Imagine an island where 100 people, all perfect logicians, are imprisoned by a mad dictator. There's no escape, except for one strange rule. Any prisoner can approach the guards at night and ask to leave. If they have green eyes, they'll be released. If not, they'll be tossed into the volcano. As it happens, all 100 prisoners have green eyes, but they've lived there since birth, and the dictator has ensured they can't learn their own eye color. There are no reflective surfaces, all water is in opaque containers, and most importantly, they're not allowed to communicate among themselves. Though they do see each other during each morning's head count. Nevertheless, they all know no one would ever risk trying to leave without absolute certainty of success. After much pressure from human rights groups, the dictator reluctantly agrees to let you visit the island and speak to the prisoners under the following conditions: you may only make one statement, and you cannot tell them any new information. What can you say to help free the prisoners without incurring the dictator's wrath? After thinking long and hard, you tell the crowd, "At least one of you has green eyes." The dictator is suspicious but reassures himself that your statement couldn't have changed anything. You leave, and life on the island seems to go on as before. But on the hundredth morning after your visit, all the prisoners are gone, each having asked to leave the previous night. So how did you outsmart the dictator? It might help to realize that the amount of prisoners is arbitrary. Let's simplify things by imagining just two, Adria and Bill. Each sees one person with green eyes, and for all they know, that could be the only one. For the first night, each stays put. But when they see each other still there in the morning, they gain new information. Adria realizes that if Bill had seen a non-green-eyed person next to him, he would have left the first night after concluding the statement could only refer to himself. Bill simultaneously realizes the same thing about Adria. The fact that the other person waited tells each prisoner his or her own eyes must be green. And on the second morning, they're both gone. Now imagine a third prisoner. Adria, Bill and Carl each see two green-eyed people, but aren't sure if each of the others is also seeing two green-eyed people, or just one. They wait out the first night as before, but the next morning, they still can't be sure. Carl thinks, "If I have non-green eyes, Adria and Bill were just watching each other, and will now both leave on the second night." But when he sees both of them the third morning, he realizes they must have been watching him, too. Adria and Bill have each been going through the same process, and they all leave on the third night. Using this sort of inductive reasoning, we can see that the pattern will repeat no matter how many prisoners you add. The key is the concept of common knowledge, coined by philosopher David Lewis. The new information was not contained in your statement itself, but in telling it to everyone simultaneously. Now, besides knowing at least one of them has green eyes, each prisoner also knows that everyone else is keeping track of all the green-eyed people they can see, and that each of them also knows this, and so on. What any given prisoner doesn't know is whether they themselves are one of the green-eyed people the others are keeping track of until as many nights have passed as the number of prisoners on the island. Of course, you could have spared the prisoners 98 days on the island by telling them at least 99 of you have green eyes, but when mad dictators are involved, you're best off with a good headstart.
Hepsi de harika mantıkçı olan 100 kişinin deli bir diktatör tarafından hapsedildiği bir ada düşünün. Tuhaf bir kural dışında adadan kaçış şansı yok. Geceleri herhangi bir mahkum gardiyandan kendilerini bırakmasını isteyebilir. Mahkumların gözleri yeşilse serbest bırakılırlar. Değilse bir volkanın içine atılırlar. Aslında 100 mahkumun da gözleri yeşildir. Fakat doğduklarından beri oradadırlar ve diktatör kendi göz renklerini öğrenmelerini engellemiştir. Yansıma yapan herhangi bir yüzey yoktur, bütün sular opak kapların içindedir ve en önemlisi de birbirleriyle iletişim kurmalarına izin verilmemektedir. Gerçi her sabah yoklama sırasında birbirlerini görmektedirler. Yine de kesin başarı şansı olmadan oradan ayrılma riskini göze alamayacaklarını hepsi de bilmektedir. İnsan hakları gruplarından gelen baskının ardından, diktatör istemeden de olsa, senin adayı ziyaret edip mahkumlarla konuşmana, şu şartlar altında izin veriyor: Sadece tek bir açıklama yapabilirsin ve onlara herhangi bir yeni bilgi veremezsin. Diktatörün gazabını uyandırmadan mahkumları serbest bırakmak için ne söyleyebilirsin? Uzunca bir süre düşündükten sonra kalabalığa şöyle diyorsun: "En azından birinizin gözleri yeşil." Diktatör şüpheleniyor fakat senin açıklamanın hiçbir şeyi değiştiremeyeceğine ikna oluyor. Sen oradan ayrıldıktan sonra adadaki yaşam eskisi gibi devam ediyor gibi görünüyor. Fakat senin ziyaretinden sonraki 100. sabah tüm mahkumlar bir gece önce gardiyandan izin isteyerek adayı terk etmiş oluyor. Peki diktatörü nasıl alt ettin? Mahkum sayısının keyfi olduğunu belirtmenin faydası olabilir. Sadece Adria ve Bill isimli iki mahkumu düşünerek işleri basitleştirelim. İkisi de ötekinin yeşil gözlü olduğunu görüyor ve tek bildikleri bu kişinin tek yeşil gözlü kişi olabileceği. İlk gece ikisi de bekliyor. Fakat ertesi sabah hala birbirlerini orada görünce yeni bir bilgiye ulaşıyorlar. Adria Bill'in, yanında yeşil gözlü olmayan birini görmüş olsa açıklamadaki kişinin kendisi olduğuna hükmedip ilk gece oradan ayrılmış olması gerektiğini fark ediyor. Bill de aynı şeyi aynı anda Adria için düşünüyor. Diğer kişinin gitmemiş olması iki mahkuma da kendi gözlerinin yeşil olduğu gerçeğini bildiriyor. Ertesi sabah da her ikisi de orayı terk ediyor. Şimdi üçüncü bir mahkum olduğunu düşünün. Adria, Bill ve Carl'ın üçü de iki yeşil gözlü kişi görüyor. Fakat diğerlerinin yeşil gözlü iki kişi mi, yoksa yeşil gözlü tek kişi mi gördüğünden emin olamıyor. Onlar da ilk gece bekliyorlar fakat ertesi sabah hala emin olamıyorlar. Carl şöyle düşünüyor: "Gözlerim yeşil değilse, Adria ve Bill sadece birbirlerini izliyorlar ve her ikisi de ikinci gece burayı terk edecekler." Fakat üçüncü sabah her ikisini de orada görünce kendisini de izlediklerini anlıyor. Adria ve Bill de ayrı ayrı aynı süreçten geçtikleri için hepsi üçüncü gece orayı terk ediyor. Böyle tümevarımsal bir mantık kullanarak kaç mahkum olursa olsun aynı şablonun tekrar edeceğini görebiliriz. David Lewis tarafından türetilen "herkesçe bilinen gerçek" kavramı bu sorunun anahtarıdır. Yeni bilgi, açıklamanın kendisinde yoktur ama bunu herkese aynı anda söylemenin sonucunda ortaya çıkar. Şimdi, bütün mahkumlar hem en az bir kişinin yeşil gözlü olduğunu bilmektedir, hem de her biri görebildikleri bütün yeşil gözlüleri takip etmektedir. Ayrıca hepsi de her birinin aynı şeyi yaptığını bilmektedir. Adadaki mahkum sayısı kadar gün geçene dek herhangi bir mahkum, kendisinin de o yeşil gözlü kişiler arasında olup olmadığını bilmez. Elbette ki mahkumlara en az 99 kişinin yeşil gözlü olduğunu söyleyerek onları 98 gün beklemekten kurtarabilirdin. Fakat ortada deli bir diktatör varken güvenli bir başlangıç yapmak en iyisi.