След години експерименти, най-сетне сте изобретили домашните любимци на бъдещето - нано зайци! Те са малки, те са пухкави... и се множат по-бързо, от колкото може да види човешкото око.
After years of experiments, you’ve finally created the pets of the future– nano-rabbits! They’re tiny, they’re fuzzy… and they multiply faster than the eye can see.
Във вашата алборатория има 36 клетки, подредени в обърната пирамида, с осем клетки на най-горния ред. Първата има един заек, втората два и така нататък, до осем заека в последната. Останалите редове клетки са празни... за сега. Зайците са хермафродитни, а всеки заек в дадена клетка ще се разножи веднъж с всеки заек в хоризонтално съседните клетки, репродуцирайки точно един потомък всеки път. Новородените зайци ще паднат в клетката, директно под двете клетки на родителите им и след минути ще пораснат и ще се размножават на свой ред. Всяка клетка може да съдържа 10 на 80-та степен нано зайци - това значи 1 следвано от 80 нули - преди да се измъкнат и да пренаселят света. Вашите изчисления са ви изкарали 46 цифрено число за броя зайци в най-долната клетка - достатъчно свободно място.
In your lab there are 36 habitat cells, arranged in an inverted pyramid, with 8 cells in the top row. The first has one rabbit, the second has two, and so on, with eight rabbits in the last one. The other rows of cells are empty… for now. The rabbits are hermaphroditic, and each rabbit in a given cell will breed once with every rabbit in the horizontally adjacent cells, producing exactly one offspring each time. The newborn rabbits will drop into the cell directly below the two cells of its parents, and within minutes will mature and reproduce in turn. Each cell can hold 10^80 nano-rabbits – that’s a 1 followed by 80 zeros – before they break free and overrun the world. Your calculations have given you a 46-digit number for the count of rabbits in the bottom cell– plenty of room to spare.
Но точно докато дърпате лоста, за да започнете експеримента, асистентът ви нахълтва с ужасни новини. Конкурентна лаборатория е саботирала кода ви така, че всички нули на края на резултата ви са били отрязани. Това значи, че не знаете със сигурност дали най-долната клетка ще може да събере всички зайци - а репродуцирането вече е в ход! И за да стане още по-лошо, всичките ви устройства и калкулатори не функционират правилно, така че имате няколко минути да изчислите на ръка. Колко нули на края трябва да има за броя зайци в най-долния хабитат? И дали трябва да дръпнете ръчката за извънредно спиране?
But just as you pull the lever to start the experiment, your assistant runs in with terrible news. A rival lab has sabotaged your code so that all the zeros at the end of your results got cut off. That means you don’t actually know if the bottom cell will be able to hold all the rabbits – and the reproduction is already underway! To make matters worse, your devices and calculators are all malfunctioning, so you only have a few minutes to work it out by hand. How many trailing zeros should there be at the end of the count of rabbits in the bottom habitat? And do you need to pull the emergency shut-down lever?
Спрете видеото тук, ако искате сами да помислите.
Pause the video now if you want to figure it out for yourself.
Отговор след 3
Answer in 3
Отговор след 2
Answer in 2
Отговор след 1
Answer in 1
Няма достатъчно време да изчислите точния брой на зайците в последната клетка. Добрата новина е, че не трябва. Просто трябва да изчислим колко нули има на края.
There isn’t enough time to calculate the exact number of rabbits in the final cell. The good news is we don’t need to. All we need to figure out is how many trailing zeros it has.
Но как можем да разберем колко нули има дадено число на края, без да изчислим самото него? Това, което знаем е, че до финалният брой зайци в най-долната клетка стигаме чрез процес на умножение - буквално. Броят на зайците във всяка клетка е умножението на зайците от всяка от двете клетки над нея. И има само два начина да получим нули в края чрез умножение: или чрез умножение на число, завършващо на 5 по четно число, или чрез умножение с числа завършващи с нули.
But how can we know how many trailing zeros a number has without calculating the number itself? What we do know is that we arrive at the number of rabbits in the bottom cell through a process of multiplication – literally. The number of rabbits in each cell is the product of the number of rabbits in each of the two cells above it. And there are only two ways to get numbers with trailing zeros through multiplication: either multiplying a number ending in 5 by any even number, or by multiplying numbers that have trailing zeroes themselves.
Нека изчислим броя зайци във втория ред и да видим какви модели излизат. Две от числата имат нули на края - 20 заека в четвъртата клетка и 30 в петата. Но няма числа завършващи на 5. И тъй като единственият начин да получиш число завършващо на 5 чрез умножение е започвайки от число завършващо на 5, няма да има такива надолу по пирамидата също. Това значи, че трябва да се тревожим само за числата, които завършват на нули. И готин номер да изчислим броя на нулите в едно произведение е да преброим и съберем нулите в края на всеки от множителите - примерно 10 x 100 = 1 000.
Let’s calculate the number of rabbits in the second row and see what patterns emerge. Two of the numbers have trailing zeros – 20 rabbits in the fourth cell and 30 in the fifth cell. But there are no numbers ending in 5. And since the only way to get a number ending in 5 through multiplication is by starting with a number ending in 5, there won’t be any more down the line either. That means we only need to worry about the numbers that have trailing zeros themselves. And a neat trick to figure out the amount of trailing zeros in a product is to count and add the trailing zeros in each of the factors – for example, 10 x 100 = 1,000.
Така че да вземем числата в четвъртата и петата клетки и да уножавеме от там надолу. 20 и 30 имат по една нула, така че произведението им ще има 2 нули в края, докато произведението на тези клетки и съседните, не завършващи на нула, ще има само една. Като продължим до долу приключваме с 35 нули в най-долната клетка. И ако не сте твърде стресирани за потенциалният нано заешки апокалипсис, може да забележите, че броенето на нулите по този начин формира част от триъгълника на Паскал.
So let’s take the numbers in the fourth and fifth cells and multiply down from there. 20 and 30 each have one zero, so the product of both cells will have two trailing zeros, while the product of either cell and an adjacent non-zero-ending cell will have only one. When we continue all the way down, we end up with 35 zeros in the bottom cell. And if you’re not too stressed about the potential nano-rabbit apocalypse, you might notice that counting the zeros this way forms part of Pascal’s triangle.
Добавянето на тези 35 нули към 46 цифреното число, което имахме преди прави 81 цифрово число - твърде голямо, за да се побере в хабитата! Втурвате се и дръпвате аварийния лост, тъкмо докато седмото поколение зайци започва да съзрява - зайстрашително близо до катастрофа.
Adding those 35 zeros to the 46 digit number we had before yields an 81 digit number – too big for the habitat to contain! You rush over and pull the emergency switch just as the seventh generation of rabbits was about to mature – hare-raisingly close to disaster.