Imagine an island where 100 people, all perfect logicians, are imprisoned by a mad dictator. There's no escape, except for one strange rule. Any prisoner can approach the guards at night and ask to leave. If they have green eyes, they'll be released. If not, they'll be tossed into the volcano. As it happens, all 100 prisoners have green eyes, but they've lived there since birth, and the dictator has ensured they can't learn their own eye color. There are no reflective surfaces, all water is in opaque containers, and most importantly, they're not allowed to communicate among themselves. Though they do see each other during each morning's head count. Nevertheless, they all know no one would ever risk trying to leave without absolute certainty of success. After much pressure from human rights groups, the dictator reluctantly agrees to let you visit the island and speak to the prisoners under the following conditions: you may only make one statement, and you cannot tell them any new information. What can you say to help free the prisoners without incurring the dictator's wrath? After thinking long and hard, you tell the crowd, "At least one of you has green eyes." The dictator is suspicious but reassures himself that your statement couldn't have changed anything. You leave, and life on the island seems to go on as before. But on the hundredth morning after your visit, all the prisoners are gone, each having asked to leave the previous night. So how did you outsmart the dictator? It might help to realize that the amount of prisoners is arbitrary. Let's simplify things by imagining just two, Adria and Bill. Each sees one person with green eyes, and for all they know, that could be the only one. For the first night, each stays put. But when they see each other still there in the morning, they gain new information. Adria realizes that if Bill had seen a non-green-eyed person next to him, he would have left the first night after concluding the statement could only refer to himself. Bill simultaneously realizes the same thing about Adria. The fact that the other person waited tells each prisoner his or her own eyes must be green. And on the second morning, they're both gone. Now imagine a third prisoner. Adria, Bill and Carl each see two green-eyed people, but aren't sure if each of the others is also seeing two green-eyed people, or just one. They wait out the first night as before, but the next morning, they still can't be sure. Carl thinks, "If I have non-green eyes, Adria and Bill were just watching each other, and will now both leave on the second night." But when he sees both of them the third morning, he realizes they must have been watching him, too. Adria and Bill have each been going through the same process, and they all leave on the third night. Using this sort of inductive reasoning, we can see that the pattern will repeat no matter how many prisoners you add. The key is the concept of common knowledge, coined by philosopher David Lewis. The new information was not contained in your statement itself, but in telling it to everyone simultaneously. Now, besides knowing at least one of them has green eyes, each prisoner also knows that everyone else is keeping track of all the green-eyed people they can see, and that each of them also knows this, and so on. What any given prisoner doesn't know is whether they themselves are one of the green-eyed people the others are keeping track of until as many nights have passed as the number of prisoners on the island. Of course, you could have spared the prisoners 98 days on the island by telling them at least 99 of you have green eyes, but when mad dictators are involved, you're best off with a good headstart.
Imagina una isla donde 100 personas, todos lógicos perfectos, son encarceladas por un dictador loco. No hay escape, salvo una regla extraña. Cualquier prisionero puede acercarse a los guardias por la noche y pedirle salir. Si tienen ojos verdes, serán liberados. Si no, los lanzarán al volcán. Casualmente, los 100 prisioneros tienen ojos verdes, pero han vivido allí desde que nacieron, y el dictador se ha asegurado de que no sepan el color de sus ojos. No hay superficies reflectantes, toda el agua está en recipientes opacos, y, más importante, no se les permite comunicarse entre sí. Aunque se ven durante el recuento de cada mañana. Sin embargo, todos saben que nadie se arriesgaría a salir sin estar absolutamente seguros del éxito. Tras mucha presión por parte de los grupos de derechos humanos, el dictador acepta a regañadientes que visites la isla y hables con los prisioneros bajo las siguientes condiciones: solo se puede hacer una declaración, y no les puedes dar nueva información. ¿Qué puedes decir para ayudar a liberar a los prisioneros sin desatar la ira del dictador? Después de mucho pensarlo le dices a la gente, "Por lo menos uno de Uds. tiene los ojos verdes". El dictador sospecha pero se tranquiliza porque tu declaración no podría haber cambiado nada. Te vas y la vida en la isla parece continuar como antes. Pero 100 mañanas más tarde, no queda ningún prisionero, ya que todos pidieron salir la noche anterior. ¿Cómo superaste en ingenio al dictador? Ayudaría darse cuenta de que el número de prisioneros es arbitrario. Simplifiquemos las cosas, supongamos que hay dos, Adria y Bill. Cada uno ve a una persona de ojos verdes, y por lo que cada uno entiende, esa persona podría ser la única. Ambos se quedan la primera noche. Pero cuando se ven nuevamente por la mañana, tienen más información. Adria entiende que si Bill hubiera visto otro color de ojos, habría partido la primera noche tras concluir que la declaración solo podía referirse a él. Bill se da cuenta de lo mismo que Adria. El hecho de que la otra persona esperara le dice al prisionero que sus ojos deben ser verdes. Por ende, a la mañana siguiente no queda ninguno. Ahora imagina un tercer prisionero. Adria, Bill y Carl ven cada uno a 2 personas de ojos verdes, pero no están seguros de si estas otras 2 también ven 2 personas de ojos verdes, o solo una. Esperan la primera noche como en el ejemplo anterior, pero a la mañana siguiente siguen sin estar seguros. Carl piensa: "Si tengo ojos de otro color, Adria y Bill que se han visto entre ellos, habrían salido la segunda noche". Pero cuando los ve a ambos la tercera mañana, se da cuenta de que ellos deben haber estado mirándolo, también. Adria y Bill siguieron el mismo planteamiento así que todos se fueron en la tercera noche. Mediante este razonamiento inductivo, observamos que el patrón se repite sin importar los prisioneros añadidos. La clave es el concepto de conocimiento común, acuñado por el filósofo David Lewis. La nueva información no estaba en tu propia declaración, sino en decirla a todos en simultáneo. Además de saber que al menos uno de ellos tiene los ojos verdes, cada prisionero sabe también que los demás hacen un seguimiento de todos los ojos verdes que ven y que cada uno de ellos también sabe esto, etc. Lo que cada prisionero no sabe es si ellos mismos son la gente con los ojos verdes que los otros están controlando hasta pasadas tantas noches como prisioneros haya en la isla. Claro, podrías haberles ahorrado 98 días en la isla diciéndoles que al menos 99 de ellos tienen ojos verdes, pero con dictadores locos por el medio, mejor si juegas con ventaja