Imagine an island where 100 people, all perfect logicians, are imprisoned by a mad dictator. There's no escape, except for one strange rule. Any prisoner can approach the guards at night and ask to leave. If they have green eyes, they'll be released. If not, they'll be tossed into the volcano. As it happens, all 100 prisoners have green eyes, but they've lived there since birth, and the dictator has ensured they can't learn their own eye color. There are no reflective surfaces, all water is in opaque containers, and most importantly, they're not allowed to communicate among themselves. Though they do see each other during each morning's head count. Nevertheless, they all know no one would ever risk trying to leave without absolute certainty of success. After much pressure from human rights groups, the dictator reluctantly agrees to let you visit the island and speak to the prisoners under the following conditions: you may only make one statement, and you cannot tell them any new information. What can you say to help free the prisoners without incurring the dictator's wrath? After thinking long and hard, you tell the crowd, "At least one of you has green eyes." The dictator is suspicious but reassures himself that your statement couldn't have changed anything. You leave, and life on the island seems to go on as before. But on the hundredth morning after your visit, all the prisoners are gone, each having asked to leave the previous night. So how did you outsmart the dictator? It might help to realize that the amount of prisoners is arbitrary. Let's simplify things by imagining just two, Adria and Bill. Each sees one person with green eyes, and for all they know, that could be the only one. For the first night, each stays put. But when they see each other still there in the morning, they gain new information. Adria realizes that if Bill had seen a non-green-eyed person next to him, he would have left the first night after concluding the statement could only refer to himself. Bill simultaneously realizes the same thing about Adria. The fact that the other person waited tells each prisoner his or her own eyes must be green. And on the second morning, they're both gone. Now imagine a third prisoner. Adria, Bill and Carl each see two green-eyed people, but aren't sure if each of the others is also seeing two green-eyed people, or just one. They wait out the first night as before, but the next morning, they still can't be sure. Carl thinks, "If I have non-green eyes, Adria and Bill were just watching each other, and will now both leave on the second night." But when he sees both of them the third morning, he realizes they must have been watching him, too. Adria and Bill have each been going through the same process, and they all leave on the third night. Using this sort of inductive reasoning, we can see that the pattern will repeat no matter how many prisoners you add. The key is the concept of common knowledge, coined by philosopher David Lewis. The new information was not contained in your statement itself, but in telling it to everyone simultaneously. Now, besides knowing at least one of them has green eyes, each prisoner also knows that everyone else is keeping track of all the green-eyed people they can see, and that each of them also knows this, and so on. What any given prisoner doesn't know is whether they themselves are one of the green-eyed people the others are keeping track of until as many nights have passed as the number of prisoners on the island. Of course, you could have spared the prisoners 98 days on the island by telling them at least 99 of you have green eyes, but when mad dictators are involved, you're best off with a good headstart.
Представьте себе остров, на котором безумный диктатор держит в заключении 100 человек, и все они отличные математики. Бежать невозможно, но есть одно странное правило. Ночью любой узник может попросить стражу об освобождении. Если у заключённого зелёные глаза, его освободят. Если же нет, его бросят в жерло вулкана. На самом деле у всех ста узников зелёные глаза. Но заключённые живут на острове с самого рождения, и диктатор сделал всё, чтобы никто не узнал цвет своих глаз. На острове нет зеркал, а все ёмкости для воды непрозрачные. Но, главное, узникам запрещено разговаривать друг с другом. Тем не менее, каждое утро они видятся на перекличке. Все знают, что никто даже не рискнёт просить о свободе, не будучи абсолютно уверенным в успехе. Не выдержав давления организаций по правам человека, диктатор скрепя сердце разрешает вам посетить остров и поговорить с заключёнными. Но он ставит условия: вы делаете лишь одно заявление, и вы не сообщаете узникам новую информацию. Как же помочь заключённым и не навлечь на себя гнев диктатора? После долгих раздумий вы говорите толпе узников: «По крайней мере у одного из вас зелёные глаза». Диктатор исполнен недоверия, но успокаивает себя: такое заявление ничего не изменит. Вы уезжаете, а жизнь на острове как будто бы идёт своим чередом. Но однажды утром, через сто дней после вашего визита, остров оказывается пуст — все узники потребовали освобождения прошедшей ночью. Как же вам удалось обмануть диктатора? Важно понять, что число заключённых не имеет значения. Давайте упростим задачу и представим, что их всего двое — Адриа и Билл. Каждый из них видит узника с зелёными глазами, но знает, что этот зеленоглазый может быть единственным. В первую ночь оба выжидают. Наутро они видят, что товарищ по-прежнему здесь, и это даёт им подсказку: Адриа догадывается, что если её глаза не зелёные, то Билл освободился бы в первую же ночь, поняв, что он — единственный зеленоглазый узник. Точно так же Билл рассуждает про Адриа. Теперь каждый из них понимает: «Поскольку другой ждёт, мои глаза могут быть только зелёными». И на следующее утро оба узника покидают остров. Теперь представим, что заключённых трое: Адриа, Билл и Карл. Каждый из них видит двух узников с зелёными глазами, но не уверен, сколько зеленоглазых видят остальные — двух или только одного. В первую ночь узники снова выжидают, но утро пока не приносит ясности. Карл думает: «Если мои глаза не зелёные, Адриа и Билл наблюдают лишь друг за другом. Значит, следующей ночью они оба уйдут». Однако на третье утро Карл видит, что они остались, и понимает, что Адриа с Биллом наблюдают и за ним. Адриа и Билл рассуждают аналогично, и на третью ночь все трое уходят. Это называется индуктивной логикой — мы увеличиваем число заключённых, а рассуждения остаются верными и не зависят от количества узников. Ключ к этой задаче — концепция «общепринятого знания», созданная философом Дэвидом Льюисом. Новую информацию дало не само ваше заявление, а то, что все заключённые услышали его одновременно. Теперь все узники не только знают, что по крайней мере один из них имеет зелёные глаза, но и то, что каждый следит за всеми зеленоглазыми, и что все они знают это, и так далее. Чего каждый отдельно взятый узник не знает — относится ли он к зеленоглазым, за которыми наблюдают остальные? Он узнает это лишь тогда, когда пройдёт столько ночей, сколько заключённых на острове. Конечно, вы могли избавить узников от лишних 98 дней на острове, сказав, что минимум 99 из них имеют зелёные глаза. Но когда в деле замешан безумный диктатор, лучше перестраховаться.