Imagine an island where 100 people, all perfect logicians, are imprisoned by a mad dictator. There's no escape, except for one strange rule. Any prisoner can approach the guards at night and ask to leave. If they have green eyes, they'll be released. If not, they'll be tossed into the volcano. As it happens, all 100 prisoners have green eyes, but they've lived there since birth, and the dictator has ensured they can't learn their own eye color. There are no reflective surfaces, all water is in opaque containers, and most importantly, they're not allowed to communicate among themselves. Though they do see each other during each morning's head count. Nevertheless, they all know no one would ever risk trying to leave without absolute certainty of success. After much pressure from human rights groups, the dictator reluctantly agrees to let you visit the island and speak to the prisoners under the following conditions: you may only make one statement, and you cannot tell them any new information. What can you say to help free the prisoners without incurring the dictator's wrath? After thinking long and hard, you tell the crowd, "At least one of you has green eyes." The dictator is suspicious but reassures himself that your statement couldn't have changed anything. You leave, and life on the island seems to go on as before. But on the hundredth morning after your visit, all the prisoners are gone, each having asked to leave the previous night. So how did you outsmart the dictator? It might help to realize that the amount of prisoners is arbitrary. Let's simplify things by imagining just two, Adria and Bill. Each sees one person with green eyes, and for all they know, that could be the only one. For the first night, each stays put. But when they see each other still there in the morning, they gain new information. Adria realizes that if Bill had seen a non-green-eyed person next to him, he would have left the first night after concluding the statement could only refer to himself. Bill simultaneously realizes the same thing about Adria. The fact that the other person waited tells each prisoner his or her own eyes must be green. And on the second morning, they're both gone. Now imagine a third prisoner. Adria, Bill and Carl each see two green-eyed people, but aren't sure if each of the others is also seeing two green-eyed people, or just one. They wait out the first night as before, but the next morning, they still can't be sure. Carl thinks, "If I have non-green eyes, Adria and Bill were just watching each other, and will now both leave on the second night." But when he sees both of them the third morning, he realizes they must have been watching him, too. Adria and Bill have each been going through the same process, and they all leave on the third night. Using this sort of inductive reasoning, we can see that the pattern will repeat no matter how many prisoners you add. The key is the concept of common knowledge, coined by philosopher David Lewis. The new information was not contained in your statement itself, but in telling it to everyone simultaneously. Now, besides knowing at least one of them has green eyes, each prisoner also knows that everyone else is keeping track of all the green-eyed people they can see, and that each of them also knows this, and so on. What any given prisoner doesn't know is whether they themselves are one of the green-eyed people the others are keeping track of until as many nights have passed as the number of prisoners on the island. Of course, you could have spared the prisoners 98 days on the island by telling them at least 99 of you have green eyes, but when mad dictators are involved, you're best off with a good headstart.
こんな島を想像してみてください 100人の完璧に論理的な人々が 独裁者によって幽閉されています しかし 不思議なルールが1つあり そこから逃げることができます どの囚人も夜間 守衛のところへ行くことが許され 囚人が緑色の瞳ならば 解放されますが そうでない場合は 火山の噴火口に投げ込まれてしまいます 実は 囚人達は100人とも 緑色の瞳なのですが 全員がこの島で生まれ育ち 独裁者のせいで 自分の瞳の色を知らないのです 光を反射するものがひとつもなく 水は不透明な容器に入れられており そして最も重要なことは― お互いに口をきくことは 禁じられているのです しかし 毎朝の点呼の時に お互いの姿を確認できます しかし 成功を完全に確信できるまでは 誰もリスクを冒すことはありません 人権擁護団体の圧力のおかげで 独裁者はしぶしぶと あなたの訪問を受け入れ 囚人達に次の条件で 話しかけることを許しました 発言は1回限りで 新たな情報を与えてはならない どうすれば 独裁者を怒らせることなく 囚人達を救うことができるでしょうか? じっくりと慎重に考えたあなたは 「少なくとも1人は緑色の瞳だ」と 全員に呼びかけました 独裁者はいぶかるものの これでは何も変化は 起こらないはずだと考え 安心します あなたは島を離れ そこでの生活に変化はなさそうです しかし あなたが訪問した100日後の朝 囚人は1人も残っていませんでした 前夜にそれぞれ島を脱出していたのです さて どうやって独裁者を 出し抜いたのでしょうか? 囚人の数は任意であるといえば 分かりやすくなるでしょう アドリアとビルの2人だけだったと 話を単純化しましょう お互いの緑色の瞳を認めた2人は 緑色なのは 1人だけかもしれないと考えます 最初の夜はどちらも逃げ出しません しかし 翌朝2人とも島に残っていたため ここで新たな情報を手に入れたのです アドリアはビルと一緒にいる相手が 緑色の瞳でなければ ビルは自分の瞳が緑色だと考えて 最初の晩に逃げ出しただろうと 気づきます 同時にビルもアドリアについて 同じことに気づきます もう一方の人が残っているという事実により 自分の瞳も緑色だと分かったわけです 2日目の朝には 2人とも脱出しています さて3人目の囚人を考えてみましょう アドリア、ビル、カールはそれぞれ 他の2人が緑色の瞳である事に気づきます しかし 他の人も同様に 緑色の瞳は2人だと気付いているか それとも1人だけなのか 確信を持てません 最初の夜はやはり待ちます 翌朝もまだ確かではありません カールは「もし僕の瞳が緑色でなければ アドリアとビルはお互いを見て 2晩目に2人とも逃げてしまうだろう」と 考えます しかし 3日目の朝に両方とも残っていた場合 カールも緑色の瞳だという事がわかります アドリアとビルも同じ結論に達し 3日目の夜に全員が脱出します この帰納的論法を使えば 囚人は何人いても構いません ここで大切なのは 共有知識という概念で 哲学者デイヴィド・ルイスが 導入しました あなたの発言自体には 何ら新しい情報は含まれていませんが 全員に一斉に知らせることです すると 少なくとも1人は 緑色の瞳であることに加えて 囚人はそれぞれ 緑色の瞳の人の姿を 全て追うことができて そして各自が そのことを理解しています どの囚人も自分が 緑色の瞳であるかどうかは 分からないので それを判断するためには 島にいる囚人と同じ数の夜だけ 待つ必要があります もちろん 「少なくとも99人は 緑色の瞳だ」と言えば 時間を98日間 短縮する事もできます でも 独裁者のことを考えて 穏やかに切り出すべきですね