Imagine an island where 100 people, all perfect logicians, are imprisoned by a mad dictator. There's no escape, except for one strange rule. Any prisoner can approach the guards at night and ask to leave. If they have green eyes, they'll be released. If not, they'll be tossed into the volcano. As it happens, all 100 prisoners have green eyes, but they've lived there since birth, and the dictator has ensured they can't learn their own eye color. There are no reflective surfaces, all water is in opaque containers, and most importantly, they're not allowed to communicate among themselves. Though they do see each other during each morning's head count. Nevertheless, they all know no one would ever risk trying to leave without absolute certainty of success. After much pressure from human rights groups, the dictator reluctantly agrees to let you visit the island and speak to the prisoners under the following conditions: you may only make one statement, and you cannot tell them any new information. What can you say to help free the prisoners without incurring the dictator's wrath? After thinking long and hard, you tell the crowd, "At least one of you has green eyes." The dictator is suspicious but reassures himself that your statement couldn't have changed anything. You leave, and life on the island seems to go on as before. But on the hundredth morning after your visit, all the prisoners are gone, each having asked to leave the previous night. So how did you outsmart the dictator? It might help to realize that the amount of prisoners is arbitrary. Let's simplify things by imagining just two, Adria and Bill. Each sees one person with green eyes, and for all they know, that could be the only one. For the first night, each stays put. But when they see each other still there in the morning, they gain new information. Adria realizes that if Bill had seen a non-green-eyed person next to him, he would have left the first night after concluding the statement could only refer to himself. Bill simultaneously realizes the same thing about Adria. The fact that the other person waited tells each prisoner his or her own eyes must be green. And on the second morning, they're both gone. Now imagine a third prisoner. Adria, Bill and Carl each see two green-eyed people, but aren't sure if each of the others is also seeing two green-eyed people, or just one. They wait out the first night as before, but the next morning, they still can't be sure. Carl thinks, "If I have non-green eyes, Adria and Bill were just watching each other, and will now both leave on the second night." But when he sees both of them the third morning, he realizes they must have been watching him, too. Adria and Bill have each been going through the same process, and they all leave on the third night. Using this sort of inductive reasoning, we can see that the pattern will repeat no matter how many prisoners you add. The key is the concept of common knowledge, coined by philosopher David Lewis. The new information was not contained in your statement itself, but in telling it to everyone simultaneously. Now, besides knowing at least one of them has green eyes, each prisoner also knows that everyone else is keeping track of all the green-eyed people they can see, and that each of them also knows this, and so on. What any given prisoner doesn't know is whether they themselves are one of the green-eyed people the others are keeping track of until as many nights have passed as the number of prisoners on the island. Of course, you could have spared the prisoners 98 days on the island by telling them at least 99 of you have green eyes, but when mad dictators are involved, you're best off with a good headstart.
Wyobraź sobie wyspę, gdzie 100 świetnych logików zostało uwięzionych przez złego dyktatora. Nie ma ucieczki poza jedną dziwną zasadą. Każdy więzień może poprosić strażników o wypuszczenie. Jeśli ma zielone oczy, zostanie uwolniony. Jeśli nie, trafi do wulkanu. Jakimś cudem wszyscy mają zielone oczy, ale żyją tam od urodzenia, a dyktator upewnił się, że nie poznają swojego koloru. Nie ma odbijających powierzchni, woda jest w nieprzezroczystych butelkach, a co najważniejsze, nie mogą się ze sobą porozumiewać. Widują się jednak każdego ranka na apelu. Wiadomo, że nikt nie spróbuje ucieczki bez absolutnej pewności sukcesu. Pod dużym naciskiem obrońców praw człowieka dyktator niechętnie zgodził się, abyś odwiedził wyspę i porozmawiał z więźniami pod pewnymi warunkami: możesz powiedzieć jedno zdanie i nie wolno powiedzieć ci tego, czego nie wiedzą więźniowie. Co możesz powiedzieć, by pomóc więźniom się uwolnić bez naruszania zasad dyktatora? Popatrzyłeś długo i uważnie i powiedziałeś tłumowi: "Co najmniej jedna osoba ma zielone oczy". Dyktator jest podejrzliwy, ale uspokaja się, że twoje słowa nic nie zmienią. Opuszczasz ich, a życie na wyspie wraca do normy. Ale setnego ranka po twojej wizycie wszyscy więźniowie uciekają, bo każdy poprosił o wypuszczenie poprzedniej nocy. Jak przechytrzyłeś dyktatora? Może pomóc ci zrozumieć, że ilość osób nie jest ważna. Uprośćmy ją do dwóch osób, Adrii i Billa. Każde z nich widzi jedną osobę z zielonymi oczami, i może przypuszczać, że to właśnie ta jedyna. Pierwszej nocy wszyscy zostają. Kiedy widzą się następnego dnia rano, zdobywają nowe informacje. Adria rozumie, że gdyby Bill widział osobę bez zielonych oczu, uciekłby pierwszego dnia, bo uznałby, że stwierdzenie dotyczy właśnie jego. Bill zrozumiał to samo odnośnie Adrii. Fakt, że druga osoba czeka, mówi więźniowi, że jego oczy muszą być zielone. Drugiego ranka oboje uciekają. Wyobraź sobie trzeciego więźnia. Adria, Bill i Carl widzą dwie osoby z zielonymi oczami, ale nie są pewni, czy inni także widzą dwie zielonookie osoby, czy tylko jedną. Przeczekują pierwszą noc, ale następnego ranka cały czas nie są pewni. Carl myśli: "Jeśli nie mam zielonych oczy, Adria i Bill patrzyli tylko na siebie i będą mogli stąd uciec drugiego dnia". Kiedy zobaczył ich razem trzeciego dnia zrozumiał, że patrzyli też na niego. Adria i Bill także przeszli przez taki proces. Trzeciego dnia wszyscy wyszli. Korzystając z rozumowania indukcyjnego widać, że wzór powtórzy się bez względu na ilość więźniów. Kluczem do koncepcji jest powszechna wiedza, termin ukuty przez filozofa Davida Lewisa. Nowe informacje nie są zawarte w samym oświadczeniu, ale mówieniu do wszystkich równocześnie. Oprócz tego, że przynajmniej jeden więzień ma zielone oczy każdy więzień wie też, że inni też liczą wszystkich widzianych zielonookich, i że każdy wie o tym liczeniu. Żaden więzień jednak nie wie, czy to on sam jest zielonookim, którego inni widzą, dopóki nie minie tyle czasu, ilu jest więźniów na wyspie. Oczywiście, można oszczędzić więźniom 98 dni na wyspie mówiąc, ze przynajmniej 99 z nich ma zielone oczy, ale gdy do gry wchodzą szaleni dyktatorzy, lepiej mieć czas na ucieczkę.