemple, 10 x 100 = 1 000.
So let’s take the numbers in the fourth and fifth cells and multiply down from there. 20 and 30 each have one zero, so the product of both cells will have two trailing zeros, while the product of either cell and an adjacent non-zero-ending cell will have only one. When we continue all the way down, we end up with 35 zeros in the bottom cell. And if you’re not too stressed about the potential nano-rabbit apocalypse, you might notice that counting the zeros this way forms part of Pascal’s triangle.
Prenons les nombres des 4ème et 5ème cages et commençons la multiplication. 20 et 30 ont chacun un zéro. Dès lors, le produit des deux cellules contiendra deux zéros à droite. Le produit entre ces cellules et leur cellule voisine respective, qui ne se termine pas par un zéro, contiendra un seul zéro à droite. Si on continue ainsi jusqu'en bas, nous obtenons 35 zéros dans la cellule du bas. Si l'éventuelle apocalypse causée par les nano-lapins ne vous distrait pas, vous remarquerez qu'en comptant les zéros de cette manière,
Adding those 35 zeros to the 46 digit number we had before yields an 81 digit number – too big for the habitat to contain! You rush over and pull the emergency switch just as the seventh generation of rabbits was about to mature – hare-raisingly close to disaster.
on forme une partie du triangle de Pascal. Quand on additionne ces 35 zéros au nombre de 46 chiffres précédent, on obtient un nombre à 81 chiffres, qui dépasse la capacité de l'habitat. Vous vous précipitez sur la prise de sécurité juste avant que la 7ème génération de lapins n'arrive à maturité,