After years of experiments, you’ve finally created the pets of the future– nano-rabbits! They’re tiny, they’re fuzzy… and they multiply faster than the eye can see.
Tras años de experimentos, finalmente has creado las mascotas del futuro: ¡los nanoconejos! Son pequeños, peluditos... y se multiplican más rápido de lo observable a simple vista.
In your lab there are 36 habitat cells, arranged in an inverted pyramid, with 8 cells in the top row. The first has one rabbit, the second has two, and so on, with eight rabbits in the last one. The other rows of cells are empty… for now. The rabbits are hermaphroditic, and each rabbit in a given cell will breed once with every rabbit in the horizontally adjacent cells, producing exactly one offspring each time. The newborn rabbits will drop into the cell directly below the two cells of its parents, and within minutes will mature and reproduce in turn. Each cell can hold 10^80 nano-rabbits – that’s a 1 followed by 80 zeros – before they break free and overrun the world. Your calculations have given you a 46-digit number for the count of rabbits in the bottom cell– plenty of room to spare.
En tu laboratorio hay 36 celdas, dispuestas en forma de pirámide invertida, con ocho celdas en la fila superior. La primera tiene un conejo, la segunda tiene dos, y así sucesivamente hasta llegar a ocho conejos en la última celda. El resto de las celdas están vacías... de momento. Los conejos son hermafroditas, y cada conejo de cada celda se reproducirá una vez con cada conejo de la celda adyacente en la fila horizontal, dando a luz exactamente a una cría por vez. Los conejos recién nacidos caerán en la celda ubicada inmediatamente debajo de las dos celdas de sus padres, alcanzarán la madurez en minutos, y se reproducirán a su turno. Cada celda puede alojar 10^80 nanoconejos, es decir, un 1 seguido de 80 ceros, antes de que escapen y dominen el mundo. Tus cálculos te han dado un número de 46 dígitos al contabilizar los conejos de la última celda. Hay espacio de sobra.
But just as you pull the lever to start the experiment, your assistant runs in with terrible news. A rival lab has sabotaged your code so that all the zeros at the end of your results got cut off. That means you don’t actually know if the bottom cell will be able to hold all the rabbits – and the reproduction is already underway! To make matters worse, your devices and calculators are all malfunctioning, so you only have a few minutes to work it out by hand. How many trailing zeros should there be at the end of the count of rabbits in the bottom habitat? And do you need to pull the emergency shut-down lever?
Tan pronto como tiras de la palanca para empezar el experimento, tu asistente llega con una noticia espantosa. Un laboratorio rival ha saboteado tu código para eliminar todos los ceros finales de tus resultados. Eso quiere decir que realmente no sabes si la última celda podrá alojar todos los conejos, y ya se están reproduciendo. Para empeorar las cosas, todos tus dispositivos y calculadoras no funcionan correctamente, así que solo tienes unos minutos para hacer el cálculo a mano. ¿Cuántos ceros debería haber al final del número de conejos en la última celda? Y ¿necesitas tirar de la palanca de emergencia para detener el experimento?
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Answer in 3
[La respuesta en 3]
Answer in 2
[La respuesta en 2]
Answer in 1
[La respuesta en 1]
There isn’t enough time to calculate the exact number of rabbits in the final cell. The good news is we don’t need to. All we need to figure out is how many trailing zeros it has.
No hay tiempo suficiente para calcular la cifra exacta de conejos en la última celda. La buena noticia es que no hace falta. Lo único que necesitamos saber es cuántos ceros tiene a la derecha.
But how can we know how many trailing zeros a number has without calculating the number itself? What we do know is that we arrive at the number of rabbits in the bottom cell through a process of multiplication – literally. The number of rabbits in each cell is the product of the number of rabbits in each of the two cells above it. And there are only two ways to get numbers with trailing zeros through multiplication: either multiplying a number ending in 5 by any even number, or by multiplying numbers that have trailing zeroes themselves.
Pero ¿cómo podemos saber cuántos ceros tiene un número al final sin calcular el número en cuestión? Lo que sabemos es que para obtener el número de conejos en la última celda debe hacerse una multiplicación... literalmente. El número de conejos en cada celda es el producto del número de conejos en cada una de las dos celdas superiores. Y solo hay dos formas de obtener un resultado con ceros finales mediante una multiplicación. O multiplicando un número que acabe en 5 por otro número par cualquiera, o multiplicando números que acaben en cero.
Let’s calculate the number of rabbits in the second row and see what patterns emerge. Two of the numbers have trailing zeros – 20 rabbits in the fourth cell and 30 in the fifth cell. But there are no numbers ending in 5. And since the only way to get a number ending in 5 through multiplication is by starting with a number ending in 5, there won’t be any more down the line either. That means we only need to worry about the numbers that have trailing zeros themselves. And a neat trick to figure out the amount of trailing zeros in a product is to count and add the trailing zeros in each of the factors – for example, 10 x 100 = 1,000.
Calculemos el número de conejos de la segunda fila y veamos si existe un patrón. Dos de los números acaban en cero: 20 conejos en la cuarta celda y 30 en la quinta celda. Pero no hay números que acaben en 5. Y como la única forma de obtener un número que acabe en 5 mediante una multiplicación es partiendo de un número que acabe en 5, tampoco los habrá más adelante. Solo tenemos que fijarnos, pues, en los números que terminen en cero. Un buen truco para saber la cantidad de ceros finales en un producto es contar los ceros a la derecha de cada uno de los factores y sumarlos, por ejemplo: 10 x 100 = 1000.
So let’s take the numbers in the fourth and fifth cells and multiply down from there. 20 and 30 each have one zero, so the product of both cells will have two trailing zeros, while the product of either cell and an adjacent non-zero-ending cell will have only one. When we continue all the way down, we end up with 35 zeros in the bottom cell. And if you’re not too stressed about the potential nano-rabbit apocalypse, you might notice that counting the zeros this way forms part of Pascal’s triangle.
Tomemos entonces los números de la cuarta y quinta celda y multipliquemos a partir de allí. El 20 y el 30 tienen un cero cada uno, así que el producto de ambas celdas tendrá dos ceros a la derecha, en tanto que el producto de una de ellas y su celda adyacente no terminada en cero solo tendrá un solo cero al final. A medida que seguimos multiplicando, obtendremos 35 ceros en la última celda. Y si no estás demasiado preocupado por el potencial apocalipsis de nanoconejos, podrás darte cuenta de que contando los ceros de esta forma se forma una parte del triángulo de Pascal.
Adding those 35 zeros to the 46 digit number we had before yields an 81 digit number – too big for the habitat to contain! You rush over and pull the emergency switch just as the seventh generation of rabbits was about to mature – hare-raisingly close to disaster.
Cuando añadimos esos 35 ceros al número de 46 dígitos inicial, obtenemos un número de 81 cifras, demasiado grande para que quepa en la celda. Te apresuras y tiras de la palanca de emergencia justo cuando la séptima generación estaba a punto de llegar a la madurez, y evitas el desastre.