After years of experiments, you’ve finally created the pets of the future– nano-rabbits! They’re tiny, they’re fuzzy… and they multiply faster than the eye can see.
پس از سالها آزمایش، بالاخره حیوانات خانگی آینده را ساختهاید - خرگوشهای نانو! آنها کوچک هستند، کرکی هستند ... و سریعتر از آنکه چشم بتواند ببیند تکثیر میشوند.
In your lab there are 36 habitat cells, arranged in an inverted pyramid, with 8 cells in the top row. The first has one rabbit, the second has two, and so on, with eight rabbits in the last one. The other rows of cells are empty… for now. The rabbits are hermaphroditic, and each rabbit in a given cell will breed once with every rabbit in the horizontally adjacent cells, producing exactly one offspring each time. The newborn rabbits will drop into the cell directly below the two cells of its parents, and within minutes will mature and reproduce in turn. Each cell can hold 10^80 nano-rabbits – that’s a 1 followed by 80 zeros – before they break free and overrun the world. Your calculations have given you a 46-digit number for the count of rabbits in the bottom cell– plenty of room to spare.
در آزمایشگاه شما ۳۶ سلول زیستگاه هست، که در یک هرم برعکس چیده شدهاند، و در بالاترین ردیف ۸ سلول وجود دارد. اولی یک خرگوش دارد، دومی دوتا، و به همین ترتیب، تا آخری که هشت خرگوش دارد. در ردیفهای دیگر سلولها خالی هستند ... فعلاً. خرگوشها نرماده هستند، و هر خرگوش در هر سلول یک بار با تمام خرگوشهایی که در سلولهای افقی مجاور هستند جفتگیری میکند، و هر بار دقیقاً یک بچه به دنیا میآورد. نوزاد خرگوش داخل سلولی قرار میگیرد که درست زیر سلولهای والدینش است، و در چند دقیقه بالغ میشود و خودش شروع به تولیدمثل میکند. هر سلول میتواند ۱۰ به توان ۸۰ خرگوش نانو را در خود جای دهد - یعنی یک و ۸۰ صفر جلوی آن - پیش از آنکه فرار کنند و دنیا را بگیرند. در محاسباتتان برای تعداد خرگوشهای ردیف آخر به عددی ۴۶ رقمی رسیدهاید - خیلی جا دارد.
But just as you pull the lever to start the experiment, your assistant runs in with terrible news. A rival lab has sabotaged your code so that all the zeros at the end of your results got cut off. That means you don’t actually know if the bottom cell will be able to hold all the rabbits – and the reproduction is already underway! To make matters worse, your devices and calculators are all malfunctioning, so you only have a few minutes to work it out by hand. How many trailing zeros should there be at the end of the count of rabbits in the bottom habitat? And do you need to pull the emergency shut-down lever?
اما وقتی اهرم را میکشید تا آزمایش شروع شود، دستیارتان با اخباری بسیار بد داخل میشود. آزمایشگاه رقیب در کد شما خرابکاری کرده و تمام صفرهای آخر نتایج شما حذف شدهاند. این یعنی در واقع نمیدانید ردیف آخر خواهد توانست همه خرگوشها را نگهدارد یا نه - و تولیدمثل هم شروع شده است! برای اینکه اوضاع بدتر شود، تمام دستگاهها و ماشینحسابهایتان خراب شدهاند، و فقط چند دقیقه وقت دارید تا دستی مسئله را حل کنید. چند صفر باید به دنبال تعداد خرگوشها در ردیف آخر بیاید؟ و باید اهرم توقف اضطراری را بکشید یا نه؟
Pause the video now if you want to figure it out for yourself.
اگر میخواهید خودتان معما را حل کنید ویدیو را اینجا متوقف کنید.
Answer in 3
جواب در ۳
Answer in 2
جواب در ۲
Answer in 1
جواب در ۱
There isn’t enough time to calculate the exact number of rabbits in the final cell. The good news is we don’t need to. All we need to figure out is how many trailing zeros it has.
وقت برای محاسبه دقیق تعداد خرگوشها در سلول آخر تنگ است. خبر خوب اینکه لازم هم نیست. تمام چیزی که باید پیدا کنیم تعداد صفرهای جلوی آن است.
