Imagine an island where 100 people, all perfect logicians, are imprisoned by a mad dictator. There's no escape, except for one strange rule. Any prisoner can approach the guards at night and ask to leave. If they have green eyes, they'll be released. If not, they'll be tossed into the volcano. As it happens, all 100 prisoners have green eyes, but they've lived there since birth, and the dictator has ensured they can't learn their own eye color. There are no reflective surfaces, all water is in opaque containers, and most importantly, they're not allowed to communicate among themselves. Though they do see each other during each morning's head count. Nevertheless, they all know no one would ever risk trying to leave without absolute certainty of success. After much pressure from human rights groups, the dictator reluctantly agrees to let you visit the island and speak to the prisoners under the following conditions: you may only make one statement, and you cannot tell them any new information. What can you say to help free the prisoners without incurring the dictator's wrath? After thinking long and hard, you tell the crowd, "At least one of you has green eyes." The dictator is suspicious but reassures himself that your statement couldn't have changed anything. You leave, and life on the island seems to go on as before. But on the hundredth morning after your visit, all the prisoners are gone, each having asked to leave the previous night. So how did you outsmart the dictator? It might help to realize that the amount of prisoners is arbitrary. Let's simplify things by imagining just two, Adria and Bill. Each sees one person with green eyes, and for all they know, that could be the only one. For the first night, each stays put. But when they see each other still there in the morning, they gain new information. Adria realizes that if Bill had seen a non-green-eyed person next to him, he would have left the first night after concluding the statement could only refer to himself. Bill simultaneously realizes the same thing about Adria. The fact that the other person waited tells each prisoner his or her own eyes must be green. And on the second morning, they're both gone. Now imagine a third prisoner. Adria, Bill and Carl each see two green-eyed people, but aren't sure if each of the others is also seeing two green-eyed people, or just one. They wait out the first night as before, but the next morning, they still can't be sure. Carl thinks, "If I have non-green eyes, Adria and Bill were just watching each other, and will now both leave on the second night." But when he sees both of them the third morning, he realizes they must have been watching him, too. Adria and Bill have each been going through the same process, and they all leave on the third night. Using this sort of inductive reasoning, we can see that the pattern will repeat no matter how many prisoners you add. The key is the concept of common knowledge, coined by philosopher David Lewis. The new information was not contained in your statement itself, but in telling it to everyone simultaneously. Now, besides knowing at least one of them has green eyes, each prisoner also knows that everyone else is keeping track of all the green-eyed people they can see, and that each of them also knows this, and so on. What any given prisoner doesn't know is whether they themselves are one of the green-eyed people the others are keeping track of until as many nights have passed as the number of prisoners on the island. Of course, you could have spared the prisoners 98 days on the island by telling them at least 99 of you have green eyes, but when mad dictators are involved, you're best off with a good headstart.
Beeld je een eiland in waar 100 mensen, allemaal perfecte logici, zijn opgesloten door een gekke dictator. Slechts één vreemde regel biedt een uitweg . Elke gevangene mag ’s nachts de bewakers om vrijlating vragen. Als ze groene ogen hebben worden ze vrijgelaten. Als ze die niet hebben, worden ze in de vulkaan gegooid. Toevallig hebben ze allemaal groene ogen, maar ze wonen daar al sinds hun geboorte en de dictator heeft ervoor gezorgd dat niemand zijn eigen oogkleur kent. Er zijn geen reflecterende oppervlakken, alle watervaten zijn ondoorzichtig. en het belangrijkste: het is niet toegestaan om met elkaar te communiceren, hoewel ze elkaar wel elke ochtend bij de telling zien. Niettemin weet iedereen dat niemand het ooit zou wagen om te vluchten zonder absolute zekerheid van slagen. Na veel druk van mensenrechtengroepen laat de dictator met tegenzin een bezoek van jou aan het eiland toe om met de gevangenen te praten onder deze voorwaarden: je mag maar één ding zeggen en je mag geen nieuwe informatie meedelen. Wat kan je zeggen om de gevangenen vrij te krijgen zonder je de woede van de dictator op de hals te halen? Na lang en diep nadenken zeg je tegen de menigte: “Minstens één van jullie heeft groene ogen.” De dictator vindt het verdacht, maar is er zeker van dat jouw verklaring niets heeft kunnen veranderen. Jij vertrekt en het leven op het eiland lijkt weer gewoon zijn gang te gaan. Maar de 100ste ochtend na jouw bezoek zijn alle gevangenen weg, nadat ieder de afgelopen nacht had gevraagd om te mogen vertrekken. Dus hoe was je de dictator te slim af? Het helpt misschien als je bedenkt dat het aantal gevangenen willekeurig is. Laten we het vereenvoudigen door twee gevangenen te nemen : Adria en Bill. Elk zien ze een persoon met groene ogen en voor zover ze weten, zou dat de enige kunnen zijn. De eerste nacht blijft ieder op zijn plek. Maar wanneer ze elkaar ’s ochtends nog steeds zien, krijgen ze nieuwe informatie. Adria beseft dat als Bill iemand zonder groene ogen had gezien hij de eerste nacht weggegaan zou zijn na de conclusie dat jouw verklaring enkel op hemzelf van toepassing kon zijn. Tegelijkertijd beseft Bill hetzelfde over Adria. Door het feit dat de andere persoon wachtte weet elke gevangene dat zijn of haar ogen wel groen moeten zijn. En op de tweede ochtend zijn ze beiden weg. Stel je nu een derde gevangene voor. Adria, Bill en Carl zien ieder twee mensen met groene ogen, maar weten niet zeker of de anderen ook twee mensen met groene ogen zien, of maar één. Ze wachten de eerste nacht weer af, maar de volgende ochtend weten ze het nog steeds niet zeker. Carl denkt: "Als ik geen groene ogen heb, dan hielden Adria en Bill elkaar gewoon in de gaten en gaan ze de tweede nacht allebei weg.” Maar wanneer hij hen beide de derde ochtend ziet beseft hij dat ze hem ook in de gaten hebben gehouden. Adria en Bill hebben ieder hetzelfde proces doorgemaakt en ze vertrekken allen de derde nacht. Met zo’n inductieve redenering zien we dat het patroon zich herhaalt, hoeveel gevangenen je ook toevoegt. Dit is het concept van algemene kennis, bedacht door de filosoof David Lewis. De nieuwe informatie lag niet in jouw verklaring besloten maar werd bekend toen het aan iedereen tegelijkertijd verteld werd. Behalve dat ze weten dat ten minste één van hen groene ogen heeft, weet elke gevangene ook dat iedereen alle groenogige mensen in de gaten houdt en ieder van hen weet dit ook. Wat een gevangene niet weet is of ze zelf één van de mensen met groene ogen zijn die in de gaten wordt gehouden, tot er net zoveel nachten zijn verstreken als er gevangenen op het eiland zijn. Uiteraard had je de gevangenen 98 dagen op het eiland kunnen besparen door hen te vertellen dat minstens 99 van hen groene ogen had, maar als het om een gekke dictator gaat, kun je maar beter een voorsprong hebben.