Imagine an island where 100 people, all perfect logicians, are imprisoned by a mad dictator. There's no escape, except for one strange rule. Any prisoner can approach the guards at night and ask to leave. If they have green eyes, they'll be released. If not, they'll be tossed into the volcano. As it happens, all 100 prisoners have green eyes, but they've lived there since birth, and the dictator has ensured they can't learn their own eye color. There are no reflective surfaces, all water is in opaque containers, and most importantly, they're not allowed to communicate among themselves. Though they do see each other during each morning's head count. Nevertheless, they all know no one would ever risk trying to leave without absolute certainty of success. After much pressure from human rights groups, the dictator reluctantly agrees to let you visit the island and speak to the prisoners under the following conditions: you may only make one statement, and you cannot tell them any new information. What can you say to help free the prisoners without incurring the dictator's wrath? After thinking long and hard, you tell the crowd, "At least one of you has green eyes." The dictator is suspicious but reassures himself that your statement couldn't have changed anything. You leave, and life on the island seems to go on as before. But on the hundredth morning after your visit, all the prisoners are gone, each having asked to leave the previous night. So how did you outsmart the dictator? It might help to realize that the amount of prisoners is arbitrary. Let's simplify things by imagining just two, Adria and Bill. Each sees one person with green eyes, and for all they know, that could be the only one. For the first night, each stays put. But when they see each other still there in the morning, they gain new information. Adria realizes that if Bill had seen a non-green-eyed person next to him, he would have left the first night after concluding the statement could only refer to himself. Bill simultaneously realizes the same thing about Adria. The fact that the other person waited tells each prisoner his or her own eyes must be green. And on the second morning, they're both gone. Now imagine a third prisoner. Adria, Bill and Carl each see two green-eyed people, but aren't sure if each of the others is also seeing two green-eyed people, or just one. They wait out the first night as before, but the next morning, they still can't be sure. Carl thinks, "If I have non-green eyes, Adria and Bill were just watching each other, and will now both leave on the second night." But when he sees both of them the third morning, he realizes they must have been watching him, too. Adria and Bill have each been going through the same process, and they all leave on the third night. Using this sort of inductive reasoning, we can see that the pattern will repeat no matter how many prisoners you add. The key is the concept of common knowledge, coined by philosopher David Lewis. The new information was not contained in your statement itself, but in telling it to everyone simultaneously. Now, besides knowing at least one of them has green eyes, each prisoner also knows that everyone else is keeping track of all the green-eyed people they can see, and that each of them also knows this, and so on. What any given prisoner doesn't know is whether they themselves are one of the green-eyed people the others are keeping track of until as many nights have passed as the number of prisoners on the island. Of course, you could have spared the prisoners 98 days on the island by telling them at least 99 of you have green eyes, but when mad dictators are involved, you're best off with a good headstart.
Képzeljük el, hogy egy szigeten van 100 tudós, logikában jártasak, és egy őrült diktátor fogva tartja őket. Nincs mód a menekülésre, eltekintve egy furcsa törvénytől: Bárki odamehet éjjel az őrökhöz, és kérheti, hogy engedjék el. Ha zöld a szeme, akkor kiszabadul, ha nem, tűzbe vetik. Történetesen mind a 100 fogolynak zöld a szeme, de születésük óta a szigeten élnek valamennyien, és a diktátor gondoskodott róla, hogy senki ne ismerje saját szemének színét. Nincs egyetlen tükröző felület vagy szabad vízfelület, és ami még fontosabb, nem kommunikálhatnak egymással, noha látják egymást minden reggel látszámellenőrzéskor. Ennek dacára tudják, hogy senki sem fogja kockáztatni a távozást anélkül, hogy teljesen biztos ne lenne a sikerben. Emberjogi csoportok nyomására a diktátor vonakodva, de beleegyezett, hogy ellátogassunk a szigetre, és beszéljünk a foglyokhoz az alábbi feltételekkel: csak egyetlen mondatot mondhatunk, és nem adhatunk semmi új információt. Mit mondhatunk a foglyoknak segítségként anélkül, hogy a diktátort felbőszítenénk? Hosszú gondolkodás után azt mondjuk az összegyűlteknek: "Van közöttetek zöld szemű". A diktátor gyanakszik, de megnyugtatja magát, hogy állításunk nem változtathat meg semmit. Távozunk a szigetről, és az élet látszólag ugyanúgy megy tovább. Száz nappal később a látogatásunk után reggelre az összes fogoly eltűnik, mert előző éjjel mindenki kérte, hogy engedjék el. Hogyan jártunk túl a diktátor eszén? Segít talán annak felismerése, hogy a foglyok száma tetszőleges lehet. Egyszerűsítsük le a feladatot két fogolyra: Andrásra és Bélára. MIndketten látnak egy zöld szemű foglyot, és tudják, hogy lehet, hogy csak ez az egy van. Első éjjel mindketten maradnak a helyükön. De reggel, amikor még mindig látják egymást, új információhoz jutnak. András rájön, hogy ha Béla egy nem zöld szemű személyt látott volna maga mellett, akkor elmegy az első éjszaka, miután levonja a következtetést, hogy az állítás csak rá vonatkozhatott. Ugyanerre jutott közben Béla is Andrással kapcsolatban. Az, hogy a másik nem ment el., mindkettejüknek azt jelentette, hogy az ő szeme is zöld. Így másnap reggelre mindketten elmentek. Képzeljünk el egy harmadik foglyot. András, Béla és Csaba is két zöld szemű embert látnak, de nem tudják biztosan, hogy a másik kettő is kettőt lát-e, vagy csak egyet. Kivárják az első éjszakát, ahogyan eddig is, de reggel még mindig nem lehetnek biztosak. Csaba így gondolkodik: "Ha az én szemem nem zöld, András és Béla csak egymásra figyelnek, és mindketten elmennek a második éjszaka." De amikor mindkettejüket meglátja a harmadik reggel, akkor rájön, hogy őt is számításba kellett venniük. András és Béla is ugyanezt gondolta végig, és mindhárman elmennek a harmadik éjszaka. Ezt az indukciós okoskodást használva láthatjuk, hogy az eljárás ismétlődik, akárhány foglyot is veszünk. A közös tudástól függ minden, ahogyan David Lewis filozófus felfedezte. Az új információ nem magában az állításban van, hanem abban, hogy egyidejűleg mondtuk el mindenkinek. Amellett, hogy tudják, hogy legalább egyvalakinek zöld a szeme, azt is tudja minden fogoly, hogy a többiek is szemmel tartják az összes zöld szeműt, és hogy ezt is tudják valamennyien, stb. Amit egyikük sem tud, hogy ő vajon a zöld szeműek közé tartozik-e, akiket a többiek figyelnek, amíg el nem telik annyi éjszaka, ahány fogoly van a szigeten. Természetesen megspórolhatnánk a foglyoknak 98 szigeten eltöltött napot, ha azt mondanánk, hogy legalább 99-nek közülük zöld a szeme, de ha eszetlen diktátorokról van szó, jobb óvatosnak lenni.