But how can we know how many trailing zeros a number has without calculating the number itself? What we do know is that we arrive at the number of rabbits in the bottom cell through a process of multiplication – literally. The number of rabbits in each cell is the product of the number of rabbits in each of the two cells above it. And there are only two ways to get numbers with trailing zeros through multiplication: either multiplying a number ending in 5 by any even number, or by multiplying numbers that have trailing zeroes themselves.
اما بدون محاسبه یک عدد از کجا بفهمیم چند صفر جلوی آن هست؟ چیزی که میدانیم این است که از طریق یک فرایند ضرب به تعداد خرگوشهای سلول پایینی میرسیم - در واقع. تعداد خرگوشهای هر سلول حاصل ضرب تعداد خرگوشهای موجود در دو سلول بالای آن است. و فقط دو راه هست که از طریق ضرب به عددی منتهی به صفر برسیم: یا باید عددی منتهی به ۵ را در عددی زوج ضرب کنیم، یا با ضرب اعدادی که خود به صفر منتهی میشوند.
Let’s calculate the number of rabbits in the second row and see what patterns emerge. Two of the numbers have trailing zeros – 20 rabbits in the fourth cell and 30 in the fifth cell. But there are no numbers ending in 5. And since the only way to get a number ending in 5 through multiplication is by starting with a number ending in 5, there won’t be any more down the line either. That means we only need to worry about the numbers that have trailing zeros themselves. And a neat trick to figure out the amount of trailing zeros in a product is to count and add the trailing zeros in each of the factors – for example, 10 x 100 = 1,000.
بیایید تعداد خرگوشهای ردیف دوم را حساب کنیم و ببینیم چه الگویی ظاهر میشود. دوتا از عددها به صفر ختم میشوند - ۲۰ خرگوش در سلول چهارم و ۳۰ تا در سلول پنجم. اما هیچ عددی به پنج ختم نشده است. و از آنجا که تنها راه رسیدن به عددی منتهی به ۵ از طریق ضرب شروع کردن با عددی است که به ۵ ختم میشود، در ادامه هم به وجود نخواهد آمد. این یعنی فقط باید نگران اعدادی باشیم که خود به صفر ختم شدهاند. و یک حقه تمیز برای پیدا کردن تعداد صفرهای جلوی یک عدد در ضرب شمردن و جمع زدن تعداد صفرهای هر یک از عوامل ضرب است - مثلاً ۱۰x۱۰۰=۱٫۰۰۰.
So let’s take the numbers in the fourth and fifth cells and multiply down from there. 20 and 30 each have one zero, so the product of both cells will have two trailing zeros, while the product of either cell and an adjacent non-zero-ending cell will have only one. When we continue all the way down, we end up with 35 zeros in the bottom cell. And if you’re not too stressed about the potential nano-rabbit apocalypse, you might notice that counting the zeros this way forms part of Pascal’s triangle.
پس بیایید اعداد سلول چهارم و پنجم را برداریم و ضرب کنیم و پایین برویم. ۲۰ و ۳۰ هر کدام یک صفر دارند، پس ضرب این دو سلول به دو صفر ختم خواهد شد، در حالی که ضرب هر یک از آنها با یک سلول منتهی به غیر صفر کناری تنها یک صفر خواهد داشت. وقتی تا پایین ادامه میدهیم، در سلول پایینی به ۳۵ صفر میرسیم. و اگر خیلی درباره آخرالزمان نانوخرگوشی نگران نباشید، ممکن است متوجه شوید که شمارش صفرها به این صورت بخشی از مثلث پاسکال را شکل میدهد.
Adding those 35 zeros to the 46 digit number we had before yields an 81 digit number – too big for the habitat to contain! You rush over and pull the emergency switch just as the seventh generation of rabbits was about to mature – hare-raisingly close to disaster.
با اضافه کردن این ۳۵ صفر به عدد ۴۶ رقمی که پیشتر داشتیم عددی ۸۱ رقمی به وجود میآورد - خیلی بیشتر از ظرفیت محفظه است! به سرعت میروید و اهرم اضطراری را میکشید دقیقا زمانی که نسل هفتم خرگوشها در حال بالغ شدن بود - پرورش خرگوش نزدیک بود به فاجعه ختم شود